2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题二基本初等函数、函数与方程

专题二 基本初等函数、函数与方程


卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
分段函数的零点问题·T9
_______
利用对数的性质比较大小·T12
2017
指数与对数的互化、对数运算、比较大小·T11
_________
函数的零点问题·T11
2016
利用幂函数、指数函数、对数函数单调性比较大小·T8
__________
利用指数函数与幂函数的单调性比较大小·T6
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年3考，涉及幂函数、指数函数、对数函数的单调性以及分段函数的零点问题，题型为选择题，难度适中，预计2019年会以对数的运算、对数函数的图象与性质为考查重点
卷Ⅱ3年0考，预计2019年会以选择题的形式考查幂函数、指数函数、对数函数的有关性质或大小比较问题
卷Ⅲ3年3考，涉及由函数零点个数确定参数问题以及指数、对数、幂函数的性质、比较大小问题．题型为选择题，难度偏大，预计2019年仍会考查指数函数、对数函数、幂函数性质的应用
横向把握重点
1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～12题的位置，有时难度较大．
2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.



基本初等函数的图象与性质
[由题知法]
　　　(1)(2019届高三·辽宁五校联考)设a＝2 017，b＝log2 017，c＝log2 018，则(　　)
A．c>b>a　　　　　　　 B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
(2)已知f (x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f (4)g(－4)<0，则y＝f (x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是(　　)

(3)(2018·信阳二模)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则，，的大小关系不可能是(　　)
A.<< B.＝＝
C.<< D.<<
[解析]　(1)∵a＝2 017>2 0170＝1，
0 c＝log2 018b>c.故选D.
(2)∵f (x)＝ax－2>0恒成立，又f (4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝loga|－4|＝loga4<0＝loga1，∴0 (3)设log2x＝log3y＝log5z＝k>0，
则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1.
∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.
①若0 ∴>>；
②若k＝1，则函数f (x)＝xk－1＝1，∴＝＝；
③若k>1，则函数f (x)＝xk－1在定义域上单调递增，
∴<<.
∴，，的大小关系不可能是 D.因此A、B、C正确，D错误．故选D.
[答案]　(1)D　(2)B　(3)D
[类题通法]
1．幂、指数、对数式比较大小的方法
(1)利用幂、指数、对数函数的单调性，这就需要观察要比较大小的数和式的结构特征，寻找共同点(如指数相同，底数相同等)，构造相应函数；
(2)媒介法，即利用中间值(特别是0和1)作媒介传递，达到比较其大小的目的．
2．基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
[应用通关]

1．(2018·厦门一模)已知a＝0.3，b＝log0.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．a 解析：选B　∵b＝log0.3>log＝1，a＝0.3<0＝1，∴c＝ab 2．已知幂函数f (x)＝(m－1)2 xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－t，∀x1∈[1,6)时，总存在x2∈[1,6)使得f (x1)＝g(x2)，则t的取值范围是(　　)
A．∅ B．(－∞，1]∪[28，＋∞)
C．(－∞，1)∪(28，＋∞) D．[1,28]
解析：选D　由f (x)是幂函数得m＝0或2，
当m＝0时，f (x)＝x2；当m＝2时，f (x)＝x－2.
而f (x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，
则f (x)＝x2，
当x∈[1,6)时，f (x)∈[1,36)．
当x∈[1,6)时，g(x)∈[2－t,64－t)．
若∀x1∈[1,6)时，总存在x2∈[1,6)使得f (x1)＝g(x2)，则[1,36)⊆[2－t,64－t)，
故解得1≤t≤28，故选D.
3．若函数f (x)＝xa满足f (2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)

解析：选C　法一：由函数f (x)＝xa满足f (2)＝4，得2a＝4，∴a＝2，则g(x)＝|loga(x＋1)|＝|log2(x＋1)|，将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方的图象翻折上去，即可得g(x)的图象，故选C.
法二：由函数f (x)＝xa满足f (2)＝4，得2a＝4，∴a＝2，即g(x)＝|log2(x＋1)|，由g(x)的定义域为{x|x>－1}，排除B、D；由x＝0时，g(x)＝0，排除A.故选C.

