2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第1讲　函数及其表示

第二章　函数、导数及其应用第1讲　函数及其表示 [考纲解读]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(重点)2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.   对应学生用书P0101.函数与映射 函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．1．概念辨析(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　　)(2)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}．f：x→x的平方根是A到B的映射．(　　)(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)(4)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．小题热身(1)函数y＝＋的定义域为(　　)A.  B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C.∪(3，＋∞)  D．(3，＋∞)答案　C解析　由解得x≥且x≠3，所以已知函数的定义域为∪(3，＋∞)．(2)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)A．y＝()2  B．y＝＋1C．y＝＋1  D．y＝＋1答案　B解析　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)A．－10  B．10  C．－2  D．2答案　C解析　f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)答案　[－3,0]∪[1,4)　[1，＋∞)　[1,2)∪(5，＋∞)解析　观察函数y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x值与之对应．(5)已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.答案　(x≠0)解析　令t＝，则t≠0，x＝，f(t)＝2＋5·＝.所以f(x)＝(x≠0)．  对应学生用书P011题型 一　函数的定义域1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)A．{x|－3＜x＜1}  B．{x|－3＜x＜2且x≠1}C．{x|0＜x＜2}  D．{x|1＜x＜2}答案　B解析　要使函数解析式有意义，须有解得所以－3＜x＜2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．2．函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝的定义域是(　　)A．[1，＋∞)  B．(－∞，1]C．[1,2)∪(2，＋∞)  D．[2，＋∞)答案　C解析　依题意得解得x≥1且x≠2，所以函数y＝的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2019·安阳三校联考)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)A．[0,4)  B．(0,4)  C．[4，＋∞)  D．[0,4]答案　D解析　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则解得0<m≤4.综上可得，0≤m≤4. 1．函数y＝f(x)的定义域2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．如举例说明2中f(x)的定义域是[2，＋∞)，f(2x)中x应满足2x≥2.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f(x)＝－的定义域为(　　)A.[1,10]  B．[1,2)∪(2,10]C.(1,10]  D．(1,2)∪(2,10]答案　D解析　要使原函数有意义，则解得1＜x≤10且x≠2，所以函数f(x)＝－的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是(　　)A.  B. C.  D.答案　C解析　由题意得解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.3.已知函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．答案　[0,3)解析　当k＝0时，y＝，满足条件；当k≠0时，由得0＜k＜3.综上，0≤k＜3.题型 二　求函数的解析式1.已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝________.答案　x2－2(x≥2或x≤－2)解析　因为f＝x2＋x－2＝2－2，且当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2).2.已知f＝lg x，则f(x)＝________.答案　lg (x>－1)解析　令t＝－1，则由x>0知－1>－1，x＝，所以由f＝lg x，得f(t)＝lg (t>－1)，所以f(x)＝lg (x>－1).3.已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案　x2－x＋5解析　因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x2－x＋5.4.已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.答案　2x－(x≠0)解析　因为2f(x)＋f＝3x，①所以将x用替换，得2f＋f(x)＝，②由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0).求函数解析式的四种方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为________．答案　f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.2.已知f(＋1)＝x＋2，则函数f(x)的解析式为________．答案　f(x)＝x2－1(x≥1)解析　解法一：∵f(＋1)＝x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，且＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1).题型 三　分段函数　角度1　求分段函数的函数值1.已知函数f(x)＝则f等于(　　)A.4  B.  C．－4  D．－答案　B解析　f＝log5＝－2，f＝f(－2)＝.角度2　分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f(x)＝若f＝4，则实数a＝(　　)A.－  B．－C.－或－  D．－2或－答案　A解析　因为<1，所以f＝4×＋a＝a＋.若a＋≥1，即a≥－时，2a＋＝4，即a＋＝2⇒a＝－>－(成立)；若a＋<1，即a<－时，则4a＋＋a＝4，即a＝－>－(舍去)，综上a＝－.3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)A.(－∞，－1]       B．(0，＋∞)     C.(－1,0)       D．(－∞，0)答案　D解析　将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x<0，所以满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值(1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间．②代入该区间对应的解析式求值．(2)两种特殊情况①当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求f后再求f要分类讨论.2.解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．如举例说明3.1.设函数f(x)＝则f[f(－4)]＝________.答案　－1解析　f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1.2.函数f(x)＝若f(a)≤a，则实数a的取值范围是________．