2020版高考数学一轮复习课后限时集训47《抛物线》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十七)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为(　　)

A．　　 　B．－　　 　C．4　　 　D．－4

B　[由y=ax2，变形得x2=y=2×y，∴p=.又抛物线的准线方程是y=1，∴－=1，解得a=－.]

2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x=－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　)

A．x=－4 B．x=4

C．y2=8x D．y2=16x

D　[依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p=8，∴点M的轨迹的方程为y2=16x，故选D.]

3．已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦，|AB|=16，则AB中点C的横坐标是(　　)

A．3 B．4

C．6 D．8

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=16，又p=4，所以x1＋x2=12，所以点C的横坐标是=6.]

4．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是(　　)

A．y=4x2 B．y=12x2

C．y2=6x D．y2=12x

D　[设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则准线方程为x=－，由题知1＋=4，∴p=6，∴抛物线方程为y2=12x，故选D.]

5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[设P(x0，y0)，由抛物线y2=4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|=x0＋1=9，解得x0=8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF==.]

二、填空题

6．(2019·泰安期末)若抛物线x2=4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是________．

9　[根据题意，抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]

7．(2019·营口期末)直线y=k(x－1)与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=________.

±　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，所以|AB|=x1＋x2＋2=，所以x1＋x2=.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，

所以x1＋x2==，所以k=±.]

8．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

(1,0)　 [由题知直线l的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]

三、解答题

9．(2019·襄阳模拟)已知点F，M(0,4)，动点P到点F的距离与到直线y=－的距离相等．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线y=a，使得以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．

[解]　(1)设P(x，y)，由题意得=，化简得y=x2.

∴点P的轨迹方程为x2=y.

(2)假设存在定直线y=a，使得以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为定值，

设P(t，t2)，则以PM为直径的圆方程为2＋2=，

∴以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为

l=2

=2

若a为常数，则对于任意实数y，l为定值的条件是a－=0，即a=时，l=.

∴存在定直线y=，以PM为直径的圆与直线y=的相交弦长为定值．

10．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．

[解]　(1)由抛物线定义可得|AF|=2＋=3，解得p=2.

∴抛物线E的方程为y2=4x.

(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，

∴m2=4×2，解得m=±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，

∴直线AF的方程为y=2(x－1)，

由得2x2－5x＋2=0，解得x=2或，∴B.

又G(－1,0)，∴kGA=，kGB=－，

∴kGA＋kGB=0，∴∠AGF=∠BGF.

∴GF为∠AGB的平分线．

B组　能力提升

1．(2019·鸡西模拟)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21=0，抛物线y2=8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为(　　)

A．5　　　　B.　　　　C．－2　　　　D．4

B　[由题意得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0)．根据抛物线的定义，得m＋|PC|=|PF|＋|PC|≥|FC|=.]

2．(2019·长春模拟)过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)

A． B．

C． D．

A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|=x1＋x2＋p==，所以x1＋x2=.又x1x2=，可得x2=p，x1=，则==.故选A．]

3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C1：y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线C2：－=1(b＞0)的一个焦点重合，若点F到双曲线C2的一条渐近线的距离为1，则C1的焦点F到其准线的距离为________．

4　[根据题意，双曲线的一个焦点为(，0)，它到一条渐近线y=x的距离为=b=1，所以焦点F(2,0)，所以抛物线方程为y2=8x，其准线方程为x=－2，故C1的焦点F到其准线的距离为4.]

4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C1：x2=2py(p＞0)与圆C2：x2＋y2=5的两个交点之间的距离为4.

(1)求p的值；

(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0,1]时，求|AB|·|CD|的取值范围．

[解]　(1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C1：x2=2py，解得p=2.

(2)由(1)知，抛物线C1方程为x2=4y，故抛物线C1的焦点F(0,1)．设直线方程为y=kx＋1，与抛物线C1：x2=4y联立化简得x2－4kx－4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4，∴|AB|=·=·=4(1＋k2)．∵圆心C2到直线y=kx＋1的距离为d=，∴|CD|=2=2=2.∴|AB|·|CD|=4(1＋k2)×2=8=8.又k∈[0,1]，

∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,24]．