2020届高考数学二轮教师用书：第四章第4节　数系的扩充与复数的引入

第4节　数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

1.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

2．－b＋ai＝i(a＋bi)．

3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)任何数的平方都不小于0.(　　 )

(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　 )

(3)两个虚数的和还是虚数．(　　 )

(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　　 )

(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

[小题查验]

1．(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i　　　　　 B．－1＋i

C．1－i  D．1＋i

解析：D　[本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．z＝＝＝1＋i.故选D.]

2．(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　 )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：C　[由题意：z＝－1－2i.故选C.]

3．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　 )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：B　[当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．]

4．(教材改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为　________　.

答案：3＋5i

5．若复数z＝2－i，则＋＝　________　.

解析：∵z＝2－i，∴＋＝(2＋i)＋＝(2＋i)＋＝6＋3i.

答案：6＋3i

考点一　复数的有关概念(自主练透)

[题组集训]

1．设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　 )

A．－1＋2i　　　　　　　 B．1－2i

C．3＋2i  D．3－2i

解析：C　[∵复数z满足z＋i＝3－i，∴z＝3－2i，

∴＝3＋2i，故选C.]

2．(2018·全国Ⅰ卷)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0  B.

C．1  D.

解析：C　[因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故选C.]

3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　 )

A．－3  B．－2

C．2  D．3

解析：A　[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，∴a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]

4．若z＝4＋3i，则＝(　　 )

A．1  B．－1

C.＋i  D.－i

解析：D　[z＝4＋3i，则＝＝＝－i.故选D.]

求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．

考点二　复数的几何意义(自主练透)

[题组集训]

1．(2016·全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　 )

A．(－3,1)　　　　　　　 B．(－1,3)

C．(1，＋∞)  D．(－∞，－3)

解析：A　[由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得解得－3<m<1，故选A.]

2．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1

D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：C　[|z－i|＝1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1.选C.]

3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是　________　.

解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，

根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴解得∴λ＋μ＝1.

答案：1

对复数几何意义的理解及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.                                                                    

考点三　复数的代数运算(自主练透)

数学运算——复代数运算中的核心素养

在复数的代数概念下，准确理解其运算法则至关重要．在正确理解这些运算法则的基础上，准确运用其进行计算，便可迅速得到正确的数学结果．

[题组集训]

1．(2018·全国Ⅱ卷)＝(　　)

A．－－i　　　　　　　 B．－＋i

C．－－i  D．－＋i

解析：D　[∵＝＝，∴选D.]

2．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)

A．1＋2i  B．－1＋2i

C．1－2i  D．－1－2i

解析：D　[z＝i(2＋i)＝2i－1＝－1＋2i，∴＝－1－2i.]

3．若z＝1＋2i，则＝(　　 )

A．1  B．－1

C．i  D．－i

解析：C　[＝＝i.]

4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝　______　.

解析：∵z＝＝

＝＝

＝＝－＋i，

故＝－－i，

∴z·＝＝＋＝.

答案：

复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

1．(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i　　　　　　　 B．－3＋i

C．3－i  D．3＋i

解析：D　[(1＋i)(2－i)＝2＋i－i2＝3＋i，选D.]

2．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝(　　 )

A．2＋i  B．2－i

C．－2＋i  D．－2－i

解析：B　[∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2.

∴复数z的共轭复数＝2－i.故选B.]

3．(2020·天津市模拟)若复数z满足＝1－i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于(　　 )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：A　[由＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A.]

4．(2020·包头市一模)设复数z满足(1＋i)z＝i－1，则|z|＝(　　 )

A．4  B．1

C．2  D．3

解析：B　[由(1＋i)z＝i－1，得z＝＝＝＝i，则|z|＝1.故选B.]

5．设a，b∈R，a＝，则b＝(　　 )

A．－2   B．－1

C．1  D．2

解析：A　[∵a＝＝＝＋i，

∴，解得b＝－2.故选A.]

6．(2020·唐山市模拟)复数z＝(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为(　　 )

A．1  B．i

C．2  D．2i

解析：A　[∵z＝＝＝＋i是纯虚数，

∴，解得a＝1，则z＝i，

∴z的虚部为1.故选A.]

7．(2020·长春市质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　 )

A．－5  B．5

C．－4＋i  D．－4－i

解析：A　[∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，

又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

则z2的对应点的坐标为(－2,1)，

即z2＝－2＋i，

∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]

8．(2017·全国Ⅰ卷)设有下列四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　 )

A．p1，p3  B．p1，p4

C．p2，p3  D．p2，p4

解析：B　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，

故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；

对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0，

故＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]

9．(2020·天津市模拟)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝　________　.

解析：由图形可得，A点表示的复数为i，B点表示的复数为2－i，

∴＝＝＝－1－2i.

答案：－1－2i

10．(2020·奉贤区模拟)设z是复数，a(z)表示满足zn＝1时的最小正整数n，i是虚数单位，则a＝　______　

解析：因为＝＝＝i，依次代入in＝1，发现n＝4时等式第一次成立，所以a＝a(i)＝4.

答案：4