函数的实际应用问题

[由题知法]
　　　(1)(2018·开封模拟)李冶(1192～1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)(　　)
A．10步，50步 B．20步，60步
C．30步，70步 D．40步，80步
(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
[解析]　(1)设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍去)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.
(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，
∴e－k＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时．
[答案]　(1)B　(2)10
[类题通法]
1．解决函数实际应用题的2个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
2．构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f (x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
[应用通关]
1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(x∈N,0≤x≤6)．若y≤1 000，则20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，∴x＝0,1,2，即有3种调运方案．
2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．
解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x千件产品的销售额为0.05×1 000x＝50x万元．
①当0 ②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．
答案：1 000

重难增分
函数的零点问题

[典例细解]

　　　(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D．1
[学解题]
(一)常规思路稳解题
法一：由函数f (x)有零点，得x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，
即(x－1)2－1＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，
令t＝x－1，则上式可化为t2－1＋a(et＋e－t)＝0，
即a＝.
令h(t)＝，易得h(t)为偶函数，
又由f (x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y＝a有唯一交点，则此交点的横坐标为0，
所以a＝＝，故选C.
法二：由f (x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f (x)的零点不唯一．
综上所述，a＝.
(二)特殊思路妙解题
法三：由f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f (2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f (2－x)＝f (x)，即x＝1为f (x)图象的对称轴．
由题意，f (x)有唯一零点，所以f (x)的零点只能为x＝1，即f (1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，
解得a＝.故选C.
[答案]　C
[启思维]　本题考查由函数零点情况求参数值．
思路一：先化简f (x)的表达式，再换元转化成关于t的函数，利用函数的有关性质求解．
思路二：先把f (x)转化为二次函数与指数型函数相等问题，再分别考察它们的值域，利用唯一性求解．
思路三：观察式子f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)的结构特点可知，g(x)＝x2－2x与h(x)＝a(ex－1＋e－x＋1)都有对称性，可得出f (2－x)＝f (x)，由对称性求解．
　　　(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f (x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f (x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f (x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
[答案]　C
[启思维]　本题主要考查函数与方程．本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数函数)为载体，构建分段函数，与函数零点结合，需借助函数图象解决问题．破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数的图象的交点问题；二是会借形解题，即画出两函数的图象，由图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围．

[知能升级]

已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的3种方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围
分离
参数法
先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决
数形
结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解

[增分集训]
1．(2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)＝f (x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f (x)＝2x－1，则方程|cos πx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选D　方程|cos πx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cos πx|与y＝f (x)在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和．由f (1－x)＝f (1＋x)得f (x)的图象关于直线x＝1对称，由f (1－x)＝f (x－1)得f (x)的图象关于y轴对称，由f (1＋x)＝f (x－1)得f (x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f (x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f (x)和y＝|cos πx|在[－1,3]上的大致图象，如图所示，

易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y＝f (x)，y＝|cos πx|的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称，故所有根之和为11.
2．已知函数f (x)＝g(x)＝kx－1，若方程f (x)－g(x)＝0在x∈(－2,2)上有三个实根，则实数k的取值范围为(　　)
A．(1，ln 2) B.
C. D．(1，ln 2)∪
解析：选D　显然，x＝0不是方程f (x)－g(x)＝0的根，
则f (x)－g(x)＝0，即k＝，
可设k＝φ(x)＝
由x<0，可得φ(x)＝x＋＋4≤－2＋4＝2，当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立，
即有φ(x)在x<0时，有最大值φ(－1)＝2；
当x>0时，φ(x)＝＋ln x的导数为φ′(x)＝－＋＝，
当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增；当0
可得φ(x)在x＝1处取得最小值1.
作出φ(x)在(－2,2)上的图象如图所示，由图象得当1 则k的取值范围是(1，ln 2)∪.
[专题跟踪检测](对应配套卷P167)

