2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第三章第二节　第1课时　必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

第二节　导数在研究函数中的应用

1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数　的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
第1课时　必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值


利用导数研究函数的单调性
1.函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒]　(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
答案：C
2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)

答案：C
3.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)和(0,1)　　　 B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
答案：A
4.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D　因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
6．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)

利用导数研究函数的极值
1.函数的极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
2．函数的极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
[提醒]　(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．
(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

1.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
答案：D
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．
3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
4.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当x＝－1时有极值0，则a＋b的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得即解之，得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在x＝－1处无极值，舍去．所以a＝2，b＝9.所以a＋b＝11.
答案：11
5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2 答案：(2,6)
6．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．
解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2 答案：－1

函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[提醒]　求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．

1.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0
解析：选B　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
2.函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值
解析：选D　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
3.函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
答案：＋
4.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案：(－4，－2)
5．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x>0)，f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，所以f(x)的最小值为0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
[课时跟踪检测]
1．(2019·厦门质检)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1)　　　　　　　　　 B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：选B　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－≤0，得0 2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：
①f′(x)>0时，－1 ②f′(x)<0时，x<－1或x>2；
③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.
则函数f(x)的大致图象是(　　)

解析：选C　根据信息知，函数f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.
3．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
解析：选C　∵f(x)＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，
得x＝0或x＝1或x＝－1，
又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，
当01时，f′(x)>0，
∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
4．(2019·成都高三摸底测试)已知函数f(x)＝x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
解析：选B　∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.
5.(2019·赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D　由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.
6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x　　　　　 B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
解析：选B　对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得0 7.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2] B.
C．[－2,3] D.
解析：选D　由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.当x≥时，y′≥0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a A．af(a) C．af(a)>bf(b) D．af(b)>bf(a)
解析：选C　[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)<0，∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵abf(b)．
9．(2019·广州模拟)若函数f(x)＝ex(sin x＋acos x)在上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选A　f′(x)＝ex[sin x＋cos x－a(sin x－cos x)]，当a＝0时，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，显然x∈，f′(x)>0恒成立，排除C、D；当a＝1时，f′(x)＝2excos x，x∈时，f′(x)>0，故选A.
10．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x) A．{x|－1 C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}
解析：选B　令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x) 11．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：选C　当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当01时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当01时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.
12．(2019·湖北咸宁重点高中联考)设函数f(x)＝x2－9ln x 在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(4，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,3]
解析：选A　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，由x－≤0，得00且a＋1≤3，解得1 13．函数f(x)＝x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
14．(2019·长治联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1>0，f(1)＝6，则不等式f(lg x)<＋5的解集为________．
解析：构造g(x)＝f(x)－－5，则g′(x)＝f′(x)＋＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(1)＝6，∴g(1)＝0，
故g(x)<0的解集为(0,1)，即f(x)<＋5的解集为(0,1)，由0 答案：(1,10)
15．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．
解析：f′(x)＝－k＝(x>0)．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.
答案：(－∞，e]
16．已知函数g(x)满足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋x2，且存在实数x0，使得不等式2m－1≥g(x0)成立，则实数m的取值范围为________．
解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，
令x＝1，得g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1，
∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1，∴g′(1)＝e，
∴g(x)＝ex－x＋x2，g′(x)＝ex－1＋x，
当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，
∴当x＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1.
根据题意得2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1.
答案：[1，＋∞)