2019版高中数学二轮复习教师用书：专题七第1讲　小题考法——直线与圆的方程

第1讲　小题考法——直线与圆的方程

一、主干知识要记牢

1．直线方程的五种形式

2.点到直线的距离及两平行直线间的距离

(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．

(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ ．

3．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．

4．直线与圆位置关系的判定方法

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．

5．圆与圆的位置关系

已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则

(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；

(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；

(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；

(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；

(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．

二、二级结论要用好

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系

(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；

(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；

(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0．

三、易错易混要明了

1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P(x0，y0)的直线设为y－y0＝k(x－x0)等．

2．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．

3．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．

4．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．

考点一　直线方程

直线方程问题的2个关注点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．

(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．

1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　C　)

A．－  B．0

C．－或0  D．2

解析　由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－. 经检验，当a＝0或a＝－时均有l1∥l2，故选C．

2．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　B　)

A．－4  B．－2

C．0  D．2

解析　由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B．

3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0．

解析　由得∴l1与l2的交点为(1,2). 当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0, ∵点P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0．

考点二　圆的方程

圆的方程的2种求法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

1．(2018·湖北联考)已知a＞1，过P(a,0)作⊙O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则经过P，A，B三点的圆的半径为(　D　)

A． B．

C．a  D．

解析　经过P，A，B三点的圆为以OP为直径的圆，所以半径为，选D．

2．(2018·蚌埠模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为(　D　)

A．(x－2)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1

C．(x－2)2＋y2＝4  D．(x－1)2＋y2＝4

解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为：x＝－1. 根据题意可得圆心为(1,0)，半径为2. 圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.故选D．

3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x2＋y2－2x＝0．

解析　方法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，

∴

解得

∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．

方法2：画出示意图如图所示，

则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0．

4．(2018·枣庄一模)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2．

解析　由题意，圆心在y＝－x＋2，设圆心为(a,2－a), 因为圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， 则圆心到两直线的距离相等，即＝，解得a＝0，即圆心(0,2)，且r＝＝，所以圆的方程x2＋(y－2)2＝2．

考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路

(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．

(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．

2．直线截圆所得弦长的求解方法

(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．

(2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．

(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．

1．(2018·潍坊模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　B　)

A．  B．

C．[－，]  D．

解析　设圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，

则根据点到直线距离有d＝，

由直线与圆相交弦长公式r2＝d2＋2，

所以|MN|＝2＝2，

解不等式2≥2得k2≤，

所以k∈，故选择B．

2．(2018·绵阳三诊)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：

①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；

②2ax1＋2by1＝a2＋b2；

③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b．

其中正确结论的个数是(　D　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析　公共弦的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0. 由得故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确，综上，选D．

3．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N两点．若·＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝(　A　)

A．2  B．4

C．  D．2

解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圆心为(2,3)，

将y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，

整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，

由题设可得＋8＝12，得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1．

故圆心(2,3)恰在直线l上，所以|MN|＝2．

4．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　D　)

A．(0,2]  B．[1,2]

C．[2,3]  D．[1,3]

解析　依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，

∵∠APB＝90°，∴·＝0，

∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，

得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，

∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，

∵t＞0，∴t∈[1,3]．