2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第二节　第1课时　系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节　圆与方程

第1课时　系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

1．圆的定义及方程

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

[提醒]　不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．

[谨记常用结论]

1.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．

答案：(x－2)2＋y2＝10

2.经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1

3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2

4.已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．

答案：

5．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是________．

答案：(－，)

6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．

答案：x2＋y2－2x＝0

1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)

2．圆的切线

(1)过圆上一点的圆的切线

①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(2)过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.

(3)切线长

①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .

②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝.

[提醒]　过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．

3．圆的弦问题

直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：

(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.

(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：

|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.

[谨记常用结论]

过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,　

1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，－1]　　　　　 　B．[－1,3]

C．[－3,1]   D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

答案：C

2.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)

A．相切   B．相交

C．相离   D．随a的变化而变化

解析：选B　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．

3.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．

解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．

答案：相交

4.过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．

解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.

答案：x＝2或4x－3y＋1＝0

5．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．

答案：(x－1)2＋y2＝8

6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.

∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，

∴|AB|＝2＝2＝2.

答案：2

圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

[提醒]　涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．

[谨记常用结论]

圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：

1将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；

2两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C2.　

1.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．

答案：2

2.若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.

答案：±2或0

3.圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.

解析：由题意，得2r＝，所以r＝.

答案：

4.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．

答案：[1,121]

5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A．21   B．19

C．9   D．－11

解析：选C　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.

6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)

A．1条   B．2条

C．3条   D．4条

解析：选A　两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.