答案　[－1，＋∞)解析　当a≥0时，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；当a<0时，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1且a≠0，所以－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞).3.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．答案　－解析　当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不符合题意．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意.　　　　　　　　　  对应学生用书P222　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组　基础关1.下列各组函数中不表示同一函数的是(　　)A.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg |x|B.f(x)＝x，g(x)＝C.f(x)＝，g(x)＝·D.f(x)＝|x＋1|，g(x)＝答案　C解析　A中，g(x)＝2lg |x|＝lg x2，则f(x)与g(x)是同一函数；B中，g(x)＝＝x，则f(x)与g(x)是同一函数；C中，函数f(x)＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g(x)＝·的定义域为[2，＋∞)，则f(x)与g(x)不是同一函数；D中，f(x)＝|x＋1|＝则f(x)与g(x)是同一函数．故选C.2.若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　)A.  B.  C.  D.－1答案　B解析　当x≠0，且x≠1时，f＝＝，所以f(x)＝.3.已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　)A.{x|x∈R}  B．{x|x＞0}C.{x|0＜x＜5}  D．{x答案　D解析　由题意知即＜x＜5.4.设f(x)＝则f[f(－2)]等于(　　)A.－1  B.  C.  D.答案　C解析　由已知得，f(－2)＝2－2＝，f[f(－2)]＝f＝1－＝1－＝.5.已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)A.－  B．－  C．－  D．－答案　A解析　当a≤1时，不符合题意，所以a>1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.6.已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是(　　)A.2  B．3  C．4  D．5答案　C解析　∵A＝{x|x＝n2，n∈N}，①中f(x)＝x，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝n2，n∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；②中f(x)＝x2，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n2)2，n2∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；③中f(x)＝x3，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n3)2，n3∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；④中f(x)＝x4，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n4)2，n4∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；⑤中f(x)＝x2＋1，若x＝1，则f(x)＝2∉A，不满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故错误；故能够表示函数f：A→A的个数是4.7.(2020·马鞍山质量检测)已知函数f(x)＝则f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝(　　)A.44  B．45  C．1009  D．2018答案　A解析　因为442＝1936,452＝2025，所以44＜＜45，所以1，，，…，中有44个有理数，所以f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝44.8.若函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2,4)，则a＋b＝________.答案　5解析　要使函数有意义，则解不等式组得∵函数f(x)＝＋ln (b－x)的定义域为[2,4)，∴∴∴a＋b＝1＋4＝5.9．若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．答案　f(x)＝解析　由题意，当－1≤x＜0时，直线的斜率为1，方程为y＝x＋1；当0≤x≤2时，直线的斜率为－，方程为y＝－x.所以函数的解析式为f(x)＝10.已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．答案　[－4,2]解析　解法一：由题意知或解得－4≤x≤0或0<x≤2，故x的取值范围为[－4,2]．解法二：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)＝与y＝－1的图象．如图所示，其交点分别为(－4，－1)，(2，－1)．由图象知满足f(x)≥－1的x的取值范围是[－4,2].　组　能力关1.(2019·大同模拟)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝ln ；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　)A.①②  B．①③  C．②③  D．①答案　B解析　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意.2.(2020·惠州调研)若函数y＝f(2x)的定义域为，则y＝f(log2x)的定义域为________．答案　[2 ，16]解析　由已知得，x∈时，2x∈[，4]，函数y＝f(x)的定义域为[，4]．由≤log2x≤4，得2 ≤x≤16，所以y＝f(log2x)的定义域为[2 ，16].3.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．答案　解析　当x≤0时，f(x)＝2x＝，则x＝－1.当x>0时，f(x)＝|log2x|＝.当0<x<1时，－log2x＝，x＝.当x＝1时，显然不符合题意．当x>1时，log2x＝，x＝.所以使f(x)＝的x的集合为.4.设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则a的取值范围是________．答案　(－∞，－2)∪解析　解法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.解法二：(分类讨论)①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，又a≤－1，∴a<－2；②当－1<a<1时，由2a＋2>1，得a＞－，又－1<a<1，∴－<a<1；③当a≥1时，由－1>1，得0<a<，又a≥1，∴此时a不存在．综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.5.已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．答案　解析　∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)．又3<3＋log32<4，∴f(3＋log32)＝3＋log32＝3×log32＝×(3－1)log32＝×3－log32＝×3log3＝×＝，∴f(2＋log32)＝.6.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x2.(1)求f(－1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－1,1]上的表达式．解　(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；因为∀x∈R，都有f(x)＝－2f(x＋1)，所以当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；所以f(x)＝