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2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题五第二讲小题考法——圆锥曲线的方程与性质
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第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质
考点(一)
圆锥曲线的定义与标准方程
主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2018·重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] (1)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
(2)由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1.
[答案] (1)B (2)A (3)A
[方法技巧]
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
[演练冲关]
1.(2018·合肥一模)如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B．10
C．2 D．4
解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，
M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.
2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.
答案：10
3.如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF1F2的面积为________．
解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，得|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×，化简得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则双曲线的方程为－＝1，△BF1F2的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8.
答案：－＝1 8
考点(二)
圆锥曲线的几何性质
主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关性质.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
[解析] (1)∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
(2)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.
由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，
所以e＝＝.
(3)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则∴y－y＝4(x1－x2)，
∴k＝＝.
设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
＝(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)为AB中点，
∴M为A′B′的中点，
∴MM′平行于x轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
直线方程与y2＝4x联立，消去y，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，
＝(－1－x2,1－y2)．
由∠AMB＝90°，得·＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得k＝2.
[答案] (1)A (2)D (3)2
[方法技巧]
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
3．抛物线几何性质问题求解策略
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．
[演练冲关]
1．(2018·长郡中学模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝，＝tan＝，双曲线C的离心率e＝ ＝2，选C.
2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，
M为抛物线C的准线上一点，则△ABM的面积为( )
A．16 B．18
C．24 D．32
解析：选A 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p＝8，p＝4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM的面积为×8×4＝16，故选A.
3．(2018·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0
圆锥曲线与圆、直线的综合问题
主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.
(2)(2018·洛阳模拟)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝( )
A．16 B．4
C. D.
(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)抛物线y2＝4cx的焦点F1(c,0)，准线l：x＝－c，连接PF1和EO(O为坐标原点)，如图，则|PF1|＝2|EO|＝2a，所以点P到准线l：x＝－c的距离等于2a，所以点P的横坐标为2a－c，由点P在抛物线y2＝4cx上，得P(2a－c,2)．连接OP，则|OP|＝|OF|＝c，所以(2a－c)2＋[2]2＝c2，解得e＝＝，故选D.
(2)因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，
故|BF|＝|CF|＝，
所以＝.
由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD.
由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故选A.
(3)设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.
[答案] (1)D (2)A (3)C
[方法技巧]
处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点
(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．
(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．
[演练冲关]
1．已知椭圆的短轴长为8，点F1，F2为其两个焦点，点P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则2b＝8，即b＝4，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有S△PF1F2＝(2a＋2c)r＝×2c|yP|，即r＝，当点P运动到椭圆短轴的端点时，r有最大值，此时|yP|＝b，于是有＝，即3a＝5c，故椭圆的离心率e＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，
所以e＝＝.
3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，
即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.
∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.
答案：1
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
圆锥曲线的定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝ (0
e＝1
渐近线
y＝±x
[二级结论要用好]
1．椭圆焦点三角形的3个结论
设椭圆方程是＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)．
(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan .
(3)椭圆的离心率e＝.
2．双曲线焦点三角形的2个结论
P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．
(1)面积公式
S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半径
若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.
3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论
(1)xA·xB＝；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p.
4．圆锥曲线的通径
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)．
(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)．
(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．
(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．
[易错易混要明了]
1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
[针对练1] △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．
解析：如图，设内切圆的圆心为P，过点P作AC，BC的垂线PD，PF，垂足分别为D，F，则|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案：－＝1(x>3)
2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．
[针对练2] 若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析：当焦点在x轴上时，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝＝＝＝，解得k＝－.
答案：4或－
3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·广西南宁模拟)双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.
2．(2018·福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.
3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 B．2
C．8 D．2
解析：选B 根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1，可得m＝2.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
A. B．2
C. D．5
解析：选C 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2.又|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故选C.
5．(2018·湘东五校联考)设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若＝3，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立可得xQ＝－，与y＝x联立可得xP＝，∵ ＝3，∴＋c＝3，∴a2c2＝(c2－2a2)·(2c2－3a2)，两边同时除以a4得，e4－4e2＋3＝0，∵e>1，∴e＝.故选C.
6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 法一：易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
7.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若
C. D.
解析：选C 由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝＝.又
A. B．－
C．± D．－
解析：选B 将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.故选B.
9．(2018·郑州一模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由得即点M(a，b)，则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得e4－e2－1＝0，故e2＝，故选D.
10．(2018·石家庄一模)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，有下列直线：
①y＝2x－3; ②y＝2x＋1;
③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.故选C.
11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为( )
A. B.
C. D．无法确定
解析：选B 双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故选B.
12．已知椭圆＋＝1，F为其右焦点，A为其左顶点，P为该椭圆上的动点，则能够使·＝0的点P的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B 由题意知，a＝3，b＝，c＝2，则F(2,0)，A(－3,0)．当点P与点A重合时，显然·＝0，此时P(－3,0)．
当点P与点A不重合时，
设P(x，y)，·＝0⇔PA⊥PF，
即点P在以AF为直径的圆上，
则圆的方程为2＋y2＝.①
又点P在椭圆上，
所以＋＝1，②
由①②得4x2＋9x－9＝0，
解得x＝－3(舍去)或，
则y＝±，此时P.
