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2019-2020学年浙江省金华市东阳市七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年浙江省金华市东阳市七年级（下）期末数学试卷
一.精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣4＝0 B．3x+4y＝1 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝3
2．（3分）下列图形中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用，经测算，一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，用科学记数法表示10粒芝麻的重量为（ ）
A．2.01×10﹣6kg B．2.01×10﹣5kg
C．20.1×10﹣7kg D．20.1×10﹣6kg
4．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．CF∥AB C．CF＝a厘米 D．DE＝a厘米
5．（3分）明明家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则相邻两个月用电量变化最大的是（ ）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
6．（3分）计算（﹣2x2）3的结果是（ ）
A．﹣2x5 B．﹣8x6 C．﹣2x6 D．﹣8x5
7．（3分）如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
8．（3分）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
10．（3分）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
二.用心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．（4分）使分式有意义的x的取值范围为 ．
12．（4分）把多项式2x2﹣18因式分解为 ．
13．（4分）将一副三角板按如图摆放，已知直线l∥直线k，则∠α的度数为 ．
14．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ．
15．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
16．（4分）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 ；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 秒时，PB′∥QC′．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：（）0﹣（﹣）﹣3
（2）化简：x（2x﹣7）+（2x﹣3）（2x+3）
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
20．（8分）“一方有难，八方支援”，某校举行了一次零花钱爱心捐款活动．为了解捐款情况，小慧抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息回答问题：
（1）求n、m的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数．
21．（8分）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
22．（10分）某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：x、y表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式、．如果这两个正数的差等于它们的积，即x﹣y＝xy，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即+＝xy+2．
（1）写出两组符合条件x﹣y＝xy的正数x、y的值．
（2）选（1）中的一组x、y的值，验证兴趣小组发现的结论+＝xy+2．
（3）在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论．
23．（10分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
24．（12分）有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧如图①所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 ；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为65°，请求出∠α的度数．
（3）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A′落在DC边上．若∠CA′F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA′的度数．
2019-2020学年浙江省金华市东阳市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣4＝0 B．3x+4y＝1 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝3
【分析】利用二元一次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：A、3x﹣4＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、3x+4y＝1是二元一次方程，故此选项符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、x﹣2xy＝3是二元二次方程，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）下列图形中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：，，∠1与∠2是同位角，
∠1与∠2不是同位角，
故选：D．
3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用，经测算，一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，用科学记数法表示10粒芝麻的重量为（ ）
A．2.01×10﹣6kg B．2.01×10﹣5kg
C．20.1×10﹣7kg D．20.1×10﹣6kg
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，10粒芝麻的重量为0.0000201kg＝2.01×10﹣5kg
故选：B．
4．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．CF∥AB C．CF＝a厘米 D．DE＝a厘米
【分析】利用平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，
∴AC∥DF，CF∥AB，CF＝AD＝BE＝a厘米．
故选：D．
5．（3分）明明家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则相邻两个月用电量变化最大的是（ ）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
【分析】根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的用电量的变化值，比较即可得解．
【解答】解：1月至2月，125﹣100＝25千瓦时，
2月至3月，125﹣110＝15千瓦时，
3月至4月，110﹣100＝10千瓦时，
4月至5月，120﹣100＝20千瓦时，
所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是1月至2月．
故选：A．
6．（3分）计算（﹣2x2）3的结果是（ ）
A．﹣2x5 B．﹣8x6 C．﹣2x6 D．﹣8x5
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）3（x2）3＝﹣8x6，
故选：B．
7．（3分）如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：北偏西52°．
