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2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题一函数的图象与性质
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重点增分专题一 函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
分段函数及函数的单调性、解不等式·T12
函数图象的识辨·T3
函数图象的识辨·T9
抽象函数的奇偶性及周期性·T12
函数的奇偶性及对数式运算·T16
2017
函数图象的识辨·T8
复合函数的定义域及单调性·T8
函数图象的识辨·T7
复合函数的单调性、对称性·T9
函数的奇偶性、函数值的求解·T14
分段函数、解不等式·T16
2016
函数图象的识辨·T9
函数的定义域、值域问题·T10
(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．
(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
保分考点·练后讲评
[大稳定]
1.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2,3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.
2.已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，
所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：选D 法一：①当即x≤－1时，
f(x＋1)
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)
4.已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，
则解得0≤a＜.
答案：
[解题方略]
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数
最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
[小创新]
1.已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 019(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×672＋3(2)＝f3(2)＝2.
2.已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝
故f＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
3.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，所以由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又x∈[－1,3]，所以f(x0)≥0的概率为＝.
增分考点·广度拓展
题型一 函数图象的识别
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是( )
A．y＝xln x
B．y＝xln x－x＋1
C．y＝ln x＋－1
D．y＝－＋x－1
[解析] (1)∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B.
(2)对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e＝1，由图象可知选项A不符合题意；对于选项B，当x＝e时，eln e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；对于选项C，当x＝e时，ln e＋－1＝＜1，由图象可知选项C不符合题意，故选D.
[答案] (1)B (2)D
[解题方略]
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
知式选图
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
题型二 函数图象的应用
[例2] (1)(2018·枣庄检测)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
[解析] (1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
作出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，
函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)如图所示，在同一坐标系中作出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，
由图象可知，在[0,1]上，
x2＋1≤2x＜x2＋恒成立，
即1≤2x－x2＜，
当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，
∴1≤g(x)＜，
∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，
则实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
[答案] (1)C (2)C
[解题方略]
1．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
2．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
增分考点·深度精研
[析母题]
[典例] 定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1,0)
B．(0，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－2，－1)∪(0，＋∞)
[解析] 由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜ x＋1＜0或x＋1＞1，解得－2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．
[答案] D
[练子题]
1．本例中条件变为：若f(x)为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为________．
解析：由f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，
且f(－1)＝0，得f(1)＝0.
由f(x＋1)＞0，得|x＋1|<1.
解得－2
答案：(－2,0)
2．已知函数g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f(x)＝g(|x|)，若f(log2x)＋f(logx)≤2f(1)，则实数x的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝g(|x|)，所以函数f(x)是偶函数，又因为g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．
又因为logx＝－log2x，所以f(log2x)＋f(logx)≤2f(1)等价于f(log2x)≤f(1)，
所以－1≤log2x≤1，解得≤x≤2，
所以实数x的取值范围为.
答案：
3．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围为________．
解析：因为奇函数g(x)满足当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，
所以当x＞0时，－x<0，g(－x)＝－lg(1＋x)，
所以当x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝lg(1＋x)，
所以f(x)＝
因为f(x)在其定义域上是增函数，
所以f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，
解得－2
答案：(－2,1)
[解题方略]
1．函数3个性质及应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
2．函数性质综合应用的注意点
(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[多练强化]
1．(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23)
B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23)
C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0)
D．f(－log23)＞f(0)＞f(log32)
解析：选C ∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故选C.
2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C 法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数 B．f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数 D．f(x＋1)－1是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D.
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D.
数学抽象——抽象函数与函数的三大性质
[典例] 定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间上是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.
[答案] D
[素养通路]
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．
本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f＝f(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区间上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A 因为f(x)＝所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.
2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝－x2＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.
3．已知函数f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝( )
A．1或 B.或
C．2或 D．1或
解析：选B 由已知条件可知f(g(1))＝f(2－a)＝4|2－a|＝2，所以|a－2|＝，得a＝或.
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5的定义域和值域都是[1，a]，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2，所以f(x)在[1，a]上是减函数，又f(x)的定义域和值域均为[1，a]，所以即解得a＝2.
5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：选D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f′(x)>0的解集为∪，
f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，
∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
7．设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选A 法一：因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋ a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.
法二：因为f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A 当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
9．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选A 由题意知，函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C、D，又f＝＜0，故排除选项B.
10．已知函数f(x)在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由已知得f(3x－2)＜f(x－1)，
∴解得＜x＜1，故选B.
11．已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1,3)
解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1≤a＜3.故选D.
12．(2018·洛阳一模)已知a＞0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 017 B．2 019
C．4 038 D．4 036
解析：选D 由题意得f(x)＝＝2 019－.
因为y＝2 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，
所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，
所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 038－－＝4 036.
二、填空题
13．函数y＝的定义域是________．
解析：由得－1＜x＜5，
∴函数y＝的定义域是(－1,5)．
答案：(－1,5)
14．函数f(x)＝ln的值域是________．
解析：因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
所以0＜≤1.所以ln≤0，
即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
15．(2018·福州质检)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，
f＝f，
所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(2 017)＝f(1)＝－1，
f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，所以f(2 017)＋f(2 018)＝－2.
