2019版高中数学二轮复习教师用书：专题七3.1　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题

第3讲　大题考法——圆锥曲线的综合问题

第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题

考向一　直线与圆锥曲线位置关系问题

【典例】 (2018·合肥三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F.若圆M的面积最小值为π．

(1)求p的值；

(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足∠AMF＝∠BMF. 若直线AB恰好与圆M相切，求直线AB的方程．

[思路分析]

[规范解答]　(1)由抛物线的性质知，当圆心M位于抛物线的顶点时，圆M的面积最小，

  1分

此时圆的半径为|OF|＝，∴＝π，解得p＝2． 3分

(2)依题意得，点M的坐标为(1,2)，圆M的半径为2.由F(1，0)知，MF⊥x轴. 4分

由∠AMF＝∠BMF知，弦MA，MB所在直线的倾斜角互补，∴kMA＋kMB＝0. 5分

设kMA＝k(k≠0)，则直线MA的方程为y＝k(x－1)＋2，∴x＝(y－2)＋1， 6分

代入抛物线的方程得y2＝4，

∴y2－y＋－4＝0，  7分

∴yA＋2＝，yA＝－2.  8分

将k换成－k，得yB＝－－2，  9分

∴kAB＝＝＝＝＝－1． 10分

设直线AB的方程为y＝－x＋m，即x＋y－m＝0．

由直线AB与圆M相切得，＝2，解得m＝3±2. 11分

经检验m＝3＋2不符合要求，故m＝3＋2舍去．

∴所求直线AB的方程为y＝－x＋3－2.  12分

[技法总结]　解决直线与圆锥曲线位置关系的步骤

(1)设方程及点的坐标；

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零) ；

(3)应用根与系数的关系及判别式；

(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

[变式提升]

1．(2018·佛山二模)已知直线l过点P(2,0)，且与抛物线T：y2＝4x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点．

(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；

(2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|·|OD|的值．

解　(1)因为A是PC中点，P(2,0)，点C在y轴上，

所以A的横坐标x＝1，代入y2＝4x得，y＝±2，

又点A在第四象限，所以A的坐标为(1，－2)，

所以直线AP即直线l的方程为y＝2x－4．

(2)显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为

x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又B，O，D三点共线，

则可设D为(λx2，λy2)(λ≠1且λ≠0)，

联立方程化简得到y2－4my－8＝0，

由韦达定理得y1·y2＝－8，

又A，B在y2＝4x上，所以x1·x2＝4，

因为D在以AB为直径的圆上，

所以⊥，即·＝0，

又＝(λx2－x1，λy2－y1)，＝(λx2，λy2)，

所以(λx2－x1)(λx2)＋(λy2－y1)(λy2)＝0，

即λ(x＋y)＝－4，

所以|OB|·|OD|＝|λ||OB|2＝|λ|(x＋y)＝4．

考向二　圆锥曲线中的证明问题

【典例】 已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．

(1)解　设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意得解得c＝．

所以b2＝a2－c2＝1．

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明　设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．

由题设知m≠±2，且n≠0．

直线AM的斜率kAM＝，

故直线DE的斜率kDE＝－．

所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．

直线BN的方程为y＝(x－2)．

联立

解得点E的纵坐标yE＝－．

由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n．

又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，

S△BDN＝|BD|·|n|，

所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．

[技法总结]　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．

(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．

[变式提升]

2．(2018·大庆二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且C过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B1、B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1、B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝－1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点．

求证：ON⊥EN．

(1)解　由题设知焦距为2，所以c＝．

又因为椭圆过点，

所以代入椭圆方程得＋＝1，

因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，

故所求椭圆C的方程是＋y2＝1．

(2)证明　设P(x0，y0)，x0≠0，则M(0，y0)，N．

因为点P在椭圆C上，所以＋y＝1.即x＝4－4y．

又B2(0,1)，所以直线B2N的方程为y－1＝x．

令y＝－1，得x＝，所以D．

又B1(0，－1)，E为线段B1D的中点，

所以E. 所以＝，

＝．

因·＝＋y0(y0＋1)

＝－＋y＋y0

＝1－＋y0＝1－y0－1＋y0＝0，

所以⊥， 即ON⊥EN．