2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题七第1讲　数学文化

第1讲　数学文化

函数中的数学文化题

[典型例题]

在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

【解析】　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.　

因为PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．

设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝，

又＝＝＝，所以QR＝，

所以PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故选A.

【答案】　A

中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．　

[对点训练]

(2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的，第2关所收税金为剩余持金的，第3关所收税金为剩余持金的，第4关所收税金为剩余持金的，第5关所收税金为剩余持金的，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为(　　)

A．斤　　　　　　 B．斤

C．斤 D．斤

解析：选C.设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为斤；第2关所收税金为斤；第3关所收税金为斤；第4关所收税金为斤；第5关所收税金为斤．易知＋＋＋＋＝1，解得x＝.则第5关所收税金为斤．故选C.

数列中的数学文化题

[典型例题]

(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　)

A．里　　　　　　　 B．1 050里

C．里 D．2 100里

【解析】　由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700，则a1＝，则＝(里)．故选C.

【答案】　C

(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．

(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．　

[对点训练]

(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿(　　)

A．斗粟 B．斗粟

C．斗粟 D．斗粟

解：选C.法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故选C.

法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝(斗)，羊主人应赔偿5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝(斗)，故选C.

三角函数中的数学文化题

[典型例题]

《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝，现有周长为2＋的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C． D．

【解析】　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(－1)x，b＝x，c＝(＋1)x，由题意得(－1)x＋x＋(＋1)x＝(2＋)x＝2＋，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝＝，故选B.

【答案】　B

我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．　

[对点训练]

　(2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.

解析：设两住宅楼楼间距实际为x m．如图，

根据题意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.

答案：54

立体几何中的数学文化题

[典型例题]

《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1­ABB1A1的外接球的表面积是(　　)

A．25π　　　　　　　 B．50π

C．100π D．200π

【解析】　由题意得阳马C1­ABB1A1的外接球即为堑堵ABC­A1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半径R＝，表面积为4πR2＝50π.故选B.

【答案】　B

立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的体积与表面积等．　

[对点训练]

《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为(　　)

A．3 B．3.1

C．3.14 D．3.2

解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为V＝πr2h.由题意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A.

概率中的数学文化题

[典型例题]

(1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是(　　)

A．　　　　　　　　　  B．

C． D．

(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A． B．

C． D．

【解析】　(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：

双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P＝＝.故选A.

(2)函数y＝3sin x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是＝.故选B.

【答案】　(1)A　(2)B

(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．　

(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．

[对点训练]

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C.不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为，故选C.

一、选择题

1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　)

A．104人 B．108人

C．112人 D．120人

解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×＝300×＝108.故选B.

2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为(　　)

A.钱 B.钱

C.钱 D．1钱

解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.

3．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是(　　)

A. B.

C. D．CCC

解析：选A.先将14种计算方法分为三组，方法有种，再分配给3个人，方法有×A种．故选A.

4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是(　　)

A．五寸 B．二尺五寸

C．三尺五寸 D．四尺五寸

解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.

5．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则a2 017·a2 019－a等于(　　)

A．1 B．－1

C．2 017 D．－2 017

解析：选A.因为a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故选A.

6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是(　　)

A．33 B．34

C．36 D．35

解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.

7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化简得π≈.故选A.

8．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为(　　)

A. B.

C．39 D.

解析：选B.设下底面的长为x，则下底面的宽为＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－＋×＋＝.故选B.

9．(多选)古代计算弧田面积方法为，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则(　　)

A．OA＝5 B．∠AOB＝60°

C．S△AOB＝9 D．cos∠AOB＝

解析：选AD.如图，依题意AB＝6，设CD＝x(x>0)，则(6x＋x2)＝，解得x＝1.设OA＝y，则(y－1)2＋9＝y2，解得y＝5，由余弦定理得cos∠AOB＝＝，S△AOB＝×6×4＝12.故选AD.

10．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则(　　)

A．an＝3n－1

B．an＝2n－1

C．a4＝27

D．an－an－1＝2·3n－2(n≥2)

解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通项公式可以是an＝3n－1.

11．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是(　　)

A．此人第二天走了九十六里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第三天走的路程占全程的

D．此人后三天共走了42里路

解析：选ABD.设此人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由题意可知，{an}是首项为a1，公比q＝的等比数列，由等比数列前n项和公式得S6＝＝378，解得a1＝192.

在A中，a2＝192×＝96，故A正确；

在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正确；

在C中，a3＝192×＝48，>，故C错误；

在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．

12．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，下列命题正确的是(　　)

A．对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个

B．函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“太极函数”

C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”

D．函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；

函数f(x)＝ln(x2＋)的图象如图1所示，

故其不可能为圆的“太极函数”，故B错误；

将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C正确；函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D错误．

二、填空题

13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)

解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.

答案：41π

14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为________．

解析：由题意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故点P在圆x2＋y2＝3上，设P(x，y)，联立，得得P.

故点P的横坐标为.

答案：

15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约

为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝________．

解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，

＝＝＝＝2.

答案：2

16．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.

答案：26　－1