答案：－2
16．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象的下方，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1
B组——“12＋4”提速练
一、选择题
1．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 要使函数y＝有意义，
需满足
即解得≤x＜2.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x与y＝logaax(a＞0且a≠1)
B．y＝与y＝x＋3
C．y＝－8与y＝x－8
D．y＝ln x与y＝ln x2
解析：选A 对于选项A，y＝x与y＝logaax＝x(a＞0且a≠1)的定义域都为R，解析式相同，故A中两函数表示同一函数；B、D中两函数的定义域不同；C中两函数的对应法则不同，故选A.
3．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析：选A “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝－x满足条件．
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选D 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝
令x＜0，则－x＞0，f(－x)＝log2(－x＋1)，
因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，
所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，
所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，
所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.
5．(2018·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
解析：选A 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2
C．(－3，＋∞) D.
解析：选D 依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立，等价于a>－x2＋3x＋1对任意的x∈[－1,2]恒成立．设g(x)＝－x2＋3x＋1(－1≤x≤2)，则g(x)＝－2＋ (－1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g＝，因此a＞，故选D.
7．(2018·南昌模拟)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
解析：选C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，
∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，∴
即∴
∴1≤a≤2，故选C.
法二：当a＝0时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；当a＝3时，函数f(x)无最小值，排除选项D，故选C.
8．(2018·福州质检)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析：选C 法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由 f(x2－2)>f(x)，得或解得x>2或x<－，所以x的取值范围是 (－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B、D；取x＝－1.1，则f[(－1.1)2－2]＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数t＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A、B、C，故选D.
10.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
解析：选C ∵f(x)＝的图象与x轴，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，c<0，故选C.
11．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
12．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
关于函数f(x)＝x★，有如下说法：
①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；
②函数f(x)为偶函数；
③函数f(x)为奇函数；
④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函数f(x)不是周期函数．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．
综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C.
二、填空题
13．(2018·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
解析：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
14．已知函数f(x)的图象关于点(－3,2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________．
解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为 (－4，－1)．
答案：(－4，－1)
15．已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，则当－1
因为－1
②当0
16．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③函数f(x)没有最小值；
④函数f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是________．
解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
答案：①②④
重点增分专题一 函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
分段函数及函数的单调性、解不等式·T12
函数图象的识辨·T3
函数图象的识辨·T9
抽象函数的奇偶性及周期性·T12
函数的奇偶性及对数式运算·T16
2017
函数图象的识辨·T8
复合函数的定义域及单调性·T8
函数图象的识辨·T7
复合函数的单调性、对称性·T9
函数的奇偶性、函数值的求解·T14
分段函数、解不等式·T16
2016
函数图象的识辨·T9
函数的定义域、值域问题·T10
(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．
(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
保分考点·练后讲评
[大稳定]
1.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2,3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.
2.已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，
所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：选D 法一：①当即x≤－1时，
f(x＋1)
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)
4.已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，
则解得0≤a＜.
答案：
[解题方略]
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数
最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
[小创新]
1.已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 019(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×672＋3(2)＝f3(2)＝2.
2.已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝
故f＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
3.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，所以由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又x∈[－1,3]，所以f(x0)≥0的概率为＝.
增分考点·广度拓展
题型一 函数图象的识别
[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是( )
A．y＝xln x
B．y＝xln x－x＋1
C．y＝ln x＋－1
D．y＝－＋x－1
[解析] (1)∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B.
(2)对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e＝1，由图象可知选项A不符合题意；对于选项B，当x＝e时，eln e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；对于选项C，当x＝e时，ln e＋－1＝＜1，由图象可知选项C不符合题意，故选D.
[答案] (1)B (2)D
[解题方略]
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
知式选图
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性
④从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
④从图象的循环往复，观察函数的周期性
题型二 函数图象的应用
[例2] (1)(2018·枣庄检测)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
[解析] (1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
作出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，
函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)如图所示，在同一坐标系中作出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，
由图象可知，在[0,1]上，
x2＋1≤2x＜x2＋恒成立，
即1≤2x－x2＜，
当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，
∴1≤g(x)＜，
∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，
则实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
[答案] (1)C (2)C
[解题方略]
1．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
2．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
增分考点·深度精研
[析母题]
[典例] 定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1,0)
B．(0，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－2，－1)∪(0，＋∞)
[解析] 由f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，可得f(1)＝0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x＋1)＞0，可得－1＜ x＋1＜0或x＋1＞1，解得－2＜x＜－1或x＞0，所以f(x＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．
[答案] D
[练子题]
1．本例中条件变为：若f(x)为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝0，则f(x＋1)＞0的解集为________．
解析：由f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，
且f(－1)＝0，得f(1)＝0.
由f(x＋1)＞0，得|x＋1|<1.
