新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测24《三角恒等变换》(含解析)

课时跟踪检测（二十四）  三角恒等变换

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B.

C.  D．－

解析：选B　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.

2．(2019·贵阳高三监测考试)sin415°－cos415°＝(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选D　sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos 30°＝－.故选D.

3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　)

A．－6或1  B．－1或6

C．6  D．1

解析：选A　∵tan α＝，∴tan＝＝.∵tan＝，∴＝.解得m＝－6或m＝1.故选A.

4．若2cosθ－＝3cos θ，则tan θ＝(　　)

A.  B.

C．－  D.

解析：选D　由2cos＝3cos θ可得cos θ＋sin θ＝3cos θ，故tan θ＝.故选D.

5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α为第二象限角，则tan＝(　　)

A．7  B.

C．－7  D．－

解析：选B　∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝，∴cos α＝－.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－，∴tan＝＝.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为的是(　　)

A．sin 15°cos 15°  B．cos2－sin2

C.  D.

解析：选B　A．sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.B.cos2 －sin2＝cos ＝.C.＝tan 60°＝.D. ＝cos 15°＝.故选B.

2．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为(　　)

A．5  B．－1

C．6  D.

解析：选A　由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5，故选A.

3．对于锐角α，若sin＝，则cos＝(　　)

A.  B.

C.  D．－

解析：选D　由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，则cos＝cos＝coscos －sinsin ＝×－×＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，故选D.

4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos＝3sin，则tan＝(　　)

A．4－2  B．2－4

C．4－4  D．4－4

解析：选B　由题意可得－sin α＝－3sin，即sin＝3sin，sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝－2×＝2－4.故选B.

5．(2018·四川联考)已知角α∈，且cos 2α＋cos2α＝0，则tan＝(　　)

A．－3－2  B．－1

C．3－2  D．3＋2

解析：选A　由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝.∵α∈，∴cos α＝，∴sin α＝＝，∴tan α＝＝，tan＝＝＝－3－2，故选A.

6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝，sin α＝2sin β－，则sin2(α＋β)＝(　　)

A．1  B.

C.  D．0

解析：选A　由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos2α＋4cos2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin2α＋4sin2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.

7．(2018·永州二模)已知tan＝，则cos2＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　∵tan＝，∴cos2＝sin2＝

＝＝＝.故选B.

8．(2018·河北武邑中学二调)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，

则cos θ＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

解析：选C　利用辅助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.当函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，则cos θ＝cos＝－sin φ＝－(k∈Z)，故选C.

9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

解析：选B　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝，故选B.

10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：－＝________.

解析：－＝＝＝＝4.

答案：4

11．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α的值为________．

解析：∵<α<π，∴π<2α<2π.

∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<.

∵sin(2α－β)＝>0，∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.

∵－<β<0且sin β＝－，∴cos β＝.

∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝×－×＝.

∵cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.

∵α∈，∴sin α＝.

答案：

12．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．

解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

答案：

13．(2018·大庆实验中学期中)A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，则cos＝________.

解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，所以<A＋B<π，<B＋<π，所以sin(A＋B)＝＝，sin＝ ＝.所以cos＝cos＝－×＋×＝.

答案：

14．(2019·六安第一中学月考)已知cos·cos＝－，α∈.

求：(1)sin 2α；

(2)tan α－.

解：(1)由题知cos·cos＝cos＋α·sin＝sin＝－，

∴sin＝－.

∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，

∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝.

(2)由(1)得cos 2α＝cos＝cos2α＋·cos ＋sinsin ＝－，

∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.

15．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解：(1)由已知，有f(x)＝－

＝－cos 2x

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.