2020年苏科版九年级数学上册专题训练圆中辅助线的添设（含答案）

圆中辅助线的添设

►　类型之一　作垂线

图4－ZT－1

1．如图4－ZT－1，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC＝12，OA＝8，则BD的长为(　　)

A．20  B．19  C．18  D．16

2．如图4－ZT－2，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上任意一点，则OP长的取值范围是__________．

图4－ZT－2

图4－ZT－3

3．如图4－ZT－3所示，在⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，且∠BPD＝30°，则CD＝________ cm.

4．如图4－ZT－4，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．

图4－ZT－4

5．如图4－ZT－5，MN是⊙O的直径，A是的中点，⊙O的弦AB交直径MN于点C，且∠ACO＝2∠CAO.

(1)求∠CAO的度数；

(2)若⊙O的半径为，求AB的长．

图4－ZT－5

►　类型之二　连半径

6．如图4－ZT－6，PA和PB是⊙O的切线，A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是(　　)

A．60°  B．65°  C．70°  D．75°

图4－ZT－6

图4－ZT－7

7．如图4－ZT－7，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E，B，C，F都在以D为圆心的同一圆弧上，且∠ADE＝∠CDF，则的长度为________(结果保留π)．

图4－ZT－8

8．如图4－ZT－8，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．

9．如图4－ZT－9，AB过圆心O，且AD＝OB，∠B＝45°.求∠A的度数．

图4－ZT－9

10．已知：如图4－ZT－10，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.

(1)求BD的长；

(2)求图中阴影部分的面积．

图4－ZT－10

►　类型之三　构造弦

图4－ZT－11

11．如图4－ZT－11，AB是半圆的直径，D是的中点，∠ABC＝48°，则∠DAB的度数为________．

12．如图4－ZT－12，已知⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于点E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于点M，连接MC，MD.

求证：∠AMD＝∠FMC.

图4－ZT－12

13．如图4－ZT－13①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.

(1)求证：∠CAD＝∠BAC.

(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，请说明理由．

图4－ZT－13

详解详析

1．A　[解析] 如图，过点O作OE⊥BC于点E，由垂径定理，得BD＝2BE.

∵△ABC是等边三角形，BC＝12，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝12，则∠COE＝30°.

∵OA＝8，∴OC＝12－8＝4，

∴CE＝OC＝2，

∴BE＝12－2＝10，

则BD＝2BE＝20.故选A.

2． 3≤OP≤5　

[解析] 如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，则AC＝CB＝AB＝4.

在Rt△AOC中，由勾股定理，得

OC＝＝＝3.

因为OP的长不小于OC的长而不大于OA的长，故OP长的取值范围是3≤OP≤5.

3．8 　[解析] 如图，过点O作OE⊥CD于点E.

∵AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，

∴OA＝6 cm，PA＝2 cm，PB＝10 cm，

∴OP＝4 cm.

在Rt△POE中，OE＝OP＝2 cm.

连接OC，则CE＝＝4  cm，

∴CD＝2CE＝8  cm.

4．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF.

∵DB＝10 cm，∴OD＝5 cm，

∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm)．

∵∠PAC＝30°，∴OG＝AO＝4 cm，

即圆心O到AP的距离为4 cm.

∵OG⊥EF，∴EG＝GF.

∵GF＝＝＝3(cm)，

∴EF＝2GF＝6 cm.

5．解：(1)∵MN是⊙O的直径，A是的中点，

∴∠AOM＝×180°＝90°，

∴∠ACO＋∠CAO＝90°.

∵∠ACO＝2∠CAO，∴3∠CAO＝90°，

∴∠CAO＝30°.

(2)如图，过点O作OD⊥AB于点D.

∵点O是圆心，

∴AD＝AB.

在Rt△AOD中，

∵OA＝，∠CAO＝30°，

∴OD＝OA＝，

由勾股定理，得AD＝，

∴AB＝2AD＝3.

6．C

7．　[解析] 连接BD.

∵在菱形ABCD中，DC＝BC，

又∵BD＝DC，

∴BD＝DC＝BC，即△DBC是等边三角形．

∴∠BDC＝60°，∴∠ADC＝120°.

∵∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝120°，

∴的长度为＝.

8.　[解析] 连接AO.

∵MN＝10，∴AO＝OM＝MN＝5.

设AB＝x，则AB＝BC＝DC＝x，

而∠DOC＝45°，∠DCO＝90°，

∴CO＝DC＝x.

在Rt△ABO中，由AB2＋BO2＝AO2，得x2＋4x2＝25，

∴x＝(负值已舍去)，即AB＝.

9．解：如图，连接DO，CO，则AD＝DO＝CO＝BO.设∠A＝x，

则∠DOA＝∠A＝x，∠BCO＝∠B＝45°，∠ODC＝∠OCD，

而∠ODC＝∠A＋∠DOA＝2x，

∴∠ACB＝2x＋45°.

在△ABC中，∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，

即x＋(2x＋45°)＋45°＝180°，

∴x＝30°，即∠A＝30°.

10．解：(1)连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°.

在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，

且AC＝8 cm，BC＝6 cm，

∴AB＝10 cm.

∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，

∴AD＝BD＝5  cm.

(2)连接OD.

由AB＝10 cm可知⊙O的半径为5 cm.

∵AD＝BD，OA＝OB，

∴OD⊥AB，即∠BOD＝90°，

∴S阴影＝S扇形ODB－S△ODB＝－×5×5＝(π－)cm2.

11．66°　[解析] 如图，连接BD.

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵D是的中点，

∠ABC＝48°，

∴∠ABD＝∠ABC＝24°，

∴∠DAB＝90°－∠ABD＝66°.

12．证明：如图，连接AD.

∵AB⊥CD，∴＝，

∴∠AMD＝∠ADC.

∵点A，M，C，D在⊙O上，

∴∠ADC＋∠AMC＝180°.

又∵∠FMC＋∠AMC＝180°，

∴∠FMC＝∠ADC，∴∠AMD＝∠FMC.

13．解：(1)证明：如图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC.

∵AD⊥EF，∴OC∥AD.

∴∠OCA＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC.

(2)与∠CAD相等的角是∠BAG.

证明：如图②，连接BG.

∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，

∴∠ABG＋∠ACG＝180°.

∵点D，C，G共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°.

∴∠ACD＝∠ABG.

∵AB是⊙O的直径，∴∠BAG＋∠ABG＝90°.

∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠BAG.