2019版高中数学二轮复习教师用书：专题七　解析几何

专题七　解析几何

解析几何问题重在“设”——设点、设线

解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．

【典例】　已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

[解题示范]　由题设F．

设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0❶，

且A，B，P，Q，R．

记过A，B两点的直线为l，

则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0．

(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0．

设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2．

所以AR∥FQ．

(2)解：设l与x轴的交点为D(x1,0)❷，

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，

S△PQF＝．

由题设可得2×|b－a||x1－|＝，

所以x1＝0(舍去)，x1＝1．

设满足条件的AB的中点为E(x，y)❸．

当AB与x轴不垂直时，

由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．

而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．

当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E(1,0)满足方程y2＝x－1．

所以所求轨迹方程为y2＝x－1．

❶设线：设出直线l1，l2可表示出点A，B，P，Q，R的坐标，进而可表示过A，B两点的直线方程

❷设点：设出直线l与x轴交点，可表示出|DF|，进而表示出S△ABF，根据面积关系，可求得此点坐标

❸设点：要求此点的轨迹方程，先设出此点，根据题目条件得出此点坐标的关系式，即轨迹方程

解决解析几何问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维，反映在解题上，就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．