2020届高考数学二轮教师用书：第一章第3节　简单的逻辑联结词、存在量词与全称量词

第3节　简单的逻辑联结词、存在量词与全称量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的　且　、　或　、　非　叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真　真　真假真假　假　真假假真假真　真　假假假　假　　真　2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题量词命题命题的否定全称量词存在量词全称命题特称命题∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)短语“　所有　”在陈述中表示所述事物的　全体　，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　∀　”表示.短语“　有一个　”或“　有些　”或　“至少有一个　”在陈述中表示所述事物的　个体　或　部分　，逻辑中通常叫做　存在量词　，并用符号“　∃　”表示.含有　全称量词　的命题叫做全称命题，形如“对M中的所有x，p(x)”的全称命题，可以用符号简记为“　∀x∈M，p(x)　”.含有　存在量词　的命题叫做特称命题，形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的特称命题，可以用符号简记为　∃x∈M，q(x)　.　∃x0∈M，　p(x0)　∀x∈M，p(x)　
[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)(2)p∨q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．(　　)(3)存在一个集合，它里面没有任何元素．(　　)(4)“对顶角相等”是全称命题．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[小题查验]A．∀n∈N，n2＞2n　　 B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n2．有下列四个命题，其中真命题是(　　 )A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n解析：B　[对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.]3．已知命题p∧q为假命题，下列结论正确的是(　　)A．p∨q为真命题B．(p)∧q为真命题C．p，q有且只有一个假命题D．p，q至少有一个真命题解析：D　[p∧q为假命题时，p，q可能一个真命题一个假命题，也可能两个都是假命题．故选项A，B，C中的结论都不正确；选项D中结论等价于p，q至少有一个假命题，故正确．]4．(教材改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为　________　.答案：存在两个等边三角形，它们不相似答案：①②③④考点一　全称命题、特称命题的真假判断(自主练透)逻辑推理——全称命题与特称命题中的核心素养以学习过全称命题、特称命题的数学知识为基础，判断全称命题、特称命题的真假，充分体现了“逻辑推理”这一核心素养的具体应用．[题组集训]1．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1>0C．∃x0∈R，lg x0<1D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2解析：D　[A显然正确；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lg x<1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．]2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m)B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m)C．∀x∈R，f(x)≤f(m)D．∀x∈R，f(x)≥f(m)解析：D　[因为a>0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．故选D.]3．下列命题中，真命题是(　　)A．∃x0∈，sin x0＋cos x0≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1C．∃x0∈R，x＋x0＝－1D．∀x∈，tan x>sin x解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝ sin≤，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ]全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真　提醒：不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．考点二　含有一个量词的命题的否定(自主练透)[题组集训]A．∃x0∈R，x＋2x0＋2＞0B．∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0解析：D　[根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.]A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数3．(2019·咸阳市一模)已知命题p：“存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x0>1”，则下列说法正确的是(　　 )A．∃x0∈，tan x0≥sin x0B．∃x0∈，tan x0＞sin x0C．∃x0∈，tan x0≤sin x0D．∃x0∈∪，tan x0＞sin x0全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考点三　含有逻辑联结词的命题的真假(师生共研)[典例]　(1)已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是(　　 ) (2)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)A．①③  B．①②C．②③  D．③④[答案]　(1)B　(2)A [跟踪训练]2．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则(　　 )A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题解析：D　[命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故选D.]3．(2020·濮阳市一模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.那么下列命题中的真命题是(　　)4．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　 )5．(2020·沈阳市模拟)命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为(　　 )A．∀x∈N*，x＞B．∀x∉N*，x＞C．∃x0∉N*，x0＞D．∃x0∈N*，x0＞解析：D　[命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“x≤”改为“x0＞”即可，故选D.]A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名8．(2020·瓦房店市一模)下列说法错误的是(　　 )A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题解析：D　[命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”，故A正确；由x＞1，可得|x|＞1＞0，反之，由|x|＞0，不一定有x＞1，如x＝－1，∴“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错误．]9．命题“∃x0∈R,2x0＞3”的否定是　________　.解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R,2x0＞3”的否定是：“∀x∈R,2x≤3”．答案：∀x∈R,2x≤310．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是　________　.解析：命题“∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]11．(2020·西宁市一模)命题“∃x∈R，x2－(m－1)x＋1＜0”为假命题，则实数m的取值范围为　________　.解析：命题“∃x∈R，x2－(m－1)x＋1＜0”为假命题，可得∀x∈R，x2－(m－1)x＋1≥0恒成立，即有Δ＝(m－1)2－4≤0，解得－1≤m≤3，则实数m的取值范围为[－1,3]．答案：[－1,3]