2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题四第二讲小题考法——概率、统计、统计案例

第二讲 小题考法——概率、统计、统计案例

考点(一) 用样本估计总体


主要考查用统计图表以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
(2)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(3)(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．7
C．10 D．50
[解析]　(1)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
(2)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．
(3)根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.
[答案]　(1)B　(2)A　(3)D
[方法技巧]
1．样本方差、标准差的计算与含义
(1)计算：计算方差或标准差首先要计算平均数，然后再按照方差或标准差的计算公式进行计算．
(2)含义：方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差和标准差大说明波动大．
2．频率分布直方图中常见问题及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．

[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A　设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.
新农村建设前后，各项收入的对比如下表：

新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C对
养殖收入＋第三产业收入
(30%＋6%)a＝36%a
(30%＋28%)×2a＝116%a
超过经济收入2a的一半
D对
故选A.
2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示：
用电量/度
120
140
160
180
200
户数
2
3
5
8
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是(　　)
A．180,170 B．160,180
C．160,170 D．180,160
解析：选A　用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故
这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.
3.(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉一个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为________．
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.
答案：6
考点(二) 变量间的相关关系、统计案例


主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a－5.4
－0.5
0.5
b－0.6
得到的回归方程为＝bx＋a.若样本点的中心为(5,0.9)，则当x每增加1个单位时，y就(　　)
A．增加1.4个单位　　　 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
(2)通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表：得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”
C．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”
D．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”
[解析]　(1)依题意得，＝0.9，故a＋b＝6.5；①
又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b＋a，②
联立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，
则＝－1.4x＋7.9，
可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．
(2)因为K2＝≈7.822>6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，
即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
求回归直线方程的关键及实际应用
(1)求回归直线方程的关键是正确理解，的计算公式和准确地求解．
(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
[演练冲关]
1．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为＝10.2x＋，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为(　　)
A．101.2万元 B．108.8万元
C．111.2万元 D．118.2万元
解析：选C　根据统计数据表，可得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线＝10.2x＋经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋，解得＝9.2，∴回归方程为＝10.2x＋9.2.当x＝10时，y＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.
2．(2019届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>3.841，那么有把
握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)
P(K2>k0)
0.50
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
A.5% B．75%
C．99.5% D．95%
解析：选D　由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.
考点(三) 古典概型与几何概型



主要考查古典概型与几何概型及其概率公式的应用.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
(3)(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
[解析]　(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝S圆＝，故此点取自黑色部分的概率P＝＝.
(2)记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别
为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，
因此所求的概率P＝＝.
(3)法一：∵S△ABC＝AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，以BC为直径的半圆的面积为π·2＝BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.
由几何概型概率公式得p1＝，p2＝，
∴p1＝p2.故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
AB＝AC＝2，则BC＝2，
所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，
为S1＝×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，
区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得p1＝p2＝，p3＝，
所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)A
[方法技巧]
1．古典概型概率的求解关键及注意点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．
(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
2．几何概型的适用条件及求解关键
(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[演练冲关]
1．(2019届高三·湘中名校联考)从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　从集合A，B中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a≥0，b≥0，共有2对满足，所以所求概率P＝，故选A.
2．(2018·贵阳模拟)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由几何概型的概率计算公式可知所求概率P＝＝，故选D.
3．(2018·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.
考点(四)
条件概率、相互独立事件与二项分布
主要考查条件概率、相互独立事件概率及二项分布的应用.
[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)
A. B.
C. D.
(3)某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，4个人去的景点不同有A＝4×3×2×1＝24种情况，∴P(A|B)＝＝.
(2)记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i＝1、2、3.
由题意知，事件Ai、Bi、Ci(i＝1、2、3)相互独立，
则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，
P(Ci)＝＝，
故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.选D.
(3)P＝C×2×2＝.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)C

[方法技巧]
1．条件概率的求法
(1)利用定义，先分别求出P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求得．这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
2．复杂事件概率的求法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．
[演练冲关]
1．(2018·广西三市联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
若将频率视作概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为＝，则所求概率为C·2×＋3＝.
2．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝＝，P()＝1－＝；由条件概率公式知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝.从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|)·P()＝，故选A.
3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4) A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析：选B　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.
[必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．概率的计算公式
(1)古典概型：
P(A)＝；
(2)互斥事件：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件：
P()＝1－P(A)；
(4)几何概型：
P(A)＝；
(5)独立事件：
P(AB)＝P(A)P(B)；
(6)独立重复试验：
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k；
(7)条件概率：
P(B|A)＝.
2．分层抽样中公式的运用
(1)抽样比＝＝；
(2)层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．
3．用样本数字特征估计总体
(1)众数、中位数、平均数

定义
特点
众数
在一组数据中出现次数最多的数据
体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一
中位数
将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个
平均数
样本数据的算术平均数
与每一个样本数据有关，只有一个

(2)方差和标准差
方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
①方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；
②标准差：
s＝ .
[二级结论要用好]
1．频率分布直方图的3个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
2．与平均数和方差有关的4个结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x＝x1＋a，x＝x2＋a，…，x＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
(4)s2＝(xi－)2＝－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．
求s2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式．

