北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线教学设计

这是一份北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线教学设计，共31页。教案主要包含了教学建议，知识导图，设计意图等内容，欢迎下载使用。










第2讲


讲














线段的垂直平分线与角平分线


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握线段的垂直平分线以及角的平分线的性质与判定，这一节的内容，与轴对称图形联系紧密，在课程开始之前，可以让学生复习一下七年级下学期最后一张的内容，了解线段的垂直平分线以及角的平分线的性质以及轴对称的相关知识。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 轴对称的应用。


2.最值问题。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关线段的垂直平分线与角的平分线的性质，学生掌握起来并不难，需要注意的是最值问题，利用轴对称解决的最值问题。








二、知识讲解








知识点1 线段的垂直平分线的判定与性质





垂直平分线：


经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。


这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义）。


几何语言：


∵MN是AA′的垂直平分线


∴AP=PA′(即点P是AA'的中点)


∠MPA= ∠MPA′=90°


探究：线段的垂直平分线的性质


下面我们来思考这样一个问题：如图，课件展示，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是直线l上的点。分别测量P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？


（思考，交流，给出答案）P1，P2，P3，…到点A和点B的距离都相等。


没错，如果我们不用测量的方法分析，可以发现，把线段AB沿着直线l对折，P1A与P1B， P2A与P2B， P3A与P3B …都将重合，也就是说，直线l上的点到点A和点B的距离都相等！这就是线段的垂直平分线的第一个性质。


线段的垂直平分线的性质


线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。


数学语言：


∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上


∴PA=PB


那我们怎么来证明这个定理呢？联系你们之前学过的知识，谁能给出思路？


我们可以利用全等三角形的知识来证明。证明过程课件展示。


推广：线段的垂直平分线的判定


刚才我们知道了，线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，那现在我们打一个问号，反过来问：如果PA=PB，点P在AB的垂直平分线上吗？谁能给出这个问题的已知和求证？


已知PA=PB，AC=CB，求证：直线PC垂直平分AB。


证明：在△PCA和△PCB中： PC=PC AC=BC PA=PB


∴△PCA≌△PCB(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB且AC=CB即：直线PC垂直平分AB。


通过大家严密的证明，我们现在可以得出结论：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。这就是用于判定垂直平分线的定理。


线段的垂直平分线的判定


与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。


数学语言：（同上图）


∵PA=PB


∴点P在线段AB的垂直平分线上


又∵C是AB的中点


∴直线PC是线段AB的垂直平分线。


注意：要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在垂直平分线上。


要证明一条直线是某一线段的垂直平分线，必须证明有两个点在垂直平分线上。常见的组合有：一个到线段两端距离相等的点+线段中点；两个到线段两端距离相等的点。


从刚才我们学习的性质定理和判定定理可以看出，线段AB的垂直平分线l上面的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上；直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合。


垂直平分线可以看做是到线段两端距离相等的点的集合。


尺规作图：作线段的垂直平分线


下面我们来学习如何利用刚才的判定定理作线段的垂直平分线（教师演示或用PPT演示过程）。


尺规法画垂直平分线。


分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。


如果两个图形成轴对称，或者一个图形是轴对称图形，只要能找到一对对应点，作出对应点连线段的垂直平分线，就能得到对称轴。


下面我们来看这样一个问题：我们之前学习过如何过直线外一点画已知直线的垂线，当时用到了三角板。现在，能否不用三角板，仅用尺规就能过直线外顶点画一直线的垂线呢？


只要在直线上截取一段线段，再画出这段线段的垂直平分线就行了。


三角形的外心


我们学习了三角形，知道了它是由三条线段首尾相接组成的图形。那下面，我们来做这样一个任务：大家画出任意一个三角形，再画出这三条边的垂直平分线，你有什么发现？


这三条垂直平分线交于一点。


那你们任意再画出几个三角形试一下，这个发现还成立吗？


仍然成立。


那好，下面试着证明你们的猜想。我们怎样把这个猜想转换为数学语言呢？请大家思考一下。


如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接PA，PB和PC。求证：PA=PB=PC点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得到什么结论？


∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P


∴PA=PB，且PB=PC


∴PA=PB=PC


根据PA=PC，可知点P也在边AC的垂直平分线上。


对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。外心到三角形各个顶点的距离相等。


三角形的外心


任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。


外心到三角形各个顶点的距离相等。





知识点2 角的平分线的判定与性质





问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？


用量角器度量，也可用折纸的方法．


[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？


[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？





师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：


已知：∠AOB.