一、全练保分考法——保大分

1．若m∈，a＝lg m，b＝lg m2，c＝lg3m，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 解析：选C　∵m∈，∴－10，∴lg3m>lg m，即c>a.又m∈，∴0 B.∴b 2．定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f (log0.53)，b＝f (log25)，c＝f (2m)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．c 解析：选C　∵函数f (x)为偶函数，∴m＝0，∴f (x)＝2|x|－1.∴a＝f (log0.53)＝f (－log23)＝2log23－1＝2，b＝f (log25)＝2log25－1＝4，c＝f (0)＝20－1＝0.∴c 3．(2018·长沙一模)函数f (x)＝2x＋的图象大致为(　　)

解析：选A　∵f (x)＝2x＋＝2x－＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
∴f ′(x)＝2xln 2＋>0恒成立，
∴f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，排除C、D；
当x→－∞时，2x→0，→1，∴f (x)→1，排除B，选A.
4．已知函数f (x)＝则不等式log2x－(log4x－1)f (log3x＋1)≤5的解集为(　　)
A. B．[1,4]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C　由不等式log2x－(log4x－1)f (log3x＋1)≤5，得

或
解得1≤x≤4或 故原不等式的解集为.故选C.
5．已知函数f (x)＝＋满足条件f (loga(＋1))＝1，其中a>1，则f (loga(－1))＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　∵f (x)＝＋，∴f (－x)＝＋＝＋，∴f (x)＋f (－x)＝＋＋＋＝3.∵loga(＋1)＝－loga(－1)，∴f (loga(＋1))＋f (loga(－1))＝3，∴f (loga(－1))＝2.故选 B.
6．(2019届高三·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的(　　)
A．10倍 B．20倍
C．50倍 D．100倍
解析：选D　根据题意有lg A＝lg A0＋lg 10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，则＝100.故选D.
7．(2018·菏泽一模)已知loga A.a
C．ln(a－b)>0 D．3a－b<1
解析：选A　∵logab>0，
∴a1.
因此只有A正确．故选A.
8．已知实数x，y满足ax A.> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
解析：选D　∵实数x，y满足axy.对于选项A，>等价于x2＋1y，但x2ln(y2＋1)等价于x2>y2，当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但x2>y2不成立．对于选项C，当x＝π，y＝时，满足x>y，但sin x>sin y不成立．对于选项D，当x>y时，x3>y3恒成立．故选D.
9．(2018·广元模拟)已知函数f (x)＝ex，g(x)＝ln＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)使f (a)＝g(b)，则b－a的最小值为(　　)
A．2－1 B．e2－
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
解析：选D　令t＝ea，可得a＝ln t，令t＝ln＋，可得b＝2，
则b－a＝2et－－ln t，令h(t)＝2e－ln t，
则h′(t)＝2e－.
显然，h′(t)是增函数，观察可得当t＝时，h′(t)＝0，
故h′(t)有唯一零点，
故当t＝时，h(t)取得最小值，即b－a取得最小值为2e－ln ＝2＋ln 2，故选D.
10．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 A. B．(0，e)
C. D．(e，＋∞)
解析：选C　∵函数f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f (ln x)－f ＝f (ln x)－f (－ln x)＝f (ln x)＋f (ln x)＝2f (ln x)，
∴ 又f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴－1 11．记函数f (x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝g(x)，若h(t)>h(4)，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－4,0) B．(0,4)
C．(－2,0)∪(0,2) D．(－4,0)∪(0,4)
解析：选D　因为f (x)＝x2－mx(m>0)，所以f (x)＝2－，因为f (x)在区间[0,2]上的最小值为g(m)，所以当04，即>2时，函数f (x)＝2－在[0,2]上单调递减，所以g(m)＝f (2)＝4－2m.综上，g(m)＝因为当x>0时，h(x)＝g(x)，所以当x>0时，h(x)＝函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)>h(4)，所以h(|t|)>h(4)，所以0<|t|<4，所以即从而－4 12．(2019届高三·昆明调研)若函数f (x)＝2x＋1－x2－2x－2，对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，f (x)≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，0]
C．(－∞，3] D．(－∞，4]
解析：选D　法一：f (x)＝2x＋1－x2－2x－2≤0，即2x＋1≤x2＋2x＋2.设g(x)＝2x＋1，h(x)＝x2＋2x＋2，当x≤－1时，00，所以F(x)＝2x＋1·ln 2－2x－2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x)≥f ′(4)＝32ln 2－10>0，所以函数f (x)＝2x＋1－x2－2x－2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x)≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a>4时，不满足对任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，f (x)≤0恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，4]，故选D.
法二：将问题转化为2x＋1≤x2＋2x＋2对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x＋1，y＝x2＋2x＋2的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数a的取值范围是(－∞，4]，故选D.
13．函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是________．
解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
14．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．
解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，∴当x＝60时，有最大利润33 000元．
答案：33 000
15．若函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f (x)＝－x，则f (2)＋g(4)＝________.
解析：法一：∵函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f (x)＝－x＝2x，∴g(x)＝log2x，
∴f (2)＋g(4)＝22＋log24＝6.
法二：∵f (x)＝－x，∴f (2)＝4，即函数f (x)的图象经过点(2,4)，∵函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，∴函数g(x)的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g(4)＝4＋2＝6.
答案：6
16．(2018·福州模拟)设函数f (x)＝则满足f (x2－2)>f (x)的x的取值范围
是________________________________________________________________．
解析：由题意x>0时，f (x)单调递增，故f (x)>f (0)＝0，而x≤0时，x＝0，
故若f (x2－2)>f (x)，则x2－2>x，且x2－2>0，
解得x>2或x<－.
答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)
17．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C，分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________．

