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    2020新课标高考数学二轮讲义:第二部分专题七第3讲 分类讨论、转化与化归思想
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    2020新课标高考数学二轮讲义:第二部分专题七第3讲 分类讨论、转化与化归思想

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    3讲 分类讨论、转化与化归思想

    一、分类讨论思想

     

    分类讨论的原则

    分类讨论的常见类型

    1.不重不漏

    2.标准要统一层次要分明

    3.能不分类的要尽量避免决不无原则的讨论

    1.由数学概念而引起的分类讨论

    2.由数学运算要求而引起的分类讨论

    3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论

    4.由图形的不确定性而引起的分类讨论

    5.由参数的变化而引起的分类讨论

    分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略

     

    应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论

    [典型例题]

    设等比数列{an}的公比为qn项和Sn>0(n123)q的取值范围是________

    解析 由{an}是等比数列Sn>0可得a1S1>0q0q1Snna1>0.

    q1Sn>0

    >0(n123)

    则有

    得-1<q<1q>1.

    q的取值范围是(10)(0)

    答案 (10)(0)

     

    本题易忽略对q1的讨论而直接由>0q的范围这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q1Snna1q1Sn进行讨论. 

    [对点训练]

    1一条直线过点(52)且在xy轴上的截距相等则这条直线的方程为(  )

    Axy70

    B2x5y0

    Cxy702x5y0

    Dxy702y5x0

    解析:C.设该直线在xy轴上的截距均为aa0直线过原点此时直线方程为yx2x5y0;当a0设直线方程为1则求得a7直线方程为xy70.

    2若函数f(x)ax(a>0a1)[12]上的最大值为4最小值为m且函数g(x)(14m)[0)上是增函数a________

    解析:a>1a24a1ma2m此时g(x)=-为减函数不合题意;若0<a<1a14a2mam检验知符合题意所以a.

    答案:

    应用二 由参数变化引起的分类讨论

    [典型例题]

    已知f(x)xaex(aRe为自然对数的底数)

    (1)讨论函数f(x)的单调性;

    (2)f(x)e2xxR恒成立求实数a的取值范围.

     (1)由题知f′(x)1aex

    a0f′(x)>0函数f(x)()上的单调递增函数;

    a>0f′(x)0x=-ln a

    x(ln a)f′(x)>0

    x(ln a)f′(x)<0

    所以函数f(x)(ln a)上单调递增(ln a)上单调递减.

    (2)f(x)e2xaex

    g(x)exg′(x).

    x<01e2x>0g′(x)>0

    所以g(x)(0)上单调递增.

    x>01e2x<0g′(x)<0

    所以g(x)(0)上单调递减.

    所以g(x)maxg(0)=-1所以a1.

    a的取值范围是[1)

     

    (1)参数的变化取值导致不同的结果需对参数进行讨论如含参数的方程、不等式、函数等.

    解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.

    (2)分类讨论要标准明确、统一层次分明分类要做到不重不漏”. 

    [对点训练]

    1f(x)f(a)f(a1)f()(  )

    A2         B4

    C6 D8

    解析:C.0<a<1a1>1f(a)f(a1)2(a11)2a

    因为f(a)f(a1)所以2a

    aa0(舍去)

    所以f()f(4)2×(41)6.

    a1a12所以f(a)2(a1)f(a1)2(a11)2a所以2(a1)2a无解.

    综上f()6.

    2设函数f(x)[ax2(3a1)x3a2]ex.

    (1)若曲线yf(x)在点(2f(2))处的切线斜率为0a

    (2)f(x)x1处取得极小值a的取值范围.

    解:(1)因为f(x)[ax2(3a1)x3a2]ex

    所以f′(x)[ax2(a1)x1]ex.

    f′(2)(2a1)e2.

    由题设知f′(2)0(2a1)e20解得a.

    (2)(1)f′(x)[ax2(a1)x1]ex(ax1)(x1)ex.

    a>1则当xf′(x)<0

    x(1)f′(x)>0.

    所以f(x)x1处取得极小值.

    a1则当x(01)ax1x1<0所以f′(x)>0.

    所以1不是f(x)的极小值点.

    综上可知a的取值范围是(1)

    应用三 由图形位置或形状引起的分类讨论

    [典型例题]

    设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1F2若曲线C上存在点P满足|PF1||F1F2||PF2|432则曲线C的离心率等于________

    解析 不妨设|PF1|4t|F1F2|3t|PF2|2t其中t0.

    若该曲线为椭圆则有|PF1||PF2|6t2a

    |F1F2|3t2ce

    若该曲线为双曲线则有|PF1||PF2|2t2a

    |F1F2|3t2ce.