3．线性回归方程
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
[针对练1]　(2018·惠州调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/分钟
62
68
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋，则的值为________．
解析：因为＝＝30，＝＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入＝0.67x＋，可得75＝0.67×30＋，解得＝54.9.
答案：54.9
[易错易混要明了]
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)．
[针对练2]　一种小型电子游戏的主界面是半径为r的圆，点击圆周上的点A后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B处，当线段AB的长不小于r时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为________．
解析：如图，当|AB|≥r，即点B落在劣弧CC′上时才能播放音乐．又劣弧CC′所对应的圆心角为，所以一次转动能播放音乐的概率为＝.
答案：

A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·长春模拟)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　)

A．95,94　　　　　　　　　 B．92,86
C．99,86 D．92,91
解析：选B　由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
2．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{an}(n＝1,2,3,4)．已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最小的一组的频数为(　　)
A．20 B．40
C．30 D．无法确定
解析：选A　由已知，得4个小长方形的面积分别为a1,2a1,4a1,8a1，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝1，得a1＝，因此小长方形面积最小的一组的频数为×300＝20.
3．(2018·许昌二模)某校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，然后从抽取的5人中随机抽取2人进行深入了解，则抽取的这2人中至少有1人是初级教师的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意得，应从高级、中级、初级教师中抽取的人数分别为5×＝1,5×＝2,5×＝2，则从5人中随机抽取2人，这2人中至少有1人是初级教师的概率为＝.
4．(2018·昆明模拟)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图，根据图中信息，下列结论正确的是(　　)

A．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高
B．1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高
C．2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值
D．2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值
解析：选D　由图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；由图可知，1981～2010年的气温平均值为9.5,2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确．
5．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.
6．(2018·合肥一模)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为＝，故选D.
7．(2018·石家庄模拟)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)＝＝，故选C.
8．(2019届高三·辽宁五校联考)为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是(　　)

解析：选D　分析四个等高条形图得选项D中，不服用药物与服用药物患病的差异最大，所以最能体现该药物对预防禽流感有显著效果，故选D.
9．(2018·郑州、湘潭联考)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意知a，b的组合共有10种，函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以当a＝0时，b可取3,5；当a＝1时，b可取3,5，满足题意的组合有4种，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C.
10.为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，给出以下结论：
①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温；
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差；
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选C　由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数分别是30,29，则甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温，①错误，②正确，排除A和B；又甲、乙两地该月11时的标准差分别是s甲＝＝，s乙＝ ＝，则甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差，③正确，④错误，故选项C正确．
11．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××1＝，则所求的概率P＝＝.
12．(2018·内蒙古包头铁路一中调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　三人中恰有两人合格的概率P＝××＋××＋××＝，故选C.
二、填空题
13．(2018·南昌模拟)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．
解析：由题知分组间隔为＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.
答案：45
14．(2018·天津和平区调研)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．
解析：设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，
则所求的概率为P(A|B)，
因为P(AB)＝P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
15．某篮球比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4局，则此队获胜，比赛就此结束．由于参加比赛的两队实力相当，每局比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一局比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每局比赛门票收入比上一局增加10万元，则组织者在此次比赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为________．
解析：依题意，每局比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{an}，则易知首项a1＝40，公差d＝10，故Sn＝40n＋×10＝5n2＋35n.由Sn≥390，得n2＋7n≥78，所以n≥6.所以要使获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6局．①若比赛共进行6局，则P6＝C×5＝；②若比赛共进行了7局，则P7＝C×6＝.所以门票收入不少于390万元的概率P＝P6＋P7＝＝.
答案：
16．(2018·石家庄摸底)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：

理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．
解析：由K2＝4.844>3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.
答案：5%
B级——难度小题强化练
1．(2018·成都模拟) 小明在花店定了一束鲜花，花店承诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：00～9：00之间，则小明在离开家之前收到这束鲜花的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图，设送花人到达小明家的时间为x，小明离家去上班的时间为y，记小明离家前能收到鲜花为事件A.(x，y)可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1，事件A所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9}，即图中的阴影部分，面积为SA＝1－××＝.这是一个几何概型，所以P(A)＝＝，故选D.
2．(2018·福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表：
使用年数x/年
1
2
3
4
5
维修总费用y/万元
0.5
1.2
2.2
3.3
4.5
根据上表可得y关于x的线性回归方程＝x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)(　　)
A．8年 B．9年
C．10年 D．11年
解析：选D　由y关于x的线性回归直线＝x－0.69过样本点的中心(3,2.34)，得＝1.01，即线性回归方程为＝1.01x－0.69，由＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年，故选D.
3．(2018·长春模拟)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为(　　)

A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.
4．(2018·郑州模拟)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为(　　)
A. B．2
C. D．9
解析：选C　由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝×＝≥×(5＋4)＝(当且仅当b＝2a时取等号)．故＋的最小值为，选C.
5．正六边形ABCDEF的边长为1，在正六边形内随机取点M，则使△MAB的面积大于的概率为________．
解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF，其中心为O，过点O作OG⊥AB，垂足为G，则OG的长为中心O到AB边的距离．
易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，
所以△AOB是等边三角形，
所以OA＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin 60°＝1×＝，
即对角线CF上的点到AB的距离都为.
设△MAB中AB边上的高为h，
则由S△MAB＝×1×h>，解得h>.
所以要使△MAB的面积大于，只需满足h>，即需使M位于CF的上方．
故由几何概型得，△MAB的面积大于的概率P＝＝.
答案：
6．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．
解析：总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为，分层抽样的抽样比是，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×＝，篮球运动员人数为12×＝，足球运动员人数为18×＝，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.
当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.
答案：6