求作：∠AOB的平分线．


作法：(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.


分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.


画射线OC.射线OC即为所求．


教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！


【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．


2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力．


3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.





问题2 【探究1】 如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？





[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．


【探究2】 我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．


如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？





[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．





三、例题精析








例题1





【题干】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？








【答案】见解析


【解析】解：∠B=∠CAF．


∵FE垂直平分AD，


∴FA=FD，


∴∠FAD=∠ADF．


∵AD为∠BAC的平分线，


∴∠CAD=∠BAD．


又∵∠CAF=∠FAD﹣∠CAD，∠B=∠ADF﹣∠BAD，


∴∠B=∠CAF．





例题2





【题干】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）


如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．








【答案】见解析


【解析】解：如图所示：








（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；


（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；


（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．








例题3





【题干】如图：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．


（1）求证：BP是∠MBN的平分线；


（2）请你在BM、BN上分别找出点G、H，使得△PGH的周长最小．（温馨提示：不要求尺规作图，但必须保留作图痕迹，不用证明）











【答案】见解析


【解析】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥AC于点E．


∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，


∴DP=EP（角平分线的性质）．


同理PE=PF，


∴PD=PF，又PD⊥BM，PF⊥BN，


∴P在∠MBN的角平分线上，


∴PB平分∠MBN．


（2）解：如图所示：




















四 、课堂运用








基础





1.如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q、R分别在AB、AC上，且BP=CQ，BQ=CR．


求证：点Q在PR的垂直平分线上．








【答案】见解析


【解析】证明：∵在△ABC中，AB=AC，


∴∠B=∠C，


在△PBQ和△CQR中，


，


∴△BPQ≌△CQR（SAS），


∴PQ=RQ，


∴点Q在PR的垂直平分线上．





2.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．


（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；


（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．


（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）








【答案】解：





【解析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；


（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．





3.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，


求证：∠A+∠C=180°．








【答案】见解析


【解析】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，


∵BD平分∠ABC，


∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，


在RtCDE和Rt△ADF中，


，


∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），


∴∠FAD=∠C，


∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．














巩固





1.如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A=50°，AB+BC=6．求：


（1）△BCF的周长；


（2）∠E的度数．








【答案】见解析


【解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，


∴AF=BF，


∴△BCF的周长为：CF+BF+BC=CF+AF+BC=AC+BC=AB+BC=6；





（2）∵AB=AC，∠A=50°，


∴∠ABC=∠ACB=65°，


∵DE垂直平分AB，


∴∠EDB=90°，


∴∠E=90°﹣65°=25°．





2.如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．


（1）求证：AE∥CF；


（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．








【答案】（1）证明：∵AB∥CD，


∴∠BAC=∠DCA，


又∵∠BAE=∠DCF，


∴∠EAM=∠FCM，


∴AE∥CF；





（2）证明：∵AM平分∠FAE，


∴∠FAM=∠EAM，


又∵∠EAM=∠FCM，


∴∠FAM=∠FCM，


∴△FAC是等腰三角形，


又∵AM=CM，


∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．





【解析】（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；


（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．





3.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．


如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？





请你参考小华的做法解决下列问题．如图3，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．








【答案】见解析


【解析】解：如图所示：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；











拔高





1.如图，已知AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC延长线于F．求证：


（1）∠B=∠FAC；


（2）DE∥AC．











【答案】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，


∴AF=DF，


∴∠FAD=∠FDA，


∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，


∵AD平分∠BAC，


∴∠BAD=∠CAD，


∴∠FAC=∠B；





（2）∵EF是AD的垂直平分线，


∴AE=DE，


∴∠ADE=∠EAD，


∵∠EAD=∠CAD，


∴∠ADE=∠CAD，


∴DE∥AC．





【解析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=DF，由等边对等角得到∠FAD=∠FDA，再根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，从而利用三角形外角的性质及等式的性质即可证明∠B=∠FAC；


（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AE=DE，由等边对等角得到∠ADE=∠EAD，而∠EAD=∠CAD，等量代换得出∠ADE=∠CAD，再根据内错角相等两直线平行即可证明DE∥AC．


