2020年苏科版九年级数学上册专题训练切线性质的运用（含答案）

切线性质的运用

    ►　类型之一　求线段的长

1．[2017·日照] 如图3－ZT－1，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(　　)

A．5   B．5   C．5  D.

图3－ZT－1

图3－ZT－2

2．如图3－ZT－2，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为(　　)

A．2  B．2   C.  D．2

3．当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图3－ZT－3所示(单位： cm)，求该圆的半径．

图3－ZT－3

►　类型之二　求角度

图3－ZT－4

4．如图3－ZT－4，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝40°，则∠ABC的度数为________．

5．如图3－ZT－5，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.过点D作ED与⊙O相切．求∠DEC的度数．

图3－ZT－5

6．[2017·天津] 已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.

(Ⅰ)如图3－ZT－6①，求∠T和∠CDB的大小；

(Ⅱ)如图3－ZT－6②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图3－ZT－6

►　类型之三　求面积

图3－ZT－7

7．如图3－ZT－7，两个半圆中，长为6的弦CD与大半圆的直径AB平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为________．

8．[2017·泰州] 如图3－ZT－8，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.

(1)求证：P为的中点；

(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．

图3－ZT－8

►　类型之四　求坐标

9．如图3－ZT－9，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于点A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是(　　)

A．(5，3)  　B．(5，4)  　C．(3，5)  　D．(4，5)

图3－ZT－9

图3－ZT－10

10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”，如图3－ZT－10，直线l：y＝kx＋4 与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当点P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P的个数是(　　)

A．6  　B．8  　C．10  　D．12

11．如图3－ZT－11，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是________．

图3－ZT－11

图3－ZT－12

12．如图3－ZT－12，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．若点P的坐标为(5，3)，M是⊙P上的一动点，则△ABM的面积最大时，点M的坐标为________．

►　类型之五　说理

13．如图3－ZT－13，已知AB为⊙O的直径，DC切⊙O于点C，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.求证：△DFC是等腰三角形．

图3－ZT－13

14．已知：如图3－ZT－14，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC(C为切点)，PD交⊙O于点A，B，连接AC，BC.求证：∠PCA＝∠PBC.

图3－ZT－14

详解详析

1．A

2．B　[解析] 如图，连接OE，OC，设OC与EF的交点为M.

∵∠EDC＝30°，

∴∠COE＝60°.

∵AB与⊙O相切，

∴OC⊥AB.

又∵EF∥AB，

∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形，

∴∠OEM＝90°－60°＝30°.

在Rt△EOM中，OM＝OE＝1，

由勾股定理，得EM＝＝.

∵EF＝2EM，∴EF＝2 .

3．如图，设⊙O与直尺的切点为C，连接OA，OB，OC，设OC与AB的交点为D，⊙O的半径为R cm，则OC⊥AB于点D.

在Rt△OAD中，AD＝4，OD＝R－3，OA＝R，

由勾股定理，得R2＝(R－3)2＋42，解得R＝.

即圆的半径为 cm.

4．50°　[解析] 连接OC，则OC⊥CD，而∠BCD＝40°，∴∠BCO＝50°.

在△OCB中，∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝50°，即∠ABC＝50°.

5．解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

又∵∠ABC＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，∠DBE＋∠ABD＝90°，

∴∠DBE＝∠A＝50°.

∵ED与⊙O相切，连接OD，

∴∠ODE＝90°.

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠EDB＝∠DBE＝50°，

∴∠DEC＝2∠EDB＝100°.

6．解：(Ⅰ)如图①，连接AC.

∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，

∴AT⊥AB，

即∠TAB＝90°.

∵∠ABT＝50°，

∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，

∴∠CDB＝∠CAB＝40°.

(Ⅱ)如图②，连接AD.

在△BCE中，∵BE＝BC，∠EBC＝50°，

∴∠BCE＝∠BEC＝65°，

∴∠BAD＝∠BCD＝65°.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD＝65°.

∵∠ADC＝∠ABC＝50°，

∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.

7.π　[解析] 设大半圆圆心为F，过点F作FE⊥CD，垂足为E.连接FC，则FC是大半圆的半径，EF的长等于小半圆的半径．

由垂径定理知，E是CD的中点，

由勾股定理知，FC2－EF2＝CE2＝9，

阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，

∴阴影部分的面积＝(FA2－EF2)π＝(FC2－EF2)π＝π.

8．解：(1)证明：如图，连接OP.

∵CP与⊙O相切于点P，∴OP⊥CP.

∵BD∥CP，∴OP⊥BD，

∴＝，即P为的中点．

(2)连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°＝∠OPC.

∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA.

∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，

∴DP∥BC，∴四边形BCPD是平行四边形，

∴DB＝PC，∴△COP≌△BAD(ASA)，

∴OC＝AB＝12 cm，

∴BC＝OA＝OB＝6 cm.

在Rt△OCP中，∵OP＝6 cm，

∴CP＝＝6  cm，∠C＝30°，

∴∠DBA＝30°，

∴OE＝OB＝3 cm，∴PE＝OP－OE＝3 cm，

∴四边形BCPD的面积是CP·PE＝18  cm2.

9．D

10． A　[解析] ∵△OAB是内角为30°，60°，90°的特殊三角形，

∴当OB＝4 时，AB＝8 ，OA＝12.

又∵满足条件的点P的坐标为整数，半径为整数，即点P到AB的距离为整数，

即AP为整数，满足上述条件的点有(0，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)，(10，0)，共6个．故选A.

11．(2，－4)　[解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A，则AM＝MN.

∵在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点，

∴∠POB＝∠PAB＝∠ABO＝90°，

∴四边形ABOP是矩形，

∴AB＝OP，PA＝OB＝2.

设OP＝a，则PM＝OP＝a.

∵点M的坐标是(2，－1)，

∴BM＝1，∴AM＝a－1.

在Rt△PAM中，PM2＝AM2＋PA2，

即a2＝(a－1)2＋4，解得a＝2.5，

∴AM＝1.5，∴MN＝3，∴BN＝1＋3＝4，

∴点N的坐标为(2，－4)．

12．(5，8)　[解析] 如图，过点P作PD⊥x轴于点D，DP的延长线交⊙P于点M，连接PC，PA.

∵点P的坐标为(5，3)，⊙P与y轴相切于点C，

∴PC＝5，PD＝3，∴PC＝PM＝5，

∴MD＝PD＋PM＝8.

∵四边形OCPD为矩形，∴OD＝PC＝5，

∴当点M的坐标为(5，8)时，△ABM的面积最大．

13．证明：如图，连接OC.

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA.

∵DC是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，

∴∠DCF＝90°－∠OCA.

∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，

∴∠DFC＝∠AFE＝90°－∠OAC.

又∵∠OAC＝∠OCA，∴∠DFC＝∠DCF，

∴DF＝DC，

∴△DFC是等腰三角形．

14．

证明：如图，连接OC，OA.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO.

∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，

∴∠PCO＝90°，∴∠PCA＋∠ACO＝90°.

在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，

又∵∠AOC＝2∠PBC，

∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°，

∴∠ACO＋∠PBC＝90°，

∴∠PCA＝∠PBC.