故能够使·＝0的点P的个数为3.
二、填空题
13．(2018·陕西模拟)若直线2x－y＋c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝________.
解析：由x2＝4y，可得y′＝，由于直线2x－y＋c＝0的斜率k＝2，因此令＝2，得x＝4，代入x2＝4y得y＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c＝0，故c＝－4.
答案：－4
14．(2018·益阳、湘潭联考)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：F(－c,0)，不妨令A(0，b)，得直线AF：y＝x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，
所以＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝.
答案：
15．(2018·广州模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为________．
解析：设抛物线C的准线交x轴于点F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′(图略)，
设直线AB交准线于点C，则|AA′|＝|AF|＝6，|BB′|＝|BF|＝3，|AB|＝9，|FF′|＝p，＝，
即＝，解得|BC|＝9，
又＝，即＝，解得p＝4.
答案：4
16．(2018·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．
解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
则当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
答案：(2,2)
B级——难度小题强化练
1．(2018·郑州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.
2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C. D.
解析：选C 法一：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
法二：同法一得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
解析：选B 依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，故选B.
4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C过点A(2，)，渐近线为y＝±x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x＝－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．5
C．－1＋5 D．1＋5
解析：选D 由题意，双曲线C的渐近线为y＝±x，故可设双曲线C的方程为2－2＝λ(λ≠0)，即－＝λ(λ≠0)．又点A(2，)在双曲线上，所以－＝λ，解得λ＝1，故双曲线C的方程
为－＝1，其右焦点为F(3,0)，所以抛物线M的方程
为y2＝12x.如图，作出抛物线M，其准线为x＝－3，显然点B在抛物线的上方．设PQ与直线x＝－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，所以|PQ|＝|PH|＋|QH|＝|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|＝|BP|＋|PF|＋1，显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，且最小值为|BF|＋1＝＋1＝5＋1.所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5.故选D.
5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，
又点A，B在抛物线y2＝4x上，
所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，
即直线AB的斜率k＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则·的最小值的取值范围是________．
解析：设P(m，n)，则－＝1，
即m2＝a2.
又F1(－1,0)，F2(1,0)，
则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，
·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1
＝n2＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，
所以·的最小值为a2－1.
由2≤≤4，得≤a≤，
故－≤a2－1≤－，
即·的最小值的取值范围是.
答案：
考点(一)
圆锥曲线的定义与标准方程
主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2018·重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(3)(2018·湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] (1)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
(2)由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为＋＝1.
[答案] (1)B (2)A (3)A
[方法技巧]
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
[演练冲关]
1.(2018·合肥一模)如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B．10
C．2 D．4
解析：选D 由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，
M.把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.
2．(2018·河北五个一名校联考)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.
答案：10
3.如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为________________，△BF1F2的面积为________．
解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，得|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×，化简得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则双曲线的方程为－＝1，△BF1F2的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8.
答案：－＝1 8
考点(二)
圆锥曲线的几何性质
主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关性质.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
[解析] (1)∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
(2)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.
由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，
所以e＝＝.
(3)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则∴y－y＝4(x1－x2)，
∴k＝＝.
设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
＝(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)为AB中点，
∴M为A′B′的中点，
∴MM′平行于x轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
直线方程与y2＝4x联立，消去y，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝1，x1＋x2＝.
由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，
＝(－1－x2,1－y2)．
由∠AMB＝90°，得·＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得k＝2.
[答案] (1)A (2)D (3)2
[方法技巧]
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
3．抛物线几何性质问题求解策略
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用．
[演练冲关]
1．(2018·长郡中学模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝，＝tan＝，双曲线C的离心率e＝ ＝2，选C.
2．(2018·福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，
M为抛物线C的准线上一点，则△ABM的面积为( )
A．16 B．18
C．24 D．32
解析：选A 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p＝8，p＝4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM的面积为×8×4＝16，故选A.
3．(2018·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0
圆锥曲线与圆、直线的综合问题
主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.
(2)(2018·洛阳模拟)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝( )
A．16 B．4
C. D.
(3)(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)抛物线y2＝4cx的焦点F1(c,0)，准线l：x＝－c，连接PF1和EO(O为坐标原点)，如图，则|PF1|＝2|EO|＝2a，所以点P到准线l：x＝－c的距离等于2a，所以点P的横坐标为2a－c，由点P在抛物线y2＝4cx上，得P(2a－c,2)．连接OP，则|OP|＝|OF|＝c，所以(2a－c)2＋[2]2＝c2，解得e＝＝，故选D.
(2)因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，
故|BF|＝|CF|＝，
所以＝.
由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD.
由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故选A.
(3)设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.
[答案] (1)D (2)A (3)C
[方法技巧]
处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点
(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．
(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．
[演练冲关]
1．已知椭圆的短轴长为8，点F1，F2为其两个焦点，点P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则2b＝8，即b＝4，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有S△PF1F2＝(2a＋2c)r＝×2c|yP|，即r＝，当点P运动到椭圆短轴的端点时，r有最大值，此时|yP|＝b，于是有＝，即3a＝5c，故椭圆的离心率e＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，
所以e＝＝.