2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．


（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．


（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．











【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD


在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE


在△BCG和△DCE中，


∴△BCG≌△DCE（SAS）


∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°


∴∠1+∠DEC=90°


∴∠BHD=90°


∴BH⊥DE；





（2）解：当GC=﹣1时，BH垂直平分DE．理由如下：


连接EG


∵BH垂直平分DE


∴EG=DG


设CG=x


∵CE=CG，∠DCE=90°


∴EG=，DG=


∵DG+CG=CD


x+x=1解得x=﹣1


∴GC=﹣1时，BH垂直平分DE．








【解析】（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE，从而利用全等的性质得到∠BHD=90°即BH⊥DE；


（2）解题关键是利用垂直平分线的性质得出EG=DG，从而找到EG=，DG=，DG+CG=CD．列方程求解即可．














课堂小结





1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等


2.线段的垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点，都在线段的垂直平分线上


3.角的平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等


4.角的平分线的判定：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上











扩展延伸








基础





1.作图：


（1）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．


（2）如图：已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走路程最短，请在图中作出该点Q的位置．








【答案】见解析


【解析】解；（1）如图1：作∠AOB的角平分线，作CD的垂直平分线，交点坐标即为P点．


；


（2）如图2：作B点关于m的对称点，连接AB′，交m于Q，马在Q饮水才能使所走路程最短．








2. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于点G，GE∥CA，求证：CE与FG互相垂直平分．











【答案】见解析


【解析】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，


∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），


∴PD=PE，


∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，


∴OC是∠AOB的平分线．





3.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．








【答案】见解析


【解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，


∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，


∴∠EDA=∠FDA，


∵DE=DF，


∴AD⊥EF三线合一）．








巩固





1.（1）已知：图1中，点M、N在直线l的同侧，在l上求作一点P，使得PM+PN的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）


（2）图2中，联结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是 ．











【答案】见解析


【解析】解：（1）如图所示：作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；





（2）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；


∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，


∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，


∴∠NOM′=90°，


∴M′N==10，


故答案为：10．








2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．


（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；


（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．











【答案】见解析


【解析】证明：（1）


过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，


∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，


∴PQ=PT，PS=PT，


∴PQ=PS，


∴AP平分∠DAC，


即PA平分∠BAC的外角∠CAM；





（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，


∴∠DAE=∠CAE，


∵CE⊥AP，


∴∠AED=∠AEC=90°，


在△AED和△AEC中





∴△AED≌△AEC，


∴CE=ED．





3.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．


求证：OC是∠AOB的平分线．











【答案】见解析


【解析】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，


∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），


∴PD=PE，


∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，


∴OC是∠AOB的平分线．

















拔高





1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．


（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；


（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：过点O作OM⊥AB，


∵BD是∠ABC的一条角平分线，


∴OE=OM，


∵四边形OECF是正方形，


∴OE=OF，


∴OF=OM，


∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；





（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，


∴AB===13，


设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，


∴，


解得：，


∴OE=2．








2.（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．


（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ =2AF，请加以证明．


（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，


∴∠BAD=∠CAD，


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴∠AED=∠AFD=90°，


在△ADE和△ADF中，


，


∴△ADE≌△ADF（AAS），


∴DE=DF，AE=AF；





（2）解：AM+AN=2AF；


证明如下：由（1）得DE=DF，


∵∠MDN=∠EDF，


∴∠MDE=∠NDF，


在△MDE和△NDF中，


，


∴△MDE≌△NDF（ASA），


∴ME=NF，


∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；





（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，


∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，


∴∠BAD=∠CAD=30°，


∵ND∥AB，


∴∠ADN=∠BAD=30°，


∴∠CAD=∠ADN，


∴AN=DN，


在Rt△CDN中，DN=2CN，


∵AC=6，


∴DN=AN=×6=4，


∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，


∴∠CDE=∠MDN，


∴DM=DN=4，


∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．




















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.线段的垂直平分线


2.角平分线
教学目标
1.线段的垂直平分线的性质及应用


2.角平分线的性质及应用
教学重点
1.线段的垂直平分线的性质及应用


2.角平分线的性质及应用
教学难点
1.线段的垂直平分线的性质及应用


2.角平分线的性质及应用