故选：A．
8．（3分）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：；
故选：B．
9．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解．
【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
又∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4．
故选：A．
10．（3分）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为35，宽为15，得出a+b＝35，a﹣b＝15，进而得出图中Ⅱ部分的长和宽，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得出：，
解得：，
故图（2）中Ⅱ部分的面积是：b（a﹣b）＝10×（25﹣10）＝150，
故选：C．
二.用心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．（4分）使分式有意义的x的取值范围为 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行计算即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
12．（4分）把多项式2x2﹣18因式分解为 2（x﹣3）（x+3） ．
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：2x2﹣18，
＝2（x2﹣9），
＝2（x﹣3）（x+3）．
故答案为：2（x﹣3）（x+3）．
13．（4分）将一副三角板按如图摆放，已知直线l∥直线k，则∠α的度数为 15° ．
【分析】延长AB交直线l于C．首先求出∠DCA＝120°，再根据三角形的内角和的知识计算即可．
【解答】解：延长AB交直线l于C．
∵l∥k，
∴∠DCA＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠CBD＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
14．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ﹣3 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ﹣1或0 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，根据原分式方程无解，确定a的值．
【解答】解：去分母，得ax+a＝2a+2，
移项并整理，得ax＝a+2，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝．
∵当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴≠﹣1．
解得，a≠﹣1．
故答案为：﹣1或0．
16．（4分）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 PB′⊥QC′ ；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 15秒或63秒或135 秒时，PB′∥QC′．
【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【解答】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：（）0﹣（﹣）﹣3
（2）化简：x（2x﹣7）+（2x﹣3）（2x+3）
【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）根据单项式乘多项式以及平方差公式化简即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣8）
＝1+8
＝9；
（2）原式＝2x2﹣7x+（2x）2﹣9
＝2x2﹣7x+4x2﹣9
＝6x2﹣7x﹣9．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①×2+②得：7x＝﹣5，
解得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为．
19．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 分式的基本性质 、 等式的基本性质 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【分析】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
20．（8分）“一方有难，八方支援”，某校举行了一次零花钱爱心捐款活动．为了解捐款情况，小慧抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息回答问题：
（1）求n、m的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数．
【分析】（1）先由捐款30元的人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念求解可得；
（2）用总人数减去捐款30、20、15、5元的人数，据此可求得捐款10元的人数，即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中捐款30元、20元、15元的人数和所占比例．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为12÷20%＝60（人），
∴m＝×100%＝25%，n＝×100%＝15%；
（2）捐款10元的人数为60﹣（12+15+9+6）＝18（人），
补全条形图如下：
（3）估计全校捐款额不少于15元的学生人数为1200×＝720（人）．
21．（8分）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝180﹣（∠1+∠2）＝90°＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
22．（10分）某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：x、y表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式、．如果这两个正数的差等于它们的积，即x﹣y＝xy，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即+＝xy+2．
（1）写出两组符合条件x﹣y＝xy的正数x、y的值．
（2）选（1）中的一组x、y的值，验证兴趣小组发现的结论+＝xy+2．
（3）在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论．
【分析】（1）根据条件取值即可；
（2）根据x、y的值，求出+与xy的值即可判断；
（3）求出+﹣xy的值即可．
【解答】解：（1）x＝2，y＝2或x＝3，y＝；
（2）当x＝2，y＝2时，
∵+＝2，xy＝4，
∴+比xy小2．
（3）∵x+y＝xy，
∴+﹣xy＝＝＝﹣2，
∴+比xy小2．
23．（10分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【分析】（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；
②由第一次记录，列出方程组，可求解；
（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解．
【解答】解：（1）①第二次记录错误，
理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∴第二次记录有误；
②由题意可得：，
解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：，
解得：x＝3y，
∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
24．（12分）有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧如图①所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 同位角相等两直线平行 ；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为65°，请求出∠α的度数．
