2020年高考数学理科一轮复习讲义：第7章立体几何第6讲

第6讲　空间向量及运算

1．空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式

①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

则|AB|＝ .

②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为

|OP|＝ .

(2)中点公式

设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.

2．空间向量的数量积

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

3．空间向量的坐标运算

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：

1．概念辨析

(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．(　　)

(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)

(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)

(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B．a＋b＋c

C．－a－b＋c D．a－b＋c

答案　A

解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A.

(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)

A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b

答案　C

解析　A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．

(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于________．

答案　－

解析　因为a∥b，所以＝＝，所以λ＝－.

(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．

答案　－

解析　cos〈a，b〉＝＝－.

题型 　空间向量的线性运算

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；

(2)；

(3)＋.

解　(1)∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.

(2)∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

(3)∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋＝－a＋a＋c＋b

＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.

∴＋＝＋＝a＋b＋c.

条件探究　在举例说明条件下，若＝，＝2，试用a，b，c表示.

解　如图，连接AF，则＝＋.

由已知四边形ABCD是平行四边形，

故＝＋＝b＋c，

＝＋＝－a＋c.

又＝－＝－(b＋c)，

由已知＝2，

所以＝＋＝－＝－

＝c－(c－a)＝(a＋2c)，

所以＝＋＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．

用已知向量表示某一向量的注意事项

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立．

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．

提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．

答案　a＋b＋c

解析　因为D为BC的中点，

所以＝(＋)＝(b＋c)，

又因为E为AD的中点，所以＝(＋)＝＝a＋b＋c.

2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

答案　－

解析　＝－＝－＝(－)－(＋)＝－＋－(＋)＝－－＋，

所以x＋y＋z＝－－＋＝－.

题型 　共线向量与共面向量定理的应用

1．(2018·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于________．

答案　－9

解析　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，

∴解得λ＝－9.

2．(2018·唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

解　(1)∵＝k，＝k，

∴＝＋＋

＝k＋＋k

＝k(＋)＋

＝k(＋)＋

＝k＋＝－k

＝－k(＋)

＝(1－k)－k，

∴由共面向量定理知向量与向量，共面．

(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直线MN与平面ABB1A1不平行．

当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，故MN∥平面ABB1A1.

证明三点共线和空间四点共面的方法

提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.

答案　

解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，

∴t＝.

2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

解　(1)由已知＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)，

即＝＋＝－－，

∴，，共面．

(2)由(1)知，，，共面且MA，MB，MC过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．

题型 　空间向量的数量积及应用

角度1　空间向量数量积的运算

1．(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)

A．a2 B．a2

C．a2 D．a2

答案　C

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三个向量两两的夹角为60°.

＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c

＝(a·c＋b·c)

＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.故选C.

角度2　空间向量数量积的应用

2．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥BD.

解　(1)记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝(a＋b＋c)2

＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)

＝1＋1＋1＋2×＝6，

∴||＝，即AC1的长为.

(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，

∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)

＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c

＝b·c－a·c

＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.

∴⊥，∴AC1⊥BD.

空间向量数量积的三个应用

1．(2018·南充三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：

①(＋＋)2＝32；

②·(－)＝0；

③向量与向量的夹角为60°；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.

其中正确命题的序号是(　　)

A．①② B．①②③

C．①④ D．①②④

答案　A

解析　设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图．

＝(0,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，＝(1,0，－1)，

所以对于①，(＋＋)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝32，故①正确；

对于②，·(－)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；

对于③，因为·＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量与向量的夹角为120°，故③错误；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为||||·||，但是|··|＝0，故④错误．故选A.

2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则实数λ＝________.

答案　3

解析　因为λa＋b＝(4,1－λ，λ)，所以|λa＋b|＝＝，所以λ2－λ－6＝0(λ>0)，所以λ＝3.