2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章 第5讲 第2课时简单的三角恒等变换
展开第2课时 简单的三角恒等变换
题型 一 三角函数式的化简
1.化简tanα＋＝( )
A.cosα B．sinα
C. D.
答案 C
解析 原式＝＋
＝＝
＝＝.
2.化简：(0<θ<π)．
解 由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sinθ＋cosθ)
＝
＝2cos
＝－2coscosθ，
故原式＝＝－cosθ.
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
1.＋2的化简结果为________．
答案 －2sin4
解析 原式＝＋2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为<4<，
所以cos4<0，且sin4<cos4，
所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4.
2.化简：－2cos(α＋β)．
解 原式＝
＝
＝
＝＝
＝.
题型 二 三角函数式的求值
1.若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
答案 A
解析 ∵α∈，∴2α∈，
∵sin2α＝，∴2α∈.
∴α∈且cos2α＝－，
又sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，∴α＋β＝.
2.(2019·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.
答案
解析 因为＝sin80°＝cos10°，
所以原式＝[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋sin10°)]
＝
＝(cos210°＋sin210°)＝×＝.
3.(2019·聊城模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案
解析 由题意，得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.
1.三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
2.三角函数给值求角问题的解题策略
对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
1.已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.
答案 －
解析 由根与系数的关系且a>2得，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0.所以tanα<0，tanβ<0.
又α，β∈，则α，β∈，于是α＋β∈(－π，0)，tan(α＋β)＝＝＝1，
又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
2.计算：cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.
答案
解析 原式＝cos20°cos40°cos80°
＝＝
＝＝.
题型 三 三角恒等变换的综合应用
角度1 研究三角函数的图象问题
1.(2019·湖南四校联考)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移的单位长度是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为y＝sinx－cosx＝2sin
＝2sin，
y＝sinx＋cosx＝2sin，
所以函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移个单位长度才能得到函数y＝sinx－cosx的图象.
角度2 研究三角函数的性质问题
2.(2020·山西大学附中模拟)已知函数f(x)＝cossinx，则函数f(x)满足( )
A.最小正周期T＝2π
B.图象关于点对称
C.在区间上为减函数
D.图象关于直线x＝对称
答案 D
解析 f(x)＝(cosx－sinx)sinx＝＝＝sin－.
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A不正确；将x＝代入f(x)＝sin，求得f＝1，此时函数f(x)取得最大值．故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)的图象不关于对称，故B不正确，D正确；令u＝2x＋，则函数f(x)改写为y＝sinu－，因为u＝2x＋在上为增函数，所以y＝sinu－在上为增函数，所以函数f(x)在上为增函数，故C不正确.
3.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f(x)＝2sinωxsin2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f(x)＝2sinωx ·－sin2ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx.
所以区间(ω>0)是函数f(x)含原点的递增区间．
又因为函数f(x)在上单调递增，
所以⊆，
所以又ω>0，所以0<ω≤.
又因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值．
由ωx＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.所以当x＝＋，k∈Z时f(x)取得最大值，
所以0≤≤π，解得ω≥.
综上知，ω的取值范围是.
三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．如举例说明2,3.
(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期．
1.(2019·江西省重点中学协作体联考)将函数f(x)＝2sinx·cosx－2cos2x＋1的图象向左平移a(a>0)个单位长度，平移后的图象关于y轴对称，则a的值可能为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)＝2sinx·cosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin.将其图象向左平移a个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝2sin＝2sin，因为平移后的图象关于y轴对称，所以2a－＝kπ＋，k∈Z.即a＝＋，k∈Z.当k＝0时，a＝.
2.(2019·石家庄模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
答案 A
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝sin.∵函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋(k∈Z)．∵|φ|<，∴k＝－1，φ＝－，
∴f(x)＝sin＝－cos2x.
当2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，
即kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增．
结合选项知k＝0时，0≤x≤.
组 基础关
1.设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B．b>a>c
C.c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°.
b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b.
2.化简cos2＋sin2＝( )
A.1＋cos2x B．1＋sin2x
C.1＋cos2x D．1＋sin2x
答案 B
解析 原式＝＋＝1＋＝1＋·2sin2xsin＝1＋sin2x.
3.(2019·湖北重点中学联考)已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
答案 C
解析 设x轴正方向逆时针转到射线OA的角为α，根据三角函数定义xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－sinα＋cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为1.故选C.
4.(2019·济南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若m2＋n＝4，则＝( )
A.8 B．4
C．2 D．1
答案 C
解析 由题意得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，则＝＝＝＝2，故选C.
5.已知α为第四象限角，sinα＋cosα＝，则tan的值为( )
A.－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 将sinα＋cosα＝的等号两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝，得2sinαcosα＝－，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝.因为α为第四象限角，所以sinα<0，cosα>0，所以sinα－cosα＝－，结合sinα＋cosα＝，解得sinα＝－，cosα＝.所以tan＝＝＝＝－.故选C.
6.(2020·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sinB＝，则A＋B＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为sin2＋cos＝＋cosA－sinA＝－sinA＝，所以sinA＝，因为A，B均为钝角，所以A＋B∈(π，2π)，由sinA＝得cosA＝－，由sinB＝得cosB＝－，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，所以A＋B＝.
7.(2019·洛阳三模)函数y＝log的单调递减区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 y＝log
＝logsin.令t＝sin，则y＝logt.因为y＝logt在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数y＝logsin的单调递减区间，只要求出t＝sin的单调递增区间，同时注意t＝sin>0.由2kπ<2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋<x≤kπ＋，k∈Z，所以原函数的单调递减区间是，k∈Z.故选B.
8.(2019·北京高考)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
答案
解析 由降幂公式得f(x)＝sin22x＝＝－cos4x＋，所以最小正周期T＝＝.
9.若sin80°＝m，则用含m的式子表示cos5°＝________.
答案
解析 因为sin80°＝m，所以cos10°＝m，所以cos5°＝＝.
10.函数f(x)＝sin＋sin的最大值是________．
答案
解析 f(x)＝sin＋sin
＝sin＋sin＋cos
＝
＝sin＝sin，
所以函数f(x)的最大值是.
组 能力关
1.(2019·湖北八校第一次联考)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝( )
A.或 B.或
C.或 D.或
答案 D
解析 ∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos＞0，sin＜0，
则＋＝＋＝cos－sin＝cos＝，∴cos＝，
∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，
即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.
∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或，故选D.
2.(2019·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 f(x)＝5cosx＋12sinx＝13＝13sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝，由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，那么cosθ＝cos＝cos＝－sinα＝－，故选B.
3.(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x＋1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)＝sin2x－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin，将f(x)图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得y＝2sin的图象，再把所得图象向上平移1个单位长度得函数g(x)＝2sin＋1的图象，此函数的最大值为3，最小值为－1.若g(x1)g(x2)＝9，则直线x＝x1和x＝x2是g(x)图象的对称轴，|x1－x2|的值是g(x)的周期T＝的整数倍．故选B.
4.已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.
答案
解析 ∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，
则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，
又α∈，sinα＋cosα>0，∴2sinα＝3cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，
∴＝＝＝.
5.设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求函数g(x)在[－π，0]上的解析式．
解 (1)函数f(x)＝cos＋sin2x
＝＋sin2x
＝cos2x－sin2x＋－cos2x＝－sin2x，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)，即
g(x)＝－＝sin2x.
当x∈时，x＋∈，
因为g＝g(x)，
所以g(x)＝g＝sin
＝－sin2x.
当x∈时，x＋π∈，
可得g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.
所以函数g(x)在[－π，0]上的解析式为
g(x)＝
