2020年苏科版九年级数学上册专题训练一元二次方程的解法归纳（含答案）

第1章　一元二次方程　 　　　

专题训练(一)　一元二次方程的解法归纳

一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择．

►　解法一　缺少一次项或形如(ax＋b)2＝c(c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解

1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　)

A．x2－5＝5  B．－3x2＝0 

C．x2＋4＝0  D．(x＋1)2＝0

2．解下列方程：

(1)t2－45＝0;  　　　　　　　(2)(x－3)2－49＝0；

(3)(6x－1)2＝25;  　　　　　　(4)(3y－1)2－8＝0；

(5)(x－3)2＝(5－2x)2.

►　解法二　方程一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解

3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的解是(　　)

A．x＝－1       B．x＝0

C．x1＝1，x2＝2  D．x1＝－1，x2＝2

4．一元二次方程x2－9＝3－x的解是(　　)

A．x＝3           B．x＝－4 

C．x1＝3，x2＝－4  D．x1＝3，x2＝4

5．解下列方程：

(1)x2＝x；　　　(2)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；

(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(4)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；

(5)(x－2)(x－3)＝6.

►　解法三　当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或遇到较大系数时选配方法求解

6．解下列方程：

(1)x2－24x＝9856；　　　(2)x2－6x－9991＝0.

7．有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0.

小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.

(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的．

(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)

►　解法四　方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解

8．用公式法解方程x2＋4 x＝2 时，其中求得的b2－4ac的值是________．

9．解下列方程：

(1)2x2－3x＋1＝0；　　(2)x(x＋2 )＋1＝0；

(3)3(x2＋1)－7x＝0；　(4)4x2－3x－5＝x－2.

►　解法五　运用换元法等数学思想方法解一元二次方程

10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为(　　)

A．x1＝1，x2＝3  B．x1＝－2，x2＝3

C．x1＝－3，x2＝－1  D．x1＝－2，x2＝－1

11．若(a2＋b2)(a2＋b2－2)＝8，则a2＋b2的值为(　　)

A．4或－2　　B．4　　C．－2　　D．－4

12．请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．

解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.

解得y1＝3，y2＝－1.

当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝±.

当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2.此方程无实数解．

∴原方程的解为x1＝，x2＝－.

我们将上述解方程的方法叫做换元法．

请用换元法解方程：

()2－2()－15＝0.

详解详析

1．C

2．解：(1)t1＝3 ，t2＝－3 .

(2)x1＝10，x2＝－4.

(3)x1＝1，x2＝－.

(4)移项，得(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，

所以3y－1＝±4.

所以3y－1＝4或3y－1＝－4.

所以y1＝，y2＝－1.

(5)方程两边开平方，得x－3＝±(5－2x)，

即x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，

所以x1＝，x2＝2.

3．D　4.C

5．解：(1)x1＝0，x2＝1.(2)x1＝3，x2＝－2.

(3)原方程可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，

即(2x－6)2－(5x－10)2＝0，

∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，

即(7x－16)(－3x＋4)＝0，

∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，

∴x1＝，x2＝.

(4)原方程可变形为(2x＋1＋2)2＝0，

即(2x＋3)2＝0，∴2x＋3＝0，

∴x1＝x2＝－.

(5)整理，得x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0，

∴x＝0或x－5＝0，∴x1＝0，x2＝5.

6．(1)x1＝112，x2＝－88　(2)x1＝103，x2＝－97

7．解：(1)⑤

(2)x2＋2nx－8n2＝0，

x2＋2nx＝8n2，

x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，

(x＋n)2＝9n2，

x＋n＝±3n，

x1＝2n，x2＝－4n.

8．64　[解析] 要求b2－4ac的值，需将原方程先转化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．原方程可化为x2＋4 x－2 ＝0，b2－4ac＝(4 )2－4××(－2 )＝64.故填64.

9．解：(1)∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1>0，

∴x＝＝，

即x1＝1，x2＝.

(2)原方程可化为x2＋2 x＋1＝0.

∵a＝1，b＝2 ，c＝1，

∴b2－4ac＝(2 )2－4×1×1＝4，

∴x＝＝－±1，

∴x1＝－＋1，x2＝－－1.

(3)化简，得3x2－7x＋3＝0，

∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝.

(4)化简，得4x2－4x－3＝0，

∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝－.

10．D　[解析] 设y＝2x＋5，则原方程可化为y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，2x＋5＝1时，解得x＝－2；当y＝3时，2x＋5＝3时，解得x＝－1.所以原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.故选D.

11．B　[解析] 设a2＋b2＝x，则原方程可化为x(x－2)＝8，解得x1＝4，x2＝－2.

因为a2＋b2的值为非负数，所以a2＋b2的值为4，故选B.

12．解：设＝a，则a2－2a－15＝0，

解得a1＝3，a2＝5.

当a＝－3时，＝－3，解得x＝.

经检验，x＝是该分式方程的解．

当a＝5时，＝5，解得x＝.

经检验，x＝是该分式方程的解．

∴原方程的解是x1＝，x2＝.