    答案 

     

    (1)圆锥曲线形状不确定时常按椭圆、双曲线来分类讨论求圆锥曲线的方程时常按焦点的位置不同来分类讨论.

    (2)相关计算中涉及图形问题时也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论. 

    [对点训练]

    1过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于AB两点|AB|4则这样的直线l(  )

    A1 B2

    C3 D4

    解析:C.因为双曲线的两个顶点之间的距离是2小于4所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件;当直线l与实轴垂直时31解得y2y=-2此时直线AB的长度是4即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条.

    综上可知有3条直线满足|AB|4.

    2F1F2为椭圆1的两个焦点P为椭圆上一点.已知PF1F2是一个直角三角形的三个顶点|PF1|>|PF2|的值为________

    解析:(1)PF2F190°

    |PF1|2|PF2|2|F1F2|2

    又因为|PF1||PF2|6|F1F2|2

    解得|PF1||PF2|所以.

    (2)F1PF290°|F1F2|2|PF1|2|PF2|2

    所以|PF1|2(6|PF1|)220

    所以|PF1|4|PF2|2所以2.

    综上知的值为2.

    答案:2

    二、转化与化归思想

     

    转化与化归的原则

    常见的转化与化归的方法

    1.熟悉化原则    2.简单化原则

    3.直观化原则    4.正难则反原则

    1.直接转化法 2.换元法 3.数形结合法 4.构造法 5.坐标法 6.类比法 7.特殊化方法 8.等价问题法 9.加强命题法 10.补集法

    转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而使问题得到解决的一种数学思想方法

     

    应用一 一般与特殊的相互转

    [典型例题]

    (1)过抛物线yax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于PQ两点.若线段PFFQ的长度分别为pq等于(  )

    A2a         B

    C4a D

    (2)已知向量ab满足|a|1|b|2|ab||ab|的最小值是________最大值是________

    解析 (1)抛物线yax2(a>0)的标准方程为x2y(a>0)焦点F.

    过焦点F作直线垂直于y|PF||QF|

    所以4a.

    (2)由题意不妨设b(20)a(cos θsin θ)

    ab(2cos θsin θ)ab(cos θ2sin θ)

    y|ab||ab|

    y2102[1620]

    由此可得(|ab||ab|)max2

    (|ab||ab|)min4

    |ab||ab|的最小值是4大值是2.

    答案 (1)C (2)4 2

     

    (1)一般问题特殊化使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律从而达到成批处理问题的效果.

    (2)对于某些选择题、填空题如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时可以把题中变化的量用特殊值代替即可得到答案. 

    [对点训练]

    已知函数f(x)(a3)xax3[11]上的最小值为-3则实数a的取值范围是(  )

    A(1]       B[12)

    C[112] D

    解析:D.a0函数f(x)=-3xx[11]显然满足条件故排除AB

    (注意对于特殊值的选取越简单越好01往往是首选.)

    a=-函数f(x)x3x

    f′(x)x2(x21)

    当-1x1f′(x)0所以f(x)[11]上单调递减所以f(x)minf(1)=-3满足条件故排除C.综上D.

    应用二 正与反的相互转化

    [典型例题]

    若对于任意t[12]函数g(x)x3x22x在区间(t3)上总不为单调函数则实数m的取值范围是________

    解析 由题意得g′(x)3x2(m4)x2g(x)在区间(t3)上总为单调函数g′(x)0(t3)上恒成立g′(x)0(t3)上恒成立.

    3x2(m4)x20m43xx(t3)上恒成立所以m43t恒成立m41m5

    m43xx(t3)上恒成立

    m49m.

    所以函数g(x)在区间(t3)上总不为单调函数的m的取值范围为-<m<5.

    答案】 (5)

     

    (1)本题是正与反的转化由于函数不为单调函数有多种情况所以可先求出其反面情况体现正难则反的原则.

    (2)题目若出现多种成立的情形则不成立的情形相对很少从反面考虑较简单因此间接法多用于含有至多”“至少及否定性命题情形的问题中. 

    [对点训练]

    1由命题存在x0R使e|x01|m0是假命题m的取值范围是(a)则实数a的取值是(  )

    A(1)  B(2) 

    C1  D2

    析:C.由命题存在x0R使e|x01|m0是假命题可知它的否定形式任意xR使e|x1|m>0是真命题可得m的取值范围是(1)(a)(1)为同一区间a1.

    2若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间[11]内至少存在一个值c使得f(c)>0,则实数p的取值范围是________

    解析:如果在[11]内没有值满足f(x)>0p3p故实数满足条件的p的取值范围为.

    答案:

    应用三 常量与变量的相互转化

    [典型例题]

    已知函数f(x)x33ax1g(x)f′(x)ax5其中f′(x)f(x)的导函数.对任意a[11]都有g(x)<0则实数x的取值范围为________

    解析 由题意g(x)3x2ax3a5

    φ(a)(3x)a3x251a1.

