2021版浙江新高考选考物理一轮复习教师用书：10第八章　3题型探究课四　带电粒子在复合场中的运动

题型探究课四　带电粒子在复合场中的运动

　带电粒子在组合场中的运动

【题型解读】

组合场是指电场、磁场同时存在，但各位于一定的区域内(或电场、磁场交替存在，位于同一指定的区域内)．若带电粒子速度方向与磁场方向平行，则在磁场中做匀速直线运动；若带电粒子垂直进入磁场，则做匀速圆周运动．而在电场中，若速度方向与电场线在同一直线上，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场线垂直，则做类平抛运动．

解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下：

【典题例析】

　(2019·4月浙江选考)有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示．左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m和0.5m的正离子束，从M点垂直该点电场方向进入静电分析器．在静电分析器中，质量为m的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON中点P与水平方向成θ角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m的离子打在O点正下方的Q点．已知OP＝0.5r0，OQ＝r0，N、P两点间的电势差UNP＝，cosθ＝，不计重力和离子间相互作用．

(1)求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B的大小；

(2)求质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l(用r0表示)；

(3)若磁感应强度在(B－ΔB)到(B＋ΔB)之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两束离子，求的最大值．

[解析]　(1)由径向电场力提供向心力有E0q＝

解得E0＝

由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝

解得B＝.

(2)从M点到P点，由动能定理有

×0.5mv2－×0.5mv＝qUNP

解得v＝v0

则在磁场中，质量为0.5m的离子的轨迹半径r＝＝r0

由几何知识有l＝2rcosθ－0.5r0

解得l＝1.5r0.

(3)若恰好能分辨，则有－＝

解得＝－4≈0.12.

[答案]　(1)　　(2)1.5r0　(3)0.12

带电粒子在组合场中运动时要分段求解，在电场中的加速运动或类平抛运动用动能定理、运动分解及牛顿运动定律求解．而在磁场中的圆周运动则应用周期和半径公式结合几何作图求解．在复合场中的运动要分析好粒子的受力情况和运动情况来求解．　

【题组过关】

考向1　先电场后磁场

1．(2020·台州月考)如图所示，平行板电容器两金属板A、B板长L＝32cm，两板间距离d＝32cm，A板的电势比B板高．电荷量q＝10－10C、质量m＝10－20kg的带正电的粒子，以初速度v0＝2×106m/s沿电场中心线垂直电场线飞入电场．随后，粒子在O点飞出平行板电容器(速度偏转角为37°)，并进入磁场方向垂直纸面向里，且边长为CD＝24cm的正方形匀强磁场区域．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，粒子的重力不计)

(1)求A、B两板的电势差；

(2)粒子穿过磁场区域后打在放置于中心线上的荧光屏CD上，求磁感应强度的范围．

解析：(1)带电粒子射出电场时在电场方向上的速度为：vy＝v0tan37°①

vy＝at②

在电场中，由牛顿第二定律可得：

qE＝q＝ma③

在电场中垂直于电场方向上有：L＝v0t④

联立①②③④式可得A、B两板的电势差为：

U＝300V．⑤

(2)粒子进入磁场的速度为：v＝⑥

带电粒子射出电场时在电场方向上的位移为：

y＝at2⑦

粒子要打在CD上，当磁感应强度最大时，运动轨迹如图线1所示，设此时的磁感应强度为B1，半径为R1，由几何关系可得：y＝R1＋R1cos37°⑧

由洛伦兹力提供向心力可得：qvB1＝m⑨

粒子要打在CD上，当磁感应强度最小时，假设运动轨迹与右边界相切且从CD射出，

设此时的半径为R2，由几何关系可得：

CD＝R2＋R2sin37°⑩

解得R2＝15cm，又由于R2cos37°＝12cm＝y，故粒子圆心恰好在CD上，且从D点射出磁场，如图线2所示，假设成立，设此时的磁感应强度为B2

由洛伦兹力提供向心力可得：qvB2＝m⑪

联立以上各式并代入数据可得磁感应强度的范围为：1.7×10－3T≤B≤3.75×10－3T.

