2020届二轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词教案（全国通用）
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例1. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．
解析： (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．
否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．
逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
点评：
1. 判断复合命题的真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式；
②判断其中简单命题p和q的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.
举一反三：
【变式1】若命题P：，则命题“非P”是（ ）
A．且 B．或 C． D．
【答案】A ；
解析：∵因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，∴非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.
【变式2】满足“p或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）
（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数
（2）p：；q: 不等式的解集为
（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.
【答案】(2)；
解析：由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．
类型二：全称命题与特称命题真假的判断
例2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解析：
(1)由于都有，故，为真命题；
：，为假命题
(2) 因为不存在一个实数，使成立，为假命题；
：，为真命题.
(3)因为只有或满足方程，为假命题；
：，为真命题.
(4) 由于使成立的数有，且它们是有理数，为真命题；
：，为假命题.
点评：
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若a>b且c>d，则a＋c>b＋d
(2)若a<0，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根．
【答案】(1)逆命题：若a＋c>b＋d，则a>b且c>d(假命题)
否命题：若a≤b或c≤d，则a＋c≤b＋d(假命题)
逆否命题：若a＋c≤b＋d，则a≤b或c≤d(真命题)
(2)逆命题：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，则a<0
否命题：若a≥0，则方程ax2＋2x＋1＝0无负实数根
逆否命题：若方程ax2＋2x＋1＝0无负实数根，则a≥0
因为若a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0为两根之积为<0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．
逆命题为假命题．事实上，方程ax2＋2x＋1＝0，有两个负数根时>0此时a>0，所以逆命题不成立．
因此否命题也是假命题.
类型三：在证明题中的应用
例3.若均为实数，且，，．求证：中至少有一个大于0．
解析：假设都不大于0，即，则
而
∵，．
∴，这与相矛盾．
因此中至少有一个大于0．
点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.
2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
举一反三：
【变式】求证:关于的方程有一根为1的充分必要条件是.
证明：
(1）必要性，即 证“是方程的根”.
∵是方程的根，将代入方程，得,即成立.
(2）充分性，即证“是方程的根”.
把代入方程的左边，得
∵, ∴ ，∴是方程的根成立.
综合(1)(2)知命题成立.
