2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题七第3讲　分类讨论、转化与化归思想

第3讲　分类讨论、转化与化归思想

一、分类讨论思想

应用一　由概念、法则、公式引起的分类讨论

[典型例题]

设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．

【解析】　由{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0.

当q≠1时，Sn＝>0，

即>0(n＝1，2，3，…)，

则有①或②

由①得－1<q<1，由②得q>1.

故q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．

【答案】　(－1，0)∪(0，＋∞)

本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由>0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．　

[对点训练]

1．一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为(　　)

A．x＋y－7＝0

B．2x－5y＝0

C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0

D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0

解析：选C.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.

2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

解析：若a>1，则a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此时g(x)＝－，为减函数，不合题意；若0<a<1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意，所以a＝.

答案：

应用二　由参数变化引起的分类讨论

[典型例题]

已知f(x)＝x－aex(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

【解】　(1)由题知，f′(x)＝1－aex，

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，

若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)>0；

若x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)<0，

所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递增，在(－ln a，＋∞)上单调递减．

(2)f(x)≤e2x⇔a≥－ex，

设g(x)＝－ex，则g′(x)＝.

当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，

所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．

当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．

所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.

故a的取值范围是[－1，＋∞)．

(1)①参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．

②解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．

(2)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．　

[对点训练]

1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　)

A．2　　　　　　　　 B．4

C．6 D．8

解析：选C.当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，

解得a＝或a＝0(舍去)．

所以f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

当a≥1时，a＋1≥2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．

综上，f()＝6.

2．设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；

(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，

所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.

f′(2)＝(2a－1)e2.

由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.

(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.

若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在x＝1处取得极小值．

若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.

所以1不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．

应用三　由图形位置或形状引起的分类讨论

[典型例题]

设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．

【解析】　不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.

若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，

|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；

若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，

|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.

【答案】　或

(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．

(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．　

[对点训练]

1．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

解析：选C.因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件；当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．

综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.

2．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________．

解析：(1)若∠PF2F1＝90°，

则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，

解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.

(2)若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，

所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，

所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.

综上知，的值为或2.

答案：或2

二、转化与化归思想

应用一　一般与特殊的相互转化

[典型例题]

(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)

A．2a　　　　　　　　 B．

C．4a D．

(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．

【解析】　(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.

过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，

所以＋＝4a.

(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，

则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)，

令y＝|a＋b|＋|a－b|

＝＋

＝＋，

则y2＝10＋2∈[16，20]．

由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，

(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，

即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.

【答案】　(1)C　(2)4　2

(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．

(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．　

[对点训练]

已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]　　　　　　 B．[12，＋∞)

C．[－1，12] D．

解析：选D.当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A、B；

(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1往往是首选．)

当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，

f′(x)＝x2－＝(x2－1)，

当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.

应用二　正与反的相互转化

[典型例题]

若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．

【解析】　由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．

由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；

由②得m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立，

则m＋4≤－9，即m≤－.

所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－<m<－5.

【答案】　(－，－5)

(1)本题是正与反的转化，由于函数不为单调函数有多种情况，所以可先求出其反面情况，体现“正难则反”的原则．

(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．　

[对点训练]

1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是(　　)

A．(－∞，1)　 B．(－∞，2)　

C．1　 D．2

解析：选C.由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.

2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是________．

解析：如果在[－1，1]内没有值满足f(x)>0，则⇒⇒p≤－3或p≥，故实数满足条件的p的取值范围为.

答案：

应用三　常量与变量的相互转化

[典型例题]

已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1，1]，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．

【解析】　由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，

令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.

由题意得即解得－<x<1.

故x的取值范围为.

【答案】　

(1)本题是把关于x的函数转化为[－1，1]内关于a的一次函数的问题．

(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．　

[对点训练]

1．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．

解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，

则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.

f(p)在0≤p≤4时恒为正等价于即解得x>3或x<－1.

故x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

2．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．

解析：设f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，

则f(t)是一次函数，当t∈[－2，2]时，f(t)>0恒成立，则即解得log2x<－1或log2x>3，

即0<x<或x>8，

故x的取值范围是∪(8，＋∞)．

答案：∪(8，＋∞)

应用四　形、体位置关系的相互转化

[典型例题]

在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；

(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.

【证明】　(1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.

因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C.

(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

所以AB1⊥A1B.

因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC，

又因为AB1⊂平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．　

[对点训练]

1．如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积(　　)

A．是变量且有最大值

B．是变量且有最小值

C．是变量且有最大值和最小值

D．是常数

解析：选D.点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．

2．已知三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________．

解析：因为三棱锥P－ABC的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG­FPDC，

易知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线．

不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得

⇒

从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4×××6×8×10＝160.

答案：160

应用五　函数、方程、不等式间的相互转化

[典型例题]

已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m)，m∈Z，且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，求m的最大值．

【解】　因为当t∈[－1，＋∞)，且x∈[1，m]时，x＋t≥0，

所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.

所以原命题等价转化为存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x，对任意x∈[1，m)恒成立．

令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．

因为h′(x)＝－1≤0，

所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数．

又x∈[1，m)，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m，t值恒存在，只需1＋ln m－m≥－1.

因为h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln<ln ＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)内为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.

(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．

(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围．　

[对点训练]

1．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈，总存在唯一的y∈[－1，1]，使得ln x－x＋1＋a＝y2ey成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．　　　　 B．

C． D．

解析：选B.设f(x)＝ln x－x＋1＋a，当x∈时，f′(x)＝≥0，f(x)是增函数，所以x∈时，f(x)∈；设g(y)＝y2ey，则g′(y)＝eyy(y＋2)，则g(y)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g(－1) ＝<g(1)＝e.因为对任意的x∈，总存在唯一的y∈[－1，1]，使得f(x)＝g(y)成立，所以⊆，解得<a≤e.

2．关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为______．

解析：设f(x)＝x＋(x>0)，则f(x)＝x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)．因为关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1<4恒成立，解得－1<a<3，所以实数a的取值范围为(－1，3)．

答案：(－1，3)