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初中华师大版第22章 一元二次方程综合与测试复习ppt课件
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这是一份初中华师大版第22章 一元二次方程综合与测试复习ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了全章知识结构，一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的应用，方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，直接开平方法，因式分解法等内容，欢迎下载使用。
ax²+bx+c=0(a0)
根的判别式和根与系数的关系
数字问题、图形面积问题、变化率问题、经济类问题.
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。
知识点一：一元二次方程根的判别式
1、不解方程，判断下列方程实根的个数.(1)2x2-3x+1=0 (2)4y2+9=12y (3)5(x2+3)-6x=0
∴该方程有两个不相等的实数根。
∴原方程有两个相等的实数根。
2、已知m为非负整数,且关于x的一元二次方程 (m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
说明：当二次项系数也含有待定的字母时， 要注意二次项系数不能为0！
解：∵方程有两个实数根，
3、求证关于x的方程x²-(m+2)x+2m-1=0 有两个不相等的实根。
证明：△=[-(m+2)]2-4(2m+1)=m2-4m+8 =(m-2)2+4 ∵不论m为何实数, (m-2)2≥0 ∴(m-2)2+4一定是正数, 即△＞0 ∴方程x²-(m+2)x+2m-1=0有两个 不相等的实根。
1、若关于x的一元二次方程ax2-2x-1＝0 有实数根，则a应满足 。
一元二次方程ax2-2x-1＝0有实数根，即b2-4ac≥0，且a≠0.
4、若方程ax2+bx+1＝0有两个相等的 实数根，则( ) A. b2＝4a B. C. D. b2＝4a≠0
3、当m为何值时, 方程(m-1)x²+2mx+m+3=0
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不等实根；
（5）只有一个实数根；
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两个根为：
*知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一、掌握常见变形，快速求值.
1、已知方程2x2-7x+2=0的两根为x1和x2，求下列各式的值：(1)x12+x22 (2)(x1-x2)2 (3)(x1-2)(x2-2) (4)x12x2 +x22 x1-3 (5)|x1-x2| (6)
解：(3)由韦达定理得x1+x2=-3.5，x1x2=1
∴(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4 =1-2×(-3.5)+4 =12
2、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求2x13+x12+2x22+11x2+12的值.
2x12＝5-3x1，2x22＝5-3x2，x1+x2=-1.5
∴2x13+x12+2x22+11x2+12=x1(5-3x1)+x12+2x22+11x2+12=5x1-(5-3x1)+(5-3x2)+11x2+12=8(x1+x2)+12=8×(-1.5)+12=0
解决与高次方程有关问题的基本思路是降次.
方法提炼：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
韦达定理体现了整体代换思想．
1、已知方程mx2＋4x＋3＝0有一根是1， 另一根是_____． 2、若方程x2＋kx＋3＝0有一根是－1， 则k＝_____．
二、已知方程的根，求另一根及某一系数.
3、关于x的方程(k+1)x2-3x+k2＝0的一个根为1， 另一个根也是整数，求k的值.
解:将x=1代入方程，得
整理，得k2+k-2＝0
即(k+2)(k-1)＝0
设原方程的另一个整数根为α，则
显然该式为整数，而k＝1时不满足.
1、分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的 一元二次方程是 .2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
以x1、x2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
三、以两个数为根作一元二次方程.
解:(法一)由题意，这两个数为方程 x2-2x-2=0的两个根.
2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
解:(法二)设这两个数为m、n， 则有m+n=2，mn=-2. 进而得n(2-n)=-2,即n2-2n-2=0.
若a、b为互不相等的实数，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求a2-ab+b2的值
四、不解方程，求与根有关的代数式的值.
解:由已知得a、b为一元二次方程x2-3x+1=0 的两实数根，则由韦达定理得 a+b=3，ab=-1. ∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3×(-1)=12.
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中 某个字母系数的值或范围.
1、选择题：若方程3x2＋(k2-3k-10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为( ) A．5 B．-2 C．5或-2 D．0分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0.
2、若关于x的方程x2-x+a-4=0的一根大于零， 另一根小于零，求实数a的取值范围.
解：设x1、x2分别为方程x2-x+a-4=0的两根，
∴a的取值范围为a＜4.
解法二：由已知，方程x2-x+a-4=0对应的 二次函数为f(x)=x2-x+a-4
运用数形结合，解题更轻松.
由图象可知，只需满足f(0)＜0，即f(0)=a-4＜0，
小结：1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根的情况.
