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    2020版高考数学一轮复习课后限时集训47《抛物线》文数(含解析)北师大版 试卷
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    2020版高考数学一轮复习课后限时集训47《抛物线》文数(含解析)北师大版 试卷

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    课后限时集训(四十七) 

    (建议用时:60分钟)

    A组 基础达标

    一、选择题

    1抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为(  )

    A.    B.-    C.4    D.-4

    B [由y=ax2,变形得x2=y=y,∴p=.又抛物线的准线方程是y=1,∴-=1,解得a=.]

    2.若动点M(xy)到点F(4,0)的距离比它到直线x=-5的距离小1,则点M的轨迹方程是(  )

    A.x=-4 B.x=4

    C.y2=8x D.y2=16x

    D [依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此点M的轨迹是抛物线,且顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,p=8,∴点M的轨迹的方程为y2=16x,故选D.]

    3.已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦,|AB|=16,则AB中点C的横坐标是(  )

    A.3 B.4

    C.6 D.8

    C [设A(x1y1),B(x2y2),则|AB|=x1x2p=16,又p=4,所以x1x2=12,所以点C的横坐标是=6.]

    4.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为4,则抛物线的方程是(  )

    A.y=4x2 B.y=12x2

    C.y2=6x D.y2=12x

    D [设抛物线方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=,由题知1+=4,∴p=6,∴抛物线方程为y2=12x,故选D.]

    5.(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为(  )

    A. B.

    C. D.

    C [设P(x0y0),由抛物线y2=4x,可知其焦点F的坐标为(1,0),故|PM|=x0+1=9,解得x0=8,故P点坐标为(8,4),所以kPF==.]

    二、填空题

    6.(2019·泰安期末)若抛物线x2=4y上的点A到焦点的距离为10,则点Ax轴的距离是________.

    9 [根据题意,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,点A到准线的距离为10,故点Ax轴的距离是9.]

    7.(2019·营口期末)直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于AB两点,若|AB|=,则k=________.

    ± [设A(x1y1),B(x2y2),因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1x2+2=,所以x1x2=.联立得到k2x2-(2k2+4)xk2=0,

    所以x1x2==,所以k=±.]

    8.(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.

    (1,0)  [由题知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,±2)(a>0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).]

    三、解答题

    9.(2019·襄阳模拟)已知点FM(0,4),动点P到点F的距离与到直线y=的距离相等.

    (1)求点P的轨迹方程;

    (2)是否存在定直线y=a,使得以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为定值?若存在,求出定直线方程,若不存在,请说明理由.

    [解] (1)设P(xy),由题意得=,化简得y=x2.

    ∴点P的轨迹方程为x2=y.

    (2)假设存在定直线y=a,使得以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为定值,

    P(tt2),则以PM为直径的圆方程为22=

    ∴以PM为直径的圆与直线y=a的相交弦长为

    l=2

    =2

    a为常数,则对于任意实数yl为定值的条件是a=0,即a=时,l=.

    ∴存在定直线y=,以PM为直径的圆与直线y=的相交弦长为定值.

    10.如图,已知点F为抛物线Ey2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.

    (1)求抛物线E的方程;

    (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.

    [解] (1)由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.

    ∴抛物线E的方程为y2=4x.

    (2)证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,

    m2=4×2,解得m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),

    ∴直线AF的方程为y=2(x-1),

    得2x2-5x+2=0,解得x=2或,∴B.

    G(-1,0),∴kGA=kGB=

    kGAkGB=0,∴∠AGF=BGF.

    GF为∠AGB的平分线.

    B组 能力提升

    1.(2019·鸡西模拟)已知圆Cx2y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为(  )

    A.5    B.    C.-2    D.4

    B [由题意得,圆C的圆心坐标为(-3,-4),抛物线的焦点为F(2,0).根据抛物线的定义,得m+|PC|=|PF|+|PC|≥|FC|=.]

    2.(2019·长春模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于AB两点,则的值等于(  )

    A. B.

    C. D.

    A [设A(x1y1),B(x2y2),|AB|=x1x2p==,所以x1x2=.又x1x2=,可得x2=px1=,则==.故选A.]

    3.(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C1y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线C2=1(b>0)的一个焦点重合,若点F到双曲线C2的一条渐近线的距离为1,则C1的焦点F到其准线的距离为________.

    4 [根据题意,双曲线的一个焦点为(,0),它到一条渐近线y=x的距离为=b=1,所以焦点F(2,0),所以抛物线方程为y2=8x,其准线方程为x=-2,故C1的焦点F到其准线的距离为4.]

    4.(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C1x2=2py(p>0)与圆C2x2y2=5的两个交点之间的距离为4.

    (1)求p的值;

    (2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于AB两点,与圆C2交于CD两点,当k∈[0,1]时,求|AB|·|CD|的取值范围.

    [解] (1)由题意知,交点坐标为(-2,1),(2,1),代入抛物线C1x2=2py,解得p=2.

    (2)由(1)知,抛物线C1方程为x2=4y,故抛物线C1的焦点F(0,1).设直线方程为y=kx+1,与抛物线C1x2=4y联立化简得x2-4kx-4=0.设A(x1y1),B(x2y2),则x1x2=4kx1x2=-4,∴|AB|=·=·=4(1+k2).∵圆心C2到直线y=kx+1的距离为d=,∴|CD|=2=2=2.∴|AB|·|CD|=4(1+k2)×2=8=8.又k∈[0,1],

    ∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,24].

     

     

     

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