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初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形学案及答案
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这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形学案及答案，共12页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题，探究题等内容，欢迎下载使用。
课题： 1.1.2 等边三角形
教学
目标
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法定.
2、体会等边三角形与现实生活的联系．
3、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
重点
难点
等边三角形的性质与判定；等边三角形性质和判定的应用。
教
学
内
容
1.1.2 等边三角形（一）
〖教学目标〗
◆1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法定.
◆2、体会等边三角形与现实生活的联系．
◆3、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：等边三角形的性质与判定.
◆教学难点：等边三角形性质和判定的应用
◆学习方法：探索、归纳、交流、练习
〖教学过程〗
知识回顾：
1、回顾等腰三角形定义、性质。
2、你见过三边相等的三角形吗？它是什么三角形？
新课教学：
等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
合作学习
用直尺和圆规作等边三角形ABC
讨论：等边三角形的性质?
(学生分组讨论,教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑)
师生一起总结：
（1）.等边三角形的三条边相等。
（2）．等边三角形的内角相等，且为60度。
（3）.等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
（4）. 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴。
A
B
C
D
E
4练习：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论。图中有等腰三角形吗？如果有，试证明其中一个是等腰三角形（ △ABC除外）
5合作学习
讨论：（1）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？
师生一起总结：
等边三角形的判定：
三边相等的三角形是等边三角形
三角相等的三角形是等边三角形
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
三．例题分析
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。（若条件改成BD=CE呢？）
四．探究
等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，共有几组？并说明其中一组全等的理由。
五．拓展：△ABC是等边三角形，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：△ADE是等边三角形。
A
E
B
D
C
师生小结
1.等边三角形的性质
2.等边三角形的判定
3.等边三角形的轴对称性
七．作业：
书P54 第 2 题 书P57 第 11题
1.1.2 等边三角形（二）
教学目标
掌握等边三角形的性质和判定方法．培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点 等边三角形的性质和判定方法．
教学难点 等边三角形性质的应用
教学过程
= 1 \* ROMAN I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
= 2 \* ROMAN II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
= 3 \* ROMAN III课堂小结
等边三角形和性质
等边三角形的条件
= 5 \* ROMAN V布置作业
1．教科书练习1、2
2．选做题：
(1)教科书 习题
(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?
（3）《课堂感悟与探究》
等边三角形
一、选择题（每题5分）
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如上图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
二、填空题（每题6分）
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．
8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
三、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？（10分）
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：BC=3AD.（11分）
四、探究题
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）（12分）
§12．3．2 等边三角形（三）
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）能力训练要求
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
多媒体课件；
投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
Ⅱ．导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
（演示课件）
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
BC=AB，DE=AD，
所以BD=×7.4=3.7（m）．
又AD=AB，
所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
再看下面的例题．
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
下面我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P146练习
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
（二）补充练习
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BD=BC．
∴BD=AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∴AD=BD，BD=CD．
∴CD=2AD．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P148─11、12、13、14题．
（二）预习P151～P152，并准备活动课．
1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．
2．思考镜子对实物的改变．
Ⅵ．活动与探究
在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．
结果：
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=BD．
又∵BC=AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
课后练习：
1．等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则其腰长为________，顶角是______．
___AB，BD=____BC，BD= ________AB．
交BA的延长线于点D，则CD的长度为________．
5．如图l2．3—22。为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E．
6．如图12．3—23，
7.如图l2．3—24，
从顶点B引射线BD与CA交于点D，使∠CDB=30°．
求证：AD=2BC．
8.如图l2．3—25．
PE的长
9.
=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE
=3cm，求BE的长．
10.
求证：(1)AB=2BC；(2)CE=AE=EB．
11. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图12．3—28所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，求购买这种草皮至少需要多少元?
课题： 1.1.2 等边三角形
教学
目标
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法定.
2、体会等边三角形与现实生活的联系．
3、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
重点
难点
等边三角形的性质与判定；等边三角形性质和判定的应用。
教
学
内
容
1.1.2 等边三角形（一）
〖教学目标〗
◆1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法定.
◆2、体会等边三角形与现实生活的联系．
◆3、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：等边三角形的性质与判定.
◆教学难点：等边三角形性质和判定的应用
◆学习方法：探索、归纳、交流、练习
〖教学过程〗
知识回顾：
1、回顾等腰三角形定义、性质。
2、你见过三边相等的三角形吗？它是什么三角形？
新课教学：
等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
合作学习
用直尺和圆规作等边三角形ABC
讨论：等边三角形的性质?
(学生分组讨论,教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑)
师生一起总结：
（1）.等边三角形的三条边相等。
（2）．等边三角形的内角相等，且为60度。
（3）.等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
（4）. 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴。
A
B
C
D
E
4练习：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论。图中有等腰三角形吗？如果有，试证明其中一个是等腰三角形（ △ABC除外）
5合作学习
讨论：（1）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？
师生一起总结：
等边三角形的判定：
三边相等的三角形是等边三角形
三角相等的三角形是等边三角形
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
三．例题分析
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。（若条件改成BD=CE呢？）
四．探究
等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，共有几组？并说明其中一组全等的理由。
五．拓展：△ABC是等边三角形，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：△ADE是等边三角形。
A
E
B
D
C
师生小结
1.等边三角形的性质
2.等边三角形的判定
3.等边三角形的轴对称性
七．作业：
书P54 第 2 题 书P57 第 11题
1.1.2 等边三角形（二）
教学目标
掌握等边三角形的性质和判定方法．培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点 等边三角形的性质和判定方法．
教学难点 等边三角形性质的应用
教学过程
= 1 \* ROMAN I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
= 2 \* ROMAN II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
= 3 \* ROMAN III课堂小结
等边三角形和性质
等边三角形的条件
= 5 \* ROMAN V布置作业
1．教科书练习1、2
2．选做题：
(1)教科书 习题
(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?
（3）《课堂感悟与探究》
等边三角形
一、选择题（每题5分）
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如上图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
二、填空题（每题6分）
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．
8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
三、解答题
10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？（10分）
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：BC=3AD.（11分）
四、探究题
13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）（12分）
§12．3．2 等边三角形（三）
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）能力训练要求
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
多媒体课件；
投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
Ⅱ．导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
（演示课件）
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
BC=AB，DE=AD，
所以BD=×7.4=3.7（m）．
又AD=AB，
所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
再看下面的例题．
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
下面我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P146练习
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
（二）补充练习
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BD=BC．
∴BD=AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∴AD=BD，BD=CD．
∴CD=2AD．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P148─11、12、13、14题．
（二）预习P151～P152，并准备活动课．
1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．
2．思考镜子对实物的改变．
Ⅵ．活动与探究
在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．
结果：
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=BD．
又∵BC=AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
课后练习：
1．等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则其腰长为________，顶角是______．
___AB，BD=____BC，BD= ________AB．
交BA的延长线于点D，则CD的长度为________．
5．如图l2．3—22。为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E．
6．如图12．3—23，
7.如图l2．3—24，
从顶点B引射线BD与CA交于点D，使∠CDB=30°．
求证：AD=2BC．
8.如图l2．3—25．
PE的长
9.
=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE
=3cm，求BE的长．
10.
求证：(1)AB=2BC；(2)CE=AE=EB．
11. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图12．3—28所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，求购买这种草皮至少需要多少元?
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