2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第八章第五节　空间向量及其运算和空间位置关系

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系
[考纲要求]
1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式．
2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．　　　


突破点一　空间向量及其运算


1．空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
(2)空间向量中的有关定理
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c
2.两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量的运算及其坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)
(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　)
(3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
二、填空题
1．如图，已知空间四边形ABCD，则＋＋等于________．
答案：
2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．
答案：1
3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.
答案：3　2
4．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
答案：7



考法一　空间向量的线性运算　
[例1]　已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解]　(1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
[方法技巧]
用已知向量表示某一向量的3个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　　
考法二　共线、共面向量定理的应用　
[例2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
[证明]　(1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[方法技巧]
1．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4) ∥ (或∥或∥)．　　
考法三　空间向量数量积的应用　
[例3]　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈，〉．
[解]　∵||＝＝＝＝||，
∴·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉．
又∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＝||||＝1×＝.
∴cos〈，〉＝.
[方法技巧]　　空间向量数量积的3个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题



1.已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)
A.(b＋c－a)　　　　　 B.(a＋b＋c)
C.(a－b＋c) D.(c－a－b)
解析：选D　＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)．
2.O为空间任意一点，若＝＋＋， 则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
解析：选B　因为＝＋＋，且＋＋＝1.所以P，A，B，C 四点共面．
3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且 ∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
解析：设＝a，＝b，＝c，
由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，
且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
∴⊥，∴cos〈，〉＝0.
答案：0
突破点二　利用空间向量证明平行与垂直


1．两个重要向量
直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个
平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量

2．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线平行
l∥m⇔a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0
面面平行
α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
线线垂直
l⊥m⇔a·b＝0
线面垂直
l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)
面面垂直
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　)
(2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是
n0=±.(　　)
(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)
(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、填空题
1．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案：－14　6
2．若平面α的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
答案：－3
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－3,0，－6)，则l与α的位置关系是________．
答案：l⊥α


考法一　向量法证明平行与垂直关系　
[例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝，
∴＝2，∴PA∥EG.
又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，
故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，
又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
[方法技巧]
1．利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；
②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
[针对训练]
已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n，
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，
由得得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2 ＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
考法二　向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题
[例2]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
[解]　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，

则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，
所以＝(t－1,1,0)．
而B1F⊄平面A1BE，
于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
[方法技巧]
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路
(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．
(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　
[针对训练]
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则在线段CC1上是否存在一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？证明你的结论．
解：存在点P，当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下：

如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，P(0,1，a)(0≤a≤1)，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，
∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，
＝，＝(0,1,1)．
设平面A1B1P的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则∴
令z1＝1，则x1＝a－1，
∴n1＝(a－1,0,1)．
设平面C1DE的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，
则∴
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
∴n2＝(－2,1，－1)．
若平面A1B1P⊥平面C1DE，
则n1·n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝.
∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
[课时跟踪检测]
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
解析：选A　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析：选A　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：选B　当x＝2，y＝－3，z＝2时，＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n (m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)
A．9 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B　由题意设c＝xa＋yb，则(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ＝－9.
5．(2019·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
解析：选C　＋λ＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.
6．在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B　法一：如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
法二：在三棱锥A­BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．
所以·＝0，·＝0，·＝0.
所以·＋·＋·＝0.
7．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于________．
解析：设＝λ，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，
∴D(1,4λ－1,2－3λ)，
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
解得λ＝－，∴＝，
∴||＝ ＝5.
答案：5
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB，故①正确；
·＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD，故②正确；
由①②知AP⊥平面ABCD，
故③正确，④不正确．
答案：①②③
9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析：∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
答案：，，
10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．
求证：MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3，2,0)，S.
∴＝，＝，＝.
∴∥.∵M∉RS.∴MN∥RS.
又RS⊂平面RSD，MN⊄平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c，
∴＝，∴∥，
又∵R∉MN，∴MN∥RS.
又RS⊂平面RSD，MN⊄平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，
C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，
＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
12．如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，B，C，
＝，＝，
则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.
设＝t，则＝＋＝＋t＝，
而·＝0⇒t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.