还剩17页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教案
展开
这是一份北师大版八年级上册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教案，共20页。教案主要包含了知识讲解等内容，欢迎下载使用。
第3讲
讲
二元一次方程组
通过对本节课的学习，你能够：
能够根据题意列出正确的方程并解决实际问题.
概 述
教学过程
一、知识讲解
考点1 生活中的立体图形
知识点一 二元一次方程
1.二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
（1）二元一次方程的条件：①整式方程；②只含两个未知数；③两个未知数系数都不为0；④含有未知数的项的次数都是1.
(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
例1 有下列方程：①xy ＝1；②2x＝3y； ③； ④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0(a＝0)，其中，二元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【方法总结】判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都 不为0且含未知数的项的次数都是1.
(1)已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是________， b的取值范围是________；
(2)已知xm－2－yn＋1＝99是关于x，y的二元一次方程，则m＝____，n＝____.
【方法总结】 在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隐含两个条件：含未知数的项的次数都是1且两个未知数的系数都不为0。
随堂练习
1.在下列式子：①；②；③3x＋y2－2＝0；④x＝y；⑤x＋y－z－1＝8； ⑥2xy＋
9＝0中，是二元一次方程的是_____．(填序号)
2.已知3xm－1＋5yn＋2＝10是关于x，y的二元一次方程，则m＝______，n＝______．
知识点二 一元二次方程的解
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
若 是方程4x－3y＝10的一个解， 求m的值．
【方法总结】已知二元一次方程的解确定字母参数的方法是：将方程的解代入方程中，得到一个关于这个字母参数的新方程，解这个方程即可求出这个字母参数的值．
随堂练习
方程2x＋y＝5的一个解是
已知 是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
知识点3 用含一个未知数的式子表示两一个未知数
二元一次方程x＋y=6，
(1)用含有x的代数式表示y为__________;
(2)用含有y的代数式表示x为__________.
例4 在二元一次方程2x－y＝3中，请选用一个适当的未知数的代数式表示另一个未知数.
【方法总结】用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形步骤为：
(1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另 一边；
(2)化系数为1，在方程两边同除以被表示项的系数.
随堂练习
知识点4 二元一次方程的整数解
例5 求二元一次方程3x＋2y＝12的非负整数解．
【方法总结】求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形：把x看成常数，把方程变形为用x表示y的形式；(2)划界：根据方程的解都是整数的特点，划定x的取值范围；(3)试值：在x的取值范围内逐一试值；(4)确定：根据试值结果得到二元一次方程的整数解．其求解流程可概述为：
随堂练习
1.方程2x＋y＝9的正整数解有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.(中考·龙东)为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( )
A．4 B．3 C．2 D．1
知识点5 二元一次方程组
1.定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
2.要点精析：二元一次方程组的条件：
(1)共含有两个未知数．
(2)每个方程都是一次方程．
例1 有下列方程组：① ② ③ ④
⑤
其中二元一次方程组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【方法总结】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含有两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.
注意：有时还需将方程组化简后再看．
随堂练习
知识点6 二元一次方程组的解
1.定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
知识点7 二元一次方程组的解法
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫消元思想．
代入消元：将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
例1 解方程组：
例2 解方程组：
例3 用代入消元法解二元一次方程组：
随堂练习
1.用代入法解方程组 比较合理的变形是( )
A．由①得 B．由①得
由②得D．由②得y＝2x－5
2.用代入法解方程组 较简单的方法是( )
A．消y B．消x
C．消x和消y一样 D．无法确定
类型一 鸡兔同笼
1. 在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
【解析】
三 、例题精析
【总结与反思】
2.某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款45000元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元？
例题1
【解析】
【总结与反思】
例题2
类型二 增收节支
某工厂去年的利润为200万元，今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少10%，今年的利润为780万元，问：去年的总支出、总产值各是多少万元？（利润=总产值-总支出）
【解析】
【总结与反思】
类型三 里程碑上的数
一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9，如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。
例题1
【解析】
【总结与反思】
四 、课堂运用
基础
1.根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．
A．51元 B．35元
C．8元 D．7.5元
2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益，今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而是该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩，问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？
3.一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
如图1：
图1
若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米.