答案：(1)300V

(2)1.7×10－3T≤B≤3.75×10－3T

考向2　先磁场后电场

2．如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)从坐标原点O以速度大小v0射入磁场，其入射方向与x轴的正方向成30°角．当粒子第一次进入电场后，运动到电场中P点处时，方向与x轴正方向相同，P点坐标为[(2＋1)L，L]．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：

(1)粒子运动到P点时速度的大小v；

(2)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B；

(3)粒子从O点运动到P点所用的时间t.

解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，OQ段为圆弧，QP段为抛物线，粒子在Q点时的速度大小为v0，根据对称性可知，方向与x轴正方向成30°角，可得：v＝v0cos30°

解得：v＝v0.

(2)在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得－qEL＝mv2－mv，解得E＝

水平方向的位移为xQP＝v0t1

竖直方向的位移为y＝v0sin30°t1＝L

可得xQP＝2L，OQ＝xOP－xQP＝L

由于OQ＝2Rsin30°，故粒子在OQ段做圆周运动的半径R＝L，又qv0B＝m，解得B＝.

(3)粒子从O点运动到Q点所用的时间为t1＝×＝

设粒子从Q到P所用时间为t2，在竖直方向上有t2＝＝

则粒子从O点运动到P点所用的时间为

t＝t1＋t2＝.

答案：(1)v0　(2)　　(3)

　带电粒子在复合场中的运动

【题组过关】

1．(2017·11月浙江选考)如图所示，在两水平金属板构成的器件中，存在着匀强电场与匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．以某一水平速度进入的不计重力的带电粒子恰好能沿直线运动，下列说法正确的是(　　)

A．粒子一定带负电

B．粒子的速度大小v＝

C．若粒子速度大小改变，粒子将做曲线运动

D．若粒子速度大小改变，电场对粒子的作用力会发生变化

答案：C

2．如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平方向向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点．

(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；

(2)求磁感应强度B的值；

(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？

解析：(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有

q＝mg①

由①式得：q＝②

由于电场方向向下，电荷所受电场力向上，可知：墨滴带负电荷．

(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有qv0B＝m③

考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径

R＝d④

由②③④式得B＝.⑤

(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图，设圆周运动半径为R′，有

qv0B′＝m⑥

由图示可得：

R′2＝d2＋⑦

得：R′＝d⑧

联立②⑥⑧式可得：B′＝.

答案：(1)负电荷　　(2)　(3)

3.如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g.

(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；

(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；

(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP.

解析：(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvB＋FN＝qE

小滑块在C点离开MN时FN＝0

解得vC＝.

(2)由动能定理得

mgh－Wf＝mv－0

解得Wf＝mgh－.

(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′，

g′＝

且v＝v＋g′2t2

解得vP＝.

答案：(1)　(2)mgh－　

(3)

带电粒子在复合场中运动的解题思路

　带电粒子在交变电磁场中的运动

【题组过关】

1．(2020·温州六校联考)如图甲所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

(1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．

解析：设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．

(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力

B0qv0＝

而v0＝

由两式得磁感应强度B0＝.

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝

做匀速圆周运动的周期T0＝

当两板之间正离子运动n个周期，即nT0时，

有R＝(n＝1，2，3…)

联立求解，得正离子的速度的可能值为

v0＝＝(n＝1，2，3…)．

答案：(1)　(2)(n＝1，2，3…)

2．(2020·舟山质检)如图甲所示，带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入电场中．MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场．紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕．金属板间距为d，长度为l，磁场的宽度为d.已知：B＝5×10－3T，l＝d＝0.2m，每个带正电粒子的速度v0＝105m/s，比荷为＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为是恒定不变的．试求：

(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；

(2)带电粒子射出电场时的最大速度；

(3)带电粒子打在屏幕上的范围．

解析：(1)t＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小．

粒子在磁场中运动时

qv0B＝

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径

rmin＝＝m＝0.2m

其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示．

(2)设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有

＝at2＝·

代入数据，解得U1＝100V

在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出．带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有mv＝mv＋q·

解得vmax＝×105m/s＝1.414×105m/s.