解得－2
答案：(－2,0)
2．已知函数g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，且f(x)＝g(|x|)，若f(log2x)＋f(logx)≤2f(1)，则实数x的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝g(|x|)，所以函数f(x)是偶函数，又因为g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．
又因为logx＝－log2x，所以f(log2x)＋f(logx)≤2f(1)等价于f(log2x)≤f(1)，
所以－1≤log2x≤1，解得≤x≤2，
所以实数x的取值范围为.
答案：
3．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围为________．
解析：因为奇函数g(x)满足当x＜0时，g(x)＝－lg(1－x)，
所以当x＞0时，－x<0，g(－x)＝－lg(1＋x)，
所以当x＞0时，g(x)＝－g(－x)＝lg(1＋x)，
所以f(x)＝
因为f(x)在其定义域上是增函数，
所以f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，
解得－2
答案：(－2,1)
[解题方略]
1．函数3个性质及应用
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)
单调性
可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
2．函数性质综合应用的注意点
(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[多练强化]
1．(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23)
B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23)
C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0)
D．f(－log23)＞f(0)＞f(log32)
解析：选C ∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故选C.
2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B 函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C 法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数 B．f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)＋1是偶函数 D．f(x＋1)－1是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D.
法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D.
数学抽象——抽象函数与函数的三大性质
[典例] 定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间上是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.
[答案] D
[素养通路]
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．
本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f＝f(x)得知f(x)的周期，进而得出f(x)在区间上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．
A组——“12＋4”满分练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A 因为f(x)＝所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.
2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝－x2＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.
3．已知函数f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝( )
A．1或 B.或
C．2或 D．1或
解析：选B 由已知条件可知f(g(1))＝f(2－a)＝4|2－a|＝2，所以|a－2|＝，得a＝或.
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5的定义域和值域都是[1，a]，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2，所以f(x)在[1，a]上是减函数，又f(x)的定义域和值域均为[1，a]，所以即解得a＝2.
5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：选D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f′(x)>0的解集为∪，
f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，
∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
7．设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选A 法一：因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋ a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.
法二：因为f(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.
8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A 当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
9．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选A 由题意知，函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C、D，又f＝＜0，故排除选项B.
10．已知函数f(x)在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由已知得f(3x－2)＜f(x－1)，
∴解得＜x＜1，故选B.
11．已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1,3)
解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1≤a＜3.故选D.
12．(2018·洛阳一模)已知a＞0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝( )
A．2 017 B．2 019
C．4 038 D．4 036
解析：选D 由题意得f(x)＝＝2 019－.
因为y＝2 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，
所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，
所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 038－－＝4 036.
二、填空题
13．函数y＝的定义域是________．
解析：由得－1＜x＜5，
∴函数y＝的定义域是(－1,5)．
答案：(－1,5)
14．函数f(x)＝ln的值域是________．
解析：因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
所以0＜≤1.所以ln≤0，
即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
15．(2018·福州质检)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2 017)＋f(2 018)＝________.
解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，
f＝f，
所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝f(x)，
所以f(2 017)＝f(1)＝－1，
f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，所以f(2 017)＋f(2 018)＝－2.
答案：－2
16．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象的下方，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1
B组——“12＋4”提速练
一、选择题
1．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 要使函数y＝有意义，
需满足
即解得≤x＜2.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x与y＝logaax(a＞0且a≠1)
B．y＝与y＝x＋3
C．y＝－8与y＝x－8
D．y＝ln x与y＝ln x2
解析：选A 对于选项A，y＝x与y＝logaax＝x(a＞0且a≠1)的定义域都为R，解析式相同，故A中两函数表示同一函数；B、D中两函数的定义域不同；C中两函数的对应法则不同，故选A.
3．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析：选A “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝－x满足条件．
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选D 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝
令x＜0，则－x＞0，f(－x)＝log2(－x＋1)，
因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，
所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，
所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，
所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.
5．(2018·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
解析：选A 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2
C．(－3，＋∞) D.
解析：选D 依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2－2x＋a)
7．(2018·南昌模拟)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
解析：选C 法一：∵f(1)是f(x)的最小值，
∴y＝2|x－a|在(－∞，1]上单调递减，∴
即∴
∴1≤a≤2，故选C.
法二：当a＝0时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项A、B；当a＝3时，函数f(x)无最小值，排除选项D，故选C.
8．(2018·福州质检)设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析：选C 法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由 f(x2－2)>f(x)，得或解得x>2或x<－，所以x的取值范围是 (－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B、D；取x＝－1.1，则f[(－1.1)2－2]＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数t＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A、B、C，故选D.
10.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
解析：选C ∵f(x)＝的图象与x轴，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，c<0，故选C.
11．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
12．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
关于函数f(x)＝x★，有如下说法：
①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；
②函数f(x)为偶函数；
③函数f(x)为奇函数；
④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函数f(x)不是周期函数．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．
综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C.
二、填空题
13．(2018·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
解析：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
14．已知函数f(x)的图象关于点(－3,2)对称，则函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象的对称中心为________．
解析：函数h(x)＝f(x＋1)－3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为 (－4，－1)．
答案：(－4，－1)
15．已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，则当－1
因为－1
②当0
16．已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③函数f(x)没有最小值；
④函数f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是________．
解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
答案：①②④
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