根据题意填空：
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________.
（2）若相向而行，两车4秒钟共行驶__________米，可列方程__________________.
（3）由以上可得方程组__________________，解得________.
巩固
1.用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．
2.某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
设城镇人口是x万，农村人口是y万，根据题意填写下表，并列出方程组求x、y的值.
3.A市至B市航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风向飞往B市需2小时30分，从B市逆风向飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
拔高
1.现有190张铁皮，每张铁皮可制作成8个盒身或22个盒底，一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
2.某商店购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%，乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
3.已知某一铁路桥长1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，求火车的长度和速度．
五 、课堂小结
六 、课后作业
基础
年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起3年后父亲的年龄成为儿子年龄的3倍，求父亲和儿子现在的年龄．
张文以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息为43.92元，已知当时这两种储蓄方式年利率的和为3.24%.问这两种储蓄方式的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税=利息金额×20%）
甲乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4min两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完第一圈，求甲乙两人的速度及环形场地的周长.
巩固
一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m3木料可以做桌面50张或桌腿300条．现有5 m3木料，恰好能做成方桌多少张？
某人以两种形式储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期时去提取，他共得到利息85元5角，问两种储蓄他共存了多少钱？
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路没分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路没分钟走40m，从家里到学校需10min，从学校到家里需15min，请问小华家离学校多远？
拔高
1.学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？
2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，问甲、乙两件服装的成本各是多少元？
3.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作。某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在80千瓦时下（含80千瓦时，一千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”，当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.
小张家2014年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元，求“基本电价”和“提高电价”分别是多少.
城镇
农村
全市
现有人数（万人）
x
y
42
一年后增加人口（万人）
第3讲
讲
二元一次方程组
通过对本节课的学习，你能够：
能够根据题意列出正确的方程并解决实际问题.
概 述
教学过程
一、知识讲解
考点1 生活中的立体图形
知识点一 二元一次方程
1.二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
（1）二元一次方程的条件：①整式方程；②只含两个未知数；③两个未知数系数都不为0；④含有未知数的项的次数都是1.
(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
例1 有下列方程：①xy ＝1；②2x＝3y； ③； ④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0(a＝0)，其中，二元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【方法总结】判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都 不为0且含未知数的项的次数都是1.
(1)已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是________， b的取值范围是________；
(2)已知xm－2－yn＋1＝99是关于x，y的二元一次方程，则m＝____，n＝____.
【方法总结】 在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隐含两个条件：含未知数的项的次数都是1且两个未知数的系数都不为0。
随堂练习
1.在下列式子：①；②；③3x＋y2－2＝0；④x＝y；⑤x＋y－z－1＝8； ⑥2xy＋
9＝0中，是二元一次方程的是_____．(填序号)
2.已知3xm－1＋5yn＋2＝10是关于x，y的二元一次方程，则m＝______，n＝______．
知识点二 一元二次方程的解
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
若 是方程4x－3y＝10的一个解， 求m的值．
【方法总结】已知二元一次方程的解确定字母参数的方法是：将方程的解代入方程中，得到一个关于这个字母参数的新方程，解这个方程即可求出这个字母参数的值．
随堂练习
方程2x＋y＝5的一个解是
已知 是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
知识点3 用含一个未知数的式子表示两一个未知数
二元一次方程x＋y=6，
(1)用含有x的代数式表示y为__________;
(2)用含有y的代数式表示x为__________.
例4 在二元一次方程2x－y＝3中，请选用一个适当的未知数的代数式表示另一个未知数.
【方法总结】用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形步骤为：
(1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另 一边；
(2)化系数为1，在方程两边同除以被表示项的系数.