（3）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A′落在DC边上．若∠CA′F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA′的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定方法即可解决问题．
（2）如图②﹣1中，证明∠α＝∠4即可解决问题．
（3）分两种情形：如图③﹣1中，证明∠DEA′＝2∠EAA′，∠DEA′＝∠CA′F即可．如图③﹣2中，证明∠EA′F＝2∠EAA′即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行．
（2）如图②﹣1中，
由翻折的性质可知，∠3＝∠4，
∵CD∥AB，
∴∠α＝∠3，
∴∠α＝∠4，
∵∠1＝∠2＝65°，
∴∠α＝（180°﹣65°）＝57.5°．
（3）如图③﹣1中，
由翻折可知，EA＝EA′，∠EA′F＝∠DAB＝90°，
∴∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠DEA′＝∠EAA′+∠EA′A＝2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DEA′+∠DA′E＝90°，∠DA′E+∠CA′F＝90°，
∴∠DEA′＝∠CA′F，
∴∠CA′F＝2∠DAA′．
∴∠EAA′＝∠CA′F＝x．
如图③﹣2中，
由翻折可知，EA＝EA′，FA＝FA′，
∴∠EAA′＝∠EA′A，∠FAA′＝∠FA′A，
∵AB∥CD，
∴∠EA′A＝∠FAA′，
∴∠EAA′＝∠AA′F，
∴∠EA′F＝2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F＝180°，
∴2∠EAA′＝180°﹣x，
∴∠EAA′＝90°﹣x．
一.精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣4＝0 B．3x+4y＝1 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝3
2．（3分）下列图形中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用，经测算，一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，用科学记数法表示10粒芝麻的重量为（ ）
A．2.01×10﹣6kg B．2.01×10﹣5kg
C．20.1×10﹣7kg D．20.1×10﹣6kg
4．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．CF∥AB C．CF＝a厘米 D．DE＝a厘米
5．（3分）明明家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则相邻两个月用电量变化最大的是（ ）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
6．（3分）计算（﹣2x2）3的结果是（ ）
A．﹣2x5 B．﹣8x6 C．﹣2x6 D．﹣8x5
7．（3分）如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
8．（3分）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
10．（3分）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
二.用心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．（4分）使分式有意义的x的取值范围为 ．
12．（4分）把多项式2x2﹣18因式分解为 ．
13．（4分）将一副三角板按如图摆放，已知直线l∥直线k，则∠α的度数为 ．
14．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ．
15．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
16．（4分）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 ；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 秒时，PB′∥QC′．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：（）0﹣（﹣）﹣3
（2）化简：x（2x﹣7）+（2x﹣3）（2x+3）
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
20．（8分）“一方有难，八方支援”，某校举行了一次零花钱爱心捐款活动．为了解捐款情况，小慧抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息回答问题：
（1）求n、m的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数．
21．（8分）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
22．（10分）某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：x、y表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式、．如果这两个正数的差等于它们的积，即x﹣y＝xy，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即+＝xy+2．
（1）写出两组符合条件x﹣y＝xy的正数x、y的值．
（2）选（1）中的一组x、y的值，验证兴趣小组发现的结论+＝xy+2．
（3）在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论．
23．（10分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
24．（12分）有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧如图①所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 ；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为65°，请求出∠α的度数．
（3）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A′落在DC边上．若∠CA′F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA′的度数．
2019-2020学年浙江省金华市东阳市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x﹣4＝0 B．3x+4y＝1 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣2xy＝3
【分析】利用二元一次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：A、3x﹣4＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、3x+4y＝1是二元一次方程，故此选项符合题意；
C、x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、x﹣2xy＝3是二元二次方程，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）下列图形中∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：，，∠1与∠2是同位角，
∠1与∠2不是同位角，
故选：D．
3．（3分）芝麻作为食品和药物，均广泛使用，经测算，一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，用科学记数法表示10粒芝麻的重量为（ ）
A．2.01×10﹣6kg B．2.01×10﹣5kg
C．20.1×10﹣7kg D．20.1×10﹣6kg
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，10粒芝麻的重量为0.0000201kg＝2.01×10﹣5kg
故选：B．
4．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．CF∥AB C．CF＝a厘米 D．DE＝a厘米