解析：由2＝logx可得点A，由2＝x可得点B(4,2)，因为4＝，所以点C的坐标为，所以点D的坐标为.
答案：
18．已知函数f (x)＝|log3x|，实数m，n满足0 解析：f (x)＝|log3x|＝所以f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0f (m)＝f (n)，则f (x)在[m2，n]上的最大值为f (m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9
19.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________．
解析：依题意，当AC∥y轴，△ABC为正三角形时，|AC|＝log24x－log2x＝2，点B到直线AC的距离为，设点B(x0,2＋log2x0)，则点A(x0＋，3＋log2x0)．由点A在函数y＝log24x的图象上，得log2[4(x0＋)]＝3＋log2x0＝log28x0，则4(x0＋)＝8x0，x0＝，即点B的横坐标是.
答案：
20．已知函数f (x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0 答案：[－1,1]
二、强化压轴考法——拉开分
1．设函数f (x)＝log4x－x，g(x)＝logx－x的零点分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2＝1 B．0 C．1 解析：选B　由题意可得x1是函数y＝log4x的图象和y＝x的图象的交点的横坐标，x2是y＝logx的图象和函数y＝x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，画出函数图象如图所示，可得logx2>log4x1，故log4x1－logx2<0，∴log4x1＋log4x2<0，∴log4(x1x2)<0，∴0







2．(2018·唐山模拟)若函数f (x)＝－x＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为(　　)
A．[1，) B．(－，)
C．(－，－1] D．[－1,1]
解析：选C　函数f (x)＝－x＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点等价于y＝与y＝x－λ的图象在[－1,1]上有两个不同的交点．y＝，x∈[－1,1]为圆x2＋y2＝1的上半圆．如图，当直线y＝x－λ过点(0,1)时两函数图象有两个交点，此时λ＝－1，当直线y＝x－λ与圆x2＋y2＝1上半圆相切时，λ＝－.所以λ的取值范围为(－，－1]．故选C.
3．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f (x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　当x＞0时，f (x)＝ln x－x＋1，f ′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)时，f ′(x)＞0，此时f (x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，此时f (x)单调递减．因此，当x＞0时，f (x)max＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.