    由题意得解得-<x<1.

    x的取值范围为.

    答案 

     

    (1)本题是把关于x的函数转化为[11]内关于a的一次函数的问题.

    (2)在处理多变元的数学问题时我们可以选取其中的常数(或参数)将其看成主元而把其他变元看成常量从而达到减少变元简化运算的目的. 

    [对点训练]

    1对于满足0p4的所有实数p使不等式x2px>4xp3成立的x的取值范围是________

    解析:f(p)(x1)px24x3

    则当x1f(p)0.所以x1.

    f(p)0p4时恒为正等价于解得x>3x<1.

    x的取值范围为(1)(3)

    答案:(1)(3)

    2y(log2x)2(t2)log2xt1t[22]上变化时y恒取正值x的取值范围是________

    解析:f(t)(log2x1)t(log2x)22log2x1

    f(t)是一次函数t[22]f(t)>0恒成立解得log2x<1log2x>3

    0<x<x>8

    x的取值范围是(8)

    答案:(8)

    应用四 形、体位置关系的相互转化

    [典型例题]

    在平行六面体ABCD­A1B1C1D1AA1ABAB1B1C1.

    求证:(1)AB平面A1B1C

    (2)平面ABB1A1平面A1BC.

    证明】 (1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1ABA1B1.

    因为AB平面A1B1CA1B1平面A1B1C

    所以AB平面A1B1C.

    (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1四边形ABB1A1为平行四边形.

    又因为AA1AB所以四边形ABB1A1为菱形

    所以AB1A1B.

    因为AB1B1C1BCB1C1

    所以AB1BC.

    又因为A1BBCBA1B平面A1BCBC平面A1BC

    所以AB1平面A1BC

    又因为AB1平面ABB1A1

    所以平面ABB1A1平面A1BC.

     

    形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法.主要适用于涉及平行、垂直的证明如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化. 

    [对点训练]

    1如图在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1EF是棱AB上的一条线段EF2QA1D1的中点P是棱C1D1上的动点则四面体PQEF的体积(  )

    A是变量且有最大值

    B是变量且有最小值

    C是变量且有最大值和最小值

    D是常数

    解析:D.Q到棱AB的距离为常数所以EFQ的面积为定值.由C1D1EF可得棱C1D1平面EFQ所以点P到平面EFQ的距离是常数于是可得四面体PQEF的体积为常数.

     

    2已知三棱锥PABCPABC2PBAC10PCAB2则三棱锥PABC的体积为________

    解析:因为三棱锥PABC的三组对边两两相等故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)把三棱锥PABC补成一个长方体AEBG­FPDC

    易知三棱锥PABC的各棱分别是此长方体的面对角线.

    不妨令PExEByEAz则由已知可得

    从而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB6×8×104×××6×8×10160.

    答案:160

    应用五 函数、方程、不等式间的相互转化

     

    [典型例题]

    已知函数f(x)3e|x|.若存在实数t[1)使得对任意的x[1m)mZm>1都有f(xt)3exm的最大值.

     因为当t[1)x[1m]xt0

    所以f(xt)3exextext1ln xx.

    所以原命题等价转化为存在实数t[1)使得不等式t1ln xx对任意x[1m)恒成立.

    h(x)1ln xx(x1)

    因为h′(x)10

    所以函数h(x)[1)上为减函数.

    x[1m)所以h(x)minh(m)1ln mmt值恒存在只需1ln mm1.

    因为h(3)ln 32ln>ln =-1h(4)ln 43ln<ln =-1且函数h(x)[1)内为减函数所以满足条件的最大整数m的值为3.

     

     

    (1)函数与方程、不等式联系密切解决方程、不等式的问题需要函数帮助.

    (2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简一般可将不等关系转化为最值(值域)问题从而求参变量的范围. 

     

    [对点训练]

    1已知e为自然对数的底数若对任意的x总存在唯一的y[11]使得ln xx1ay2ey成立则实数a的取值范围是(  )

    A     B

    C D

    解析:选B.f(x)ln xx1axf′(x)0f(x)是增函数所以xf(x);设g(y)y2eyg′(y)eyy(y2)g(y)[10)上单调递减[01]上单调递增g(1) <g(1)e.因为对任意的x总存在唯一的y[11]使得f(x)g(y)成立所以解得<ae.

     

    2关于x的不等式x1a22a>0x(0)恒成立则实数a的取值范围为______

    解析:设f(x)x(x>0)f(x)x24(当且仅当x2等号成立).因为关于x的不等式x1a22a>0x(0)恒成立所以a22a1<4恒成立解得-1<a<3所以实数a的取值范围为(13)

    答案(13)

     

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