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求下式的值: (1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
1、下列方程无实数根的是 。 ①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0； ③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)； ⑤ x2+ x+1＝0.
ax²+bx+c=0(a0)
根的判别式和根与系数的关系
数字问题、图形面积问题、变化率问题、经济类问题.
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。
知识点一：一元二次方程根的判别式
1、不解方程，判断下列方程实根的个数.(1)2x2-3x+1=0 (2)4y2+9=12y (3)5(x2+3)-6x=0
∴该方程有两个不相等的实数根。
∴原方程有两个相等的实数根。
2、已知m为非负整数,且关于x的一元二次方程 (m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
说明：当二次项系数也含有待定的字母时， 要注意二次项系数不能为0！
解：∵方程有两个实数根，
3、求证关于x的方程x²-(m+2)x+2m-1=0 有两个不相等的实根。
证明：△=[-(m+2)]2-4(2m+1)=m2-4m+8 =(m-2)2+4 ∵不论m为何实数, (m-2)2≥0 ∴(m-2)2+4一定是正数, 即△＞0 ∴方程x²-(m+2)x+2m-1=0有两个 不相等的实根。
1、若关于x的一元二次方程ax2-2x-1＝0 有实数根，则a应满足 。
一元二次方程ax2-2x-1＝0有实数根，即b2-4ac≥0，且a≠0.
4、若方程ax2+bx+1＝0有两个相等的 实数根，则( ) A. b2＝4a B. C. D. b2＝4a≠0
3、当m为何值时, 方程(m-1)x²+2mx+m+3=0
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不等实根；
（5）只有一个实数根；
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两个根为：
*知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一、掌握常见变形，快速求值.
1、已知方程2x2-7x+2=0的两根为x1和x2，求下列各式的值：(1)x12+x22 (2)(x1-x2)2 (3)(x1-2)(x2-2) (4)x12x2 +x22 x1-3 (5)|x1-x2| (6)
解：(3)由韦达定理得x1+x2=-3.5，x1x2=1
∴(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4 =1-2×(-3.5)+4 =12
2、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求2x13+x12+2x22+11x2+12的值.
2x12＝5-3x1，2x22＝5-3x2，x1+x2=-1.5
∴2x13+x12+2x22+11x2+12=x1(5-3x1)+x12+2x22+11x2+12=5x1-(5-3x1)+(5-3x2)+11x2+12=8(x1+x2)+12=8×(-1.5)+12=0
解决与高次方程有关问题的基本思路是降次.
方法提炼：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
韦达定理体现了整体代换思想．
1、已知方程mx2＋4x＋3＝0有一根是1， 另一根是_____． 2、若方程x2＋kx＋3＝0有一根是－1， 则k＝_____．
二、已知方程的根，求另一根及某一系数.
3、关于x的方程(k+1)x2-3x+k2＝0的一个根为1， 另一个根也是整数，求k的值.
解:将x=1代入方程，得
整理，得k2+k-2＝0
即(k+2)(k-1)＝0
设原方程的另一个整数根为α，则
显然该式为整数，而k＝1时不满足.
1、分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的 一元二次方程是 .2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
以x1、x2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
三、以两个数为根作一元二次方程.
解:(法一)由题意，这两个数为方程 x2-2x-2=0的两个根.
2、已知两数之和为2，积为-2，求这两个数.
解:(法二)设这两个数为m、n， 则有m+n=2，mn=-2. 进而得n(2-n)=-2,即n2-2n-2=0.
若a、b为互不相等的实数，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求a2-ab+b2的值
四、不解方程，求与根有关的代数式的值.
解:由已知得a、b为一元二次方程x2-3x+1=0 的两实数根，则由韦达定理得 a+b=3，ab=-1. ∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3×(-1)=12.
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中 某个字母系数的值或范围.
1、选择题：若方程3x2＋(k2-3k-10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为( ) A．5 B．-2 C．5或-2 D．0分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0.
2、若关于x的方程x2-x+a-4=0的一根大于零， 另一根小于零，求实数a的取值范围.
解：设x1、x2分别为方程x2-x+a-4=0的两根，
∴a的取值范围为a＜4.
解法二：由已知，方程x2-x+a-4=0对应的 二次函数为f(x)=x2-x+a-4
运用数形结合，解题更轻松.
由图象可知，只需满足f(0)＜0，即f(0)=a-4＜0，
小结：1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根的情况.
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求下式的值: (1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
1、下列方程无实数根的是 。 ①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0； ③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)； ⑤ x2+ x+1＝0.
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