福建省连城县第一中学2021届高三上学期月考（一）数学（含答案） 试卷

连城一中2020—2021学年上期高三年级月考一

数学试卷

满分150分  考试时间120分钟

第Ⅰ卷（非选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1． 已知集合,,则A∩B=(  )

A.     B.      C.     D.

2. 是的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

3. 函数的定义域为，则实数的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4. 已知函数，若，则实数(  )

A.0 B.1 C.2     D.3

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　 　)

A．      B．      C．          D．1

6. 函数的图象大致为（　　）

7. 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

8．已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（  ）

A．6    B．8    C．10    D．12

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 下列命题中是真命题的有(　　)

A.∀x∈R，2x－1＞0    B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 

C.已知，，则

  D.命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则

命题p可写为　∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1

10. 若0＜a＜1，b＞c＞1，则(　　)

A.＞1    B.＞

C.ca－1＜ba－1    D.logca＜logba

11. 已知函数，则函数的零点个数可能为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

12. 已知函数满足，且的图象交点为则集合元素有        A.16         B.24         C.32        D.48

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若变量满足约束条件，则的最大值等于▲

14. 已知，且，则的最小值是    ▲     .

15. 已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝2，则当f(a)＝2f(a—3)时，实数a等于___ ▲____.

16. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是  ▲  ；若不等式有解，则的取值范围是  ▲  .

（第一个空2分，第二个空3分）      

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）设条件：实数满足,

条件：实数满足;   已知q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围。

18（12分）函数f(x)＝ 为R上的奇函数，

（1）求m的值

（2）若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的取值范围．

19.（12分）设()，且.

(1)求a的值及的定义域与单调递增区间。

(2)求在区间上的最大值.

20．（12分）定义域在R的单调函数满足，且，

（I）求 ；

（II）判断函数 的奇偶性，并证明；

（III）若对于任意都有成立，求实数的取值范围。

21.（12分）2020年9月3日，工业和信息化部消费品工业司发布2020年1－7月全国家用电冰箱产量4691.3万台，同比下降2.0%；房间空气调节器产量12353.0万台，同比下降14.0%；家用洗衣机产量3984.9万台，同比下降2.6%。为此，一公司拟定在2020年双11淘宝购物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中,为正常数).已知2020年生产该产品还需投入成本100+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.

（Ⅰ）试将2020年该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（Ⅱ）问：2020年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22.已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）若函数在上单调递增，求m的取值范围；

（2）对任意的，求证：连城一中2020—2021学年上期高三年级月考一数学试卷

参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

8．D【解析】因为函数在内所有的零点之和，就是在内所有的根之和，也就是交点横坐标之和，画出函数图象，如图，由图知，所以，，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

12.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.   8  14.   4    15.4      16. ；     .

16. 解析：由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：设，可解得：，

    设可解得：，

  ∵q是的必要不充分条件

 。

18解：令x＝0，得f(0)＝0，即m＋m－2＝0，∴m＝1，经检验，符合∴m＝1，

k＝f(x)＝＝＝1－.…………………………………………………………….6分

∵x∈(－∞，0)，∴1<2x＋1<2.

∴1>>，∴－1<f(x)<0，  ∴k∈(－1,0)．………………………………………….12分

19. 解： (1)因为，所以，所以.

由得，所以函数的定义域为.单增区间（-1,1）

(2)，

所以当时，是增函数；当时，是减函数，

故函数在上的最大值是.

20. 解： (I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，

∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)

∴结合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；

(II)取y=−x，得f(0)=f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)=0，移项得f(−x)=−f(x)，

∴函数f(x)是奇函数；

(III)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x−1)<0在x∈[,3]上恒成立，

∴f(kx2)<f(1−2x)在x∈[,3]上恒成立，

又∵f(x)是定义域在R的单调函数，且f(0)=0<f(1)=2，∴f(x)是定义域在R上的增函数。∴kx2<1−2x在x∈[,3]上恒成立。∴在x∈[,3]上恒成立。令，由于⩽x⩽3，∴.∴g(x)min=g(1)=−1.∴k<−1.则实数k的取值范围为(−∞,−1)

21解：（Ⅰ）由题意，得y=(4+.

   ∵,将其代入上式并化简，得（）.

此即为所求产品的利润关于促销费用的函数关系式.   ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当且仅当，即x=10时，上式取等号.   ……………………………7分

①     当a时, 促销费用需投入10万元，厂家的利润最大； ……………………8分

②                                                            当0<a<10时,易得,由于，0<a<10，∴， ∴

∴函数在上单调递增，

∴当时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.…11分

综上,当a时, 促销费用投入10万元，厂家的利润最大；

当a<10时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大.     ……………………12分

22解：（1）当时，，

此时，

函数在上单调递增，

则在上恒成立，

，

解得；

（2）证明：依题意知，当时，，

所以

记，

因为，

所以在上单调递增，则，

从而，

又因为，所以，由式，知，即，

于是，

故当时，不等式成立.