随堂练习
知识点4 二元一次方程的整数解
例5 求二元一次方程3x＋2y＝12的非负整数解．
【方法总结】求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形：把x看成常数，把方程变形为用x表示y的形式；(2)划界：根据方程的解都是整数的特点，划定x的取值范围；(3)试值：在x的取值范围内逐一试值；(4)确定：根据试值结果得到二元一次方程的整数解．其求解流程可概述为：
随堂练习
1.方程2x＋y＝9的正整数解有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.(中考·龙东)为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( )
A．4 B．3 C．2 D．1
知识点5 二元一次方程组
1.定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
2.要点精析：二元一次方程组的条件：
(1)共含有两个未知数．
(2)每个方程都是一次方程．
例1 有下列方程组：① ② ③ ④
⑤
其中二元一次方程组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【方法总结】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；
二看方程组中是不是只含有两个未知数；
三看含未知数的项的次数是不是都为1.
注意：有时还需将方程组化简后再看．
随堂练习
知识点6 二元一次方程组的解
1.定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
知识点7 二元一次方程组的解法
消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫消元思想．
代入消元：将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
例1 解方程组：
例2 解方程组：
例3 用代入消元法解二元一次方程组：
随堂练习
1.用代入法解方程组 比较合理的变形是( )
A．由①得 B．由①得
由②得D．由②得y＝2x－5
2.用代入法解方程组 较简单的方法是( )
A．消y B．消x
C．消x和消y一样 D．无法确定
类型一 鸡兔同笼
1. 在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
【解析】
三 、例题精析
【总结与反思】
2.某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款45000元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元？
例题1
【解析】
【总结与反思】
例题2
类型二 增收节支
某工厂去年的利润为200万元，今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少10%，今年的利润为780万元，问：去年的总支出、总产值各是多少万元？（利润=总产值-总支出）
【解析】
【总结与反思】
类型三 里程碑上的数
一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9，如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。
例题1
【解析】
【总结与反思】
四 、课堂运用
基础
1.根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．
A．51元 B．35元
C．8元 D．7.5元
2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了较好的经济效益，今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩，其中烟叶种植面积增加了20%，蔬菜种植面积增加了30%，从而是该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩，问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？
3.一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
如图1：
图1
若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米.
根据题意填空：
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________.
（2）若相向而行，两车4秒钟共行驶__________米，可列方程__________________.
（3）由以上可得方程组__________________，解得________.
巩固
1.用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．
2.某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
设城镇人口是x万，农村人口是y万，根据题意填写下表，并列出方程组求x、y的值.
3.A市至B市航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风向飞往B市需2小时30分，从B市逆风向飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
拔高
1.现有190张铁皮，每张铁皮可制作成8个盒身或22个盒底，一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
2.某商店购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%，乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
3.已知某一铁路桥长1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，求火车的长度和速度．
五 、课堂小结
六 、课后作业
基础
年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起3年后父亲的年龄成为儿子年龄的3倍，求父亲和儿子现在的年龄．
张文以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息为43.92元，已知当时这两种储蓄方式年利率的和为3.24%.问这两种储蓄方式的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税=利息金额×20%）
甲乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4min两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完第一圈，求甲乙两人的速度及环形场地的周长.
巩固
一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m3木料可以做桌面50张或桌腿300条．现有5 m3木料，恰好能做成方桌多少张？
某人以两种形式储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期时去提取，他共得到利息85元5角，问两种储蓄他共存了多少钱？
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路没分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路没分钟走40m，从家里到学校需10min，从学校到家里需15min，请问小华家离学校多远？
拔高
1.学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？
2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，问甲、乙两件服装的成本各是多少元？
3.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作。某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在80千瓦时下（含80千瓦时，一千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”，当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.
小张家2014年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元，求“基本电价”和“提高电价”分别是多少.
城镇
农村
全市
现有人数（万人）
x
y
42
一年后增加人口（万人）