3．(2018·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，
即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.
∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.
答案：1
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
圆锥曲线的定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝ (0
e＝1
渐近线
y＝±x
[二级结论要用好]
1．椭圆焦点三角形的3个结论
设椭圆方程是＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)．
(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan .
(3)椭圆的离心率e＝.
2．双曲线焦点三角形的2个结论
P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．
(1)面积公式
S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半径
若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.
3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论
(1)xA·xB＝；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p.
4．圆锥曲线的通径
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)．
(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)．
(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．
(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．
[易错易混要明了]
1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
[针对练1] △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．
解析：如图，设内切圆的圆心为P，过点P作AC，BC的垂线PD，PF，垂足分别为D，F，则|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案：－＝1(x>3)
2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．
[针对练2] 若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析：当焦点在x轴上时，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝＝＝＝，解得k＝－.
答案：4或－
3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·广西南宁模拟)双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.
2．(2018·福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.
3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 B．2
C．8 D．2
解析：选B 根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1，可得m＝2.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
A. B．2
C. D．5
解析：选C 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2.又|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故选C.
5．(2018·湘东五校联考)设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若＝3，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立可得xQ＝－，与y＝x联立可得xP＝，∵ ＝3，∴＋c＝3，∴a2c2＝(c2－2a2)·(2c2－3a2)，两边同时除以a4得，e4－4e2＋3＝0，∵e>1，∴e＝.故选C.
6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 法一：易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
7.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若
C. D.
解析：选C 由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝＝.又
A. B．－
C．± D．－
解析：选B 将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.故选B.
9．(2018·郑州一模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由得即点M(a，b)，则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得e4－e2－1＝0，故e2＝，故选D.
10．(2018·石家庄一模)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，有下列直线：
①y＝2x－3; ②y＝2x＋1;
③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.故选C.
11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为( )
A. B.
C. D．无法确定
解析：选B 双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故选B.
12．已知椭圆＋＝1，F为其右焦点，A为其左顶点，P为该椭圆上的动点，则能够使·＝0的点P的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B 由题意知，a＝3，b＝，c＝2，则F(2,0)，A(－3,0)．当点P与点A重合时，显然·＝0，此时P(－3,0)．
当点P与点A不重合时，
设P(x，y)，·＝0⇔PA⊥PF，
即点P在以AF为直径的圆上，
则圆的方程为2＋y2＝.①
又点P在椭圆上，
所以＋＝1，②
由①②得4x2＋9x－9＝0，
解得x＝－3(舍去)或，
则y＝±，此时P.
故能够使·＝0的点P的个数为3.
二、填空题
13．(2018·陕西模拟)若直线2x－y＋c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝________.
解析：由x2＝4y，可得y′＝，由于直线2x－y＋c＝0的斜率k＝2，因此令＝2，得x＝4，代入x2＝4y得y＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c＝0，故c＝－4.
答案：－4
14．(2018·益阳、湘潭联考)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：F(－c,0)，不妨令A(0，b)，得直线AF：y＝x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，
所以＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝.
答案：
15．(2018·广州模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为________．
解析：设抛物线C的准线交x轴于点F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′(图略)，
设直线AB交准线于点C，则|AA′|＝|AF|＝6，|BB′|＝|BF|＝3，|AB|＝9，|FF′|＝p，＝，
即＝，解得|BC|＝9，
又＝，即＝，解得p＝4.
答案：4
16．(2018·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．
解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
则当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
答案：(2,2)
B级——难度小题强化练
1．(2018·郑州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.
2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C. D.
解析：选C 法一：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
法二：同法一得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
解析：选B 依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，故选B.
4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C过点A(2，)，渐近线为y＝±x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x＝－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．5
C．－1＋5 D．1＋5
解析：选D 由题意，双曲线C的渐近线为y＝±x，故可设双曲线C的方程为2－2＝λ(λ≠0)，即－＝λ(λ≠0)．又点A(2，)在双曲线上，所以－＝λ，解得λ＝1，故双曲线C的方程
为－＝1，其右焦点为F(3,0)，所以抛物线M的方程
为y2＝12x.如图，作出抛物线M，其准线为x＝－3，显然点B在抛物线的上方．设PQ与直线x＝－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，所以|PQ|＝|PH|＋|QH|＝|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|＝|BP|＋|PF|＋1，显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，且最小值为|BF|＋1＝＋1＝5＋1.所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5.故选D.
5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，
又点A，B在抛物线y2＝4x上，
所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，
即直线AB的斜率k＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则·的最小值的取值范围是________．
解析：设P(m，n)，则－＝1，
即m2＝a2.
又F1(－1,0)，F2(1,0)，
则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，
·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1
＝n2＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，
所以·的最小值为a2－1.
由2≤≤4，得≤a≤，
故－≤a2－1≤－，
即·的最小值的取值范围是.
答案：
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