根据函数f (x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f (x)与y＝ex的大致图象如图所示，由图象可知函数y＝f (x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f (x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点．
4．(2018·凉山模拟)设函数f (x)＝若函数f (x)的图象上有四个不同的点A，B，C，D同时满足：①A，B，C，D，O(原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为－3，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－2) D．(4，＋∞)
解析：选A　由题意知f (x)的图象与直线y＝－3x有4个交点．
令ln x－2x2＝－3x，可得ln x＝2x2－3x，
作出y＝ln x与y＝2x2－3x的图象如图所示．
由图象可知两函数图象在y轴右侧有两个交点，
∴当x>0时，f (x)的图象与直线y＝－3x有两个交点，
∴当x<0时，f (x)的图象与直线y＝－3x有两个交点．
∴a＋＝－3x在(－∞，0)上有两解．
即3x2＋ax＋1＝0在(－∞，0)上有两解．
∴解得a>2.故选A.
5．(2019届高三·西安八校联考)已知函数f (x)＝若方程f (x)－ax＝0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(－∞，0]∪
解析：选B　方程f (x)－ax＝0有两个不同的实根，即直线y＝ax与函数f (x)的图象有两个不同的交点．作出函数f (x)的图象如图所示．
当x>1时，f (x)＝ln x，得f ′(x)＝，设直线y＝kx与函数f (x)＝ln x(x>1)的图象相切，切点为(x0，y0)，则＝＝，解得x0＝e，则k＝，即y＝x是函数f (x)＝ln x(x>1)的图象的切线，当a≤0时，直线y＝ax与函数f (x)的图象有一个交点，不合题意；当01)的图象有两个交点，但与y＝x＋1(x≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a≥时，直线y＝ax与函数f (x)的图象至多有一个交点，不合题意；只有当≤a<时，直线y＝ax与函数f (x)的图象有两个交点，符合题意．故选B.
6．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x)＝(x2－3)ex，若关于x的方程f 2(x)－mf (x)－＝0的不同的实数根的个数为n，则n的所有可能值为(　　)
A．3 B．1或3
C．3或5 D．1或3或5
解析：选A　由f (x)＝(x2－3)ex，得f ′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f ′(x)>0，得x<－3或x>1，令f ′(x)<0，得－3 令t＝f (x)，则f 2(x)－mf (x)－＝0可转化为t2－mt－＝0，Δ＝m2＋>0，且t＝时，2－m·－＝－－<0，所以方程有两个不同的实数根t1，t2，所以t1t2＝－＝×(－2e)，不妨设t1>0，所以当t1>时，－2e 7．(2018·南宁模拟)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x＋2)＝f (2－x)，当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(1,4)
C．(1,8) D．(8，＋∞)
解析：选D　∵f (x＋2)＝f (2－x)，∴f (x＋4)＝f (2＋(x＋2))＝f (2－(x＋2))＝f (－x)＝f (x)，∴函数f (x)是一个周期函数，且T＝4.又∵当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1＝()－x－1，∴当x∈[0,2]时，f (x)＝f (－x)＝()x－1，于是x∈[－2,2]时，f (x)＝()|x|－1，根据f (x)的周期性作出f (x)的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a>1且y＝f (x)与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，∵f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，∴对于函数y＝loga(x＋2)(a>1)，当x＝6时，loga8<1，解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)，所以选D.

8．已知在区间(0,2]上的函数f (x)＝且g(x)＝f (x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析：选A　由函数g(x)＝f (x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f (x)，y＝mx在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y＝mx与y＝－3在(0,1]内相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，结合图象可得当－