2021连城县一中高二上学期第一次月考数学试题含答案

连城一中2020-2021学年上期高一年级月考一数学试卷

（满分：150分    考试时间：120分钟）

命题人       审题人：

第I卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线的倾斜角是（      ）

A、              B、              C、             D、

2．下列命题正确的是（    ）

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

3．设圆心为的方程为，圆心为方程为，则圆心距等于（    ）

A、               B、               C、              D、

4. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（   ）倍

A.      B.     C.     D.

5．与直线平行，且到的距离为的直线方程为（   ）

A． B．   C．         D．

6．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为（   ）

A.   B.   C.   D.

7．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1=45，∠CDC1=30，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是  （     ）

A、      B、     C、      D、

8．对于任意实数，点与圆的位置关系的所有可能是（   ）

A、都在圆内     B、都在圆外      C、在圆上、圆外     D、在圆上、圆内、圆外

9．在三棱锥中,,若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为(   )

A. B. C. D.

10.如图1,在等腰三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥.若平面,则与平面所成角的正弦值等于(      )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

11.若M是圆C:上任意一点，则点M到直线距离的值可以为（      ）

A.4 B.6 C.+1 D.8

12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点，则下列结论正确的有（    ）

A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC    C.AD⊥平面PBC    D.PD⊥平面ADC

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、一个圆台的两底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的高为_____.

14.两圆x2+y2=9与x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)相交,则r的取值范围是　　　　. 

15.如图,在边长为1的正方形中, 把沿对角线折起到,使平面平面,则三棱锥的体积为             .

16.三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.

四、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）如图，正方体的棱长为a，连接，得到一个三棱锥．求：

(1)求三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；

(2)求棱锥的体积．

18．（12分）已知点及圆：.

（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程；

19．（12分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，

AC=9，BC=12，AB=15，，AA1=12，点D是AB的中点

（1）求证：；  （2）求证：平面

20．(12分)已知圆C的方程为x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．

(1)试求m的值，使圆C的面积最小；

(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线的方程．

21．（12分）已知圆的圆心为原点，且与直线相切。

（1）求圆的方程；（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点。

22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，

AB＝3，BC＝5.

(1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

连城一中2020-2021学年上期高一年级月考一数学试卷

（满分：150分    考试时间：120分钟）

命题人：      审题人：

第I卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线的倾斜角是（      ）C

A、              B、              C、             D、

2．下列命题正确的是（    ）D

A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

3．设圆心为的方程为，圆心为方程为，则圆心距等于（    ）A

A、               B、               C、              D、

4. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（   ）倍A

A.      B.     C.     D.

5．与直线平行，且到的距离为的直线方程为（   ）B

A．   B．

C．          D．

6．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为（   ）C

A.   B.   C.   D.

7．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1=45，∠CDC1=30，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是  （     ）C

A、      B、     C、      D、

8．对于任意实数，点与圆的位置关系的所有可能是（   ）B

A、都在圆内         B、都在圆外        C、在圆上、圆外     D、在圆上、圆内、圆外

9．在三棱锥中,,若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为(   )B

A. B. C. D.

10.如图1,在等腰三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥.若平面,则与平面所成角的正弦值等于(      )D

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

11.若M是圆C:上任意一点，则点M到直线距离的值可以为（      ）ABC

A.4 B.6 C.+1 D.8

12.如图，在三棱锥p-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点，则下列结论正确的有（    ）ABC

A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC 

C.AD⊥平面PBC D.PD⊥平面ADC

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、一个圆台的两底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的高为_____4

14.两圆x2+y2=9与x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)相交,则r的取值范围是　　　　.(2,8) 

15. 如图,在边长为1的正方形中, 把沿对角线   折起到,使平面平面,则三棱锥   的体积为             .

16.三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.

16.2或

四、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图，正方体的棱长为a，连接，得到一个三棱锥．求：

(1)求三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；

(2)求棱锥的体积．

17答案及解析：

答案：(1)∵是正方体，∴六个面都是正方形，

∴，

∴，，∴

(2)显然，三棱锥是完全一样的，

∴

18.已知点及圆：.

（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程；

解：（1）圆C的圆心为，半径，               

当的斜率存在时，设直线的斜率为, 则方程为.

依题意得  ，                           

  解得. 所以直线的方程为，即 .

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.

（2）由于，                                         

而弦心距，                      

      所以.                                       

所以为的中点.                                      

故以为直径的圆的方程为.  

19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，

AC=9，BC=12，AB=15，，AA1=12，点D是AB的中点

（1）求证：；  （2）求证：平面

19、（1）直三棱柱

面     

又 AC=9，BC=12，AB=15

      面

（2）取的中点，连结和

∥，且=

四边形为平行四边形    ∥

面

∥，且=

四边形为平行四边形    ∥

面

    面∥面    平面

20．(12分)已知圆C的方程为x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．

(1)试求m的值，使圆C的面积最小；

(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线的方程．

20．解：把圆C的方程化为标准方程得(x－m)2＋(y－1)2＝m2＋1－4m＋4＝(m－2)2＋1.

(1)易得当m＝2时，圆C的半径取得最小值1，此时圆C的面积最小．

(2)由(1)知，当m＝2时，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

设所求直线的斜率为k，则直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0.

由直线与圆C相切得＝1，解得k＝.

所以所求直线的方程为4x－3y－10＝0.

又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆C也相切．

所以，所求直线的方程为x＝1或4x－3y－10＝0.

21．（本小题满分14分）

已知圆的圆心为原点，且与直线相切。

（1）求圆的方程；（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点。

21、解：（1）依题意得：圆的半径，

所以圆的方程为。

（2）是圆的两条切线，

。

在以为直径的圆上。

设点的坐标为，

则线段的中点坐标为。

以为直径的圆方程为

化简得：

为两圆的公共弦，

直线的方程为

所以直线恒过定点。

22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.

(1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．

22．解析：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，

所以AA1⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．

所以＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令z＝3，则x＝0，y＝4，所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．

所以cos〈n，m〉＝＝.

由题意知二面角A1－BC1－B1为锐角，

所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.

(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ(λ∈[0,1])，

所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．

解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ，

所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．由·＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝.

因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.

此时＝λ＝.