2020届高考数学二轮教师用书：第一章第3节　简单的逻辑联结词、存在量词与全称量词

第3节　简单的逻辑联结词、存在量词与全称量词

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的　且　、　或　、　非　叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)

(2)p∨q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．(　　)

(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．(　　)

(4)“对顶角相等”是全称命题．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

[小题查验]

A．∀n∈N，n2＞2n　　 B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n

2．有下列四个命题，其中真命题是(　　 )

A．∀n∈R，n2≥n

B．∃n∈R，m∈R，m·n＝m

C．∀n∈R，m∈R，m2<n

D．∀n∈R，n2<n

解析：B　[对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.]

3．已知命题p∧q为假命题，下列结论正确的是(　　)

A．p∨q为真命题

B．(p)∧q为真命题

C．p，q有且只有一个假命题

D．p，q至少有一个真命题

解析：D　[p∧q为假命题时，p，q可能一个真命题一个假命题，也可能两个都是假命题．故选项A，B，C中的结论都不正确；选项D中结论等价于p，q至少有一个假命题，故正确．]

4．(教材改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为　________　.

答案：存在两个等边三角形，它们不相似

答案：①②③④

考点一　全称命题、特称命题的真假判断(自主练透)

逻辑推理——全称命题与特称命题中的核心素养

以学习过全称命题、特称命题的数学知识为基础，判断全称命题、特称命题的真假，充分体现了“逻辑推理”这一核心素养的具体应用．

[题组集训]

1．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1>0

C．∃x0∈R，lg x0<1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

解析：D　[A显然正确；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lg x<1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，

所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．]

2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)

A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m)

B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m)

C．∀x∈R，f(x)≤f(m)

D．∀x∈R，f(x)≥f(m)

解析：D　[因为a>0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．故选D.]

3．下列命题中，真命题是(　　)

A．∃x0∈，sin x0＋cos x0≥2

B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1

C．∃x0∈R，x＋x0＝－1

D．∀x∈，tan x>sin x

解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝ sin≤，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ]

全称命题与特称命题真假的判断方法

　提醒：不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

考点二　含有一个量词的命题的否定(自主练透)

[题组集训]

A．∃x0∈R，x＋2x0＋2＞0

B．∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0

C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0

D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0

解析：D　[根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.]

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

3．(2019·咸阳市一模)已知命题p：“存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x0>1”，则下列说法正确的是(　　 )

A．∃x0∈，tan x0≥sin x0

B．∃x0∈，tan x0＞sin x0

C．∃x0∈，tan x0≤sin x0

D．∃x0∈∪，tan x0＞sin x0

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．

考点三　含有逻辑联结词的命题的真假(师生共研)

[典例]　(1)已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是(　　 )

 (2)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③  B．①②

C．②③  D．③④

[答案]　(1)B　(2)A

 [跟踪训练]

2．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则(　　 )

A．命题p与命题q都是真命题

B．命题p与命题q都是假命题

C．命题p是真命题，命题q是假命题

D．命题p是假命题，命题q是真命题

解析：D　[命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，

则p是假命题，q是真命题，故选D.]

3．(2020·濮阳市一模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.那么下列命题中的真命题是(　　)

4．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　 )

5．(2020·沈阳市模拟)命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为(　　 )

A．∀x∈N*，x＞

B．∀x∉N*，x＞

C．∃x0∉N*，x0＞

D．∃x0∈N*，x0＞

解析：D　[命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“x≤”改为“x0＞”即可，故选D.]

A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名

8．(2020·瓦房店市一模)下列说法错误的是(　　 )

A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”

B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件

D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

解析：D　[命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”，故A正确；

由x＞1，可得|x|＞1＞0，反之，由|x|＞0，不一定有x＞1，如x＝－1，

∴“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确；

若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错误．]

9．命题“∃x0∈R,2x0＞3”的否定是　________　.

解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R,2x0＞3”的否定是：“∀x∈R,2x≤3”．

答案：∀x∈R,2x≤3

10．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是　________　.

解析：命题“∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．

答案：(－4,0]

11．(2020·西宁市一模)命题“∃x∈R，x2－(m－1)x＋1＜0”为假命题，则实数m的取值范围为　________　.

解析：命题“∃x∈R，x2－(m－1)x＋1＜0”为假命题，

可得∀x∈R，x2－(m－1)x＋1≥0恒成立，

即有Δ＝(m－1)2－4≤0，解得－1≤m≤3，

则实数m的取值范围为[－1,3]．

答案：[－1,3]