(3)由第(1)问计算可知，t＝0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径rmin＝d＝0.2m

径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则O′E＝rmin＝0.2m

带电粒子射出电场时的速度最大时，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低．

设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax，打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示．

qvmaxB＝

则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径

rmax＝＝m＝m

由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上．则O′Q＝＝m＝0.1m

带电粒子打在屏幕上的最低点为F，则

O′F＝rmax－O′Q＝m＝0.18m

即带电粒子打在屏幕上O′上方0.2m到O′下方0.18m的范围内．

答案：(1)0.2m　(2)1.414×105m/s　(3)见解析

带电粒子在交变复合场中运动问题的基本思路

1．如图所示，真空中存在着下列四种有界的匀强电场E和匀强磁场B区域，一带正电的小球(电荷量为＋q，质量为m)从该复合场边界上方的某一高度由静止开始下落．那么小球可能沿直线通过下列哪种复合场区域(　　)

解析：选B.对带正电的小球进行受力分析可知，只有在选项B所示的复合场区域其所受洛伦兹力、重力、电场力可以平衡，故B正确．

2．(2020·浙江“七彩阳光”联盟联考)如图所示，X1、X2，Y1、Y2，Z1、Z2分别表示导体板左、右，上、下，前、后六个侧面，将其置于垂直Z1、Z2面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当电流I通过导体板时，在导体板的两侧面之间产生霍耳电压UH.已知电流I与导体单位体积内的自由电子数n、电子电荷量e、导体横截面积S和电子定向移动速度v之间的关系为I＝neSv.实验中导体板尺寸、电流I和磁感应强度B保持不变，下列说法正确的是(　　)

A．导体内自由电子只受洛伦兹力作用

B．UH存在于导体的Z1、Z2两面之间

C．单位体积内的自由电子数n越大，UH越小

D．通过测量UH，可用R＝求得导体X1、X2两面间的电阻

解析：选C.由于磁场的作用，电子受洛伦兹力，向Y2面聚集，在Y1、Y2平面之间累积电荷，在Y1、Y2之间产生了匀强电场，故电子也受电场力，在Y1、Y2之间也产生了电势差，故选项A、B错误；当自由电子所受的电场力和洛伦兹力平衡时，霍耳电压UH稳定，即有＝Bev，又有I＝neSv，即得UH＝，故选项C正确；电流I并不是因霍耳电压UH而形成的，所以R＝并不成立，选项D错误．

3．(2020·杭州高三检测)如图所示，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面．当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为(　　)

A．0    B．2mg    C．4mg    D．6mg

解析：选C.设小球自左方摆到最低点时速度为v，则mv2＝mgL(1－cos60°)，此时qvB－mg＝m，当小球自右方摆到最低点时，v大小不变，洛伦兹力方向发生变化，T－mg－qvB＝m，得T＝4mg，故C正确．

4．(2020·1月浙江选考)通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率(即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值)，可研究中子(n)的β衰变．中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子e.如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子．在P点下方放置有长度L＝1.2 m以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离OP为a.在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．

已知电子质量me＝9.1×10－31 kg＝0.51 MeV/c2，中子质量mn＝939.57 MeV/c2，质子质量mp＝938.27 MeV/c2(c为光速，不考虑粒子之间的相互作用)．

若质子的动量p＝4.8×10－21 kg·m·s－1＝3×10－8 MeV·s·m－1，

(1)写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能(以MeV为能量单位)；

(2)当a＝0.15 m，B＝0.1 T时，求计数率；

(3)若a取不同的值，可通过调节B的大小获得与(2)问中同样的计数率，求B与a的关系并给出B的取值范围．

解析：(1)n→p＋e＋e.

ΔEd＝mnc2－(mpc2＋mec2)＝0.79 MeV

Ekp＝＝0.043 2 MeV

Ee＋Eν＝ΔEd－Ekp＝0.746 8 MeV.

(2)质子运动半径

R＝＝0.3 m

如图甲所示，打到探测板对应发射角度

α＝β＝

可得质子计数率为

η＝＝.

(3)在确保计数率为η＝的情况下

R′＝2a

即B＝ T

如图乙所示，恰能打到探测板左端的条件为

4R－＝

即B≥ T.

答案：见解析