2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第2讲

第2讲　两条直线的位置关系

1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系

2．三种距离

3．常用的直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

1．概念辨析

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)

(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为(　　)

A．7 B．0或7

C．0 D．4

答案　B

解析　∵直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.

(2)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0

答案　C

解析　直线x－2y－2＝0的斜率是，与之垂直的直线的斜率是－2，所以要求的直线方程是y－0＝－2(x－1)，整理得2x＋y－2＝0.

(3)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是________．

答案　

解析　原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.

(4)已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为________．

答案　x＋y－4＝0

解析　线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率k1＝1，∴直线l的斜率k2＝－1，∴直线l的方程为x＋y－4＝0.

题型 　两条直线的位置关系

1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

答案　－9

解析　由得∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.

2．(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解　(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，

∴此种情况不存在，

∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0.

∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①

又∵l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a，③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，

且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，

即＝b，④

联立③④，解得或

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

条件探究　把举例说明2中两条直线方程改为“l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0”，分别求：

(1)当l1∥l2时a的值；

(2)当l1⊥l2时a的值．

解　(1)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，

l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，

两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.

综上可知，a＝－1.

解法二：由l1∥l2知

即⇒⇒a＝－1.

(2)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；

当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，

由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.

解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝.

1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法

(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．

(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

2．由一般式确定两直线位置关系的方法

注意：在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0，则“m＝－2”是“l1∥l2”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　若m＝－2，则l1：－6x－8＝0，l2：－3x＋1＝0，

∴l1∥l2.若l1∥l2，则(m－4)(m＋2)＋(2m＋4)(m－1)＝0，且(m－4)×1≠(m－1)·(2m－4)，解得m＝2或m＝－2.

∴“m＝－2”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选B.

2．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．

答案　1　(3,3)

解析　若l1⊥l2，则a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1.

解方程组得所以点P的坐标为(3,3)．

3．设直线mx－y－m＋2＝0过定点A，则过点A且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为________．

答案　2x－y＝0

解析　∵直线mx－y－m＋2＝0可化为m(x－1)－y＋2＝0，∴定点A的坐标为(1,2)．∵直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴所求直线的斜率为2，∴所求直线的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

题型 　距离问题

1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)

A. B．4

C． D．2

答案　C

解析　若l1∥l2，则1×3－a(a－2)＝0，解得a＝－1或3.

经检验a＝3时，两条直线重合，舍去．

所以a＝－1，此时有l1：x－y＋6＝0，

l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，

所以l1与l2之间的距离d＝＝.

2．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．

答案　

解析　由题意得

|AB|＝

＝＝，

所以当a＝时，|AB|取得最小值．

3．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为________．

答案　(－12,0)或(8,0)

解析　设P(a,0)，则有＝6，

解得a＝－12或a＝8.

∴P点坐标为(－12,0)或(8,0)．

距离问题的常见题型及解题策略

(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．

(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A. B．

C． D．

答案　C

解析　易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，这两条平行线间的距离是＝.

2．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为________．

答案　y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0

解析　当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

题型 　对称问题

1．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

答案　6x－y－6＝0

解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得

又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

解　(1)设A′(x，y)，再由已知

解得∴A′.

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．

设对称点为M′(a，b)，则

解得M′.

设m与l的交点为N，

则由得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.

(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，

如M(1,1)，N(4,3)，

则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．

易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

解法二：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，

∵P′在直线l上，

∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

解法三：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)，

∴由点到直线的距离公式得

＝，

解得c＝－9或c＝1(舍去)，

∴l′的方程为2x－3y－9＝0.

1．中心对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于点的对称

若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．

(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．如举例说明2(3)．

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2．轴对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：

Ax＋By＋C＝0对称，由方程组

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．如举例说明1，举例说明2(1)．

(2)直线关于直线的对称

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知直线l：3x－y＋3＝0，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

(3)直线l关于(1,2)的对称直线．

解　(1)解法一：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，

∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×－＋3＝0.②

由①②得

把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，

∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．

解法二：设点P(4,5)关于l的对称点为M(m，n)．

∵PM与l垂直，且PM的中点在直线l上，

∴解得

∴点P(4,5)关于l的对称点为(－2,7)．

(2)解法一：用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为

－－2＝0，

化简得7x＋y＋22＝0.

解法二：设直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线为l′.

解方程组得即两直线的交点为，则点在直线l′上．

取直线x－y－2＝0上一点Q(2,0)，则点Q(2,0)关于直线l的对称点Q′(a，b)在l′上．

∵QQ′与l垂直，且QQ′的中点在l上．

∴解得

∴Q′，∴l′的斜率为＝－7，

∴直线l′的方程为y＋＝－7，即7x＋y＋22＝0.

(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，

关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，

∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．

l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，

∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.