【分析】利用平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，
∴AC∥DF，CF∥AB，CF＝AD＝BE＝a厘米．
故选：D．
5．（3分）明明家今年1～5月份的用电量情况如图所示，则相邻两个月用电量变化最大的是（ ）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
【分析】根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的用电量的变化值，比较即可得解．
【解答】解：1月至2月，125﹣100＝25千瓦时，
2月至3月，125﹣110＝15千瓦时，
3月至4月，110﹣100＝10千瓦时，
4月至5月，120﹣100＝20千瓦时，
所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是1月至2月．
故选：A．
6．（3分）计算（﹣2x2）3的结果是（ ）
A．﹣2x5 B．﹣8x6 C．﹣2x6 D．﹣8x5
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）3（x2）3＝﹣8x6，
故选：B．
7．（3分）如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【解答】解：北偏西52°．
故选：A．
8．（3分）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：；
故选：B．
9．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解．
【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
又∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4．
故选：A．
10．（3分）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（ ）
A．100 B．125 C．150 D．175
【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为35，宽为15，得出a+b＝35，a﹣b＝15，进而得出图中Ⅱ部分的长和宽，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得出：，
解得：，
故图（2）中Ⅱ部分的面积是：b（a﹣b）＝10×（25﹣10）＝150，
故选：C．
二.用心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．（4分）使分式有意义的x的取值范围为 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行计算即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
12．（4分）把多项式2x2﹣18因式分解为 2（x﹣3）（x+3） ．
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：2x2﹣18，
＝2（x2﹣9），
＝2（x﹣3）（x+3）．
故答案为：2（x﹣3）（x+3）．
13．（4分）将一副三角板按如图摆放，已知直线l∥直线k，则∠α的度数为 15° ．
【分析】延长AB交直线l于C．首先求出∠DCA＝120°，再根据三角形的内角和的知识计算即可．
【解答】解：延长AB交直线l于C．
∵l∥k，
∴∠DCA＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠CBD＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
14．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ﹣3 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ﹣1或0 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，根据原分式方程无解，确定a的值．
【解答】解：去分母，得ax+a＝2a+2，
移项并整理，得ax＝a+2，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝．
∵当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴≠﹣1．
解得，a≠﹣1．
故答案为：﹣1或0．
16．（4分）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为 PB′⊥QC′ ；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 15秒或63秒或135 秒时，PB′∥QC′．
【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【解答】解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算：（）0﹣（﹣）﹣3
（2）化简：x（2x﹣7）+（2x﹣3）（2x+3）
【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）根据单项式乘多项式以及平方差公式化简即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣8）
＝1+8
＝9；
（2）原式＝2x2﹣7x+（2x）2﹣9
＝2x2﹣7x+4x2﹣9
＝6x2﹣7x﹣9．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①×2+②得：7x＝﹣5，
解得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为．
19．（6分）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 分式的基本性质 、 等式的基本性质 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【分析】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
20．（8分）“一方有难，八方支援”，某校举行了一次零花钱爱心捐款活动．为了解捐款情况，小慧抽取了部分同学的捐款数额，并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中信息回答问题：
（1）求n、m的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校捐款额不少于15元的学生人数．
【分析】（1）先由捐款30元的人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念求解可得；
（2）用总人数减去捐款30、20、15、5元的人数，据此可求得捐款10元的人数，即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中捐款30元、20元、15元的人数和所占比例．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为12÷20%＝60（人），
∴m＝×100%＝25%，n＝×100%＝15%；
（2）捐款10元的人数为60﹣（12+15+9+6）＝18（人），
补全条形图如下：
（3）估计全校捐款额不少于15元的学生人数为1200×＝720（人）．
21．（8分）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）已知∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
解：（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝180﹣（∠1+∠2）＝90°＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
22．（10分）某校数学兴趣小组成员在研题时发现一个有趣的现象：x、y表示两个正数，分别把它们作为分子、分母得到两个分式、．如果这两个正数的差等于它们的积，即x﹣y＝xy，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即+＝xy+2．
（1）写出两组符合条件x﹣y＝xy的正数x、y的值．
（2）选（1）中的一组x、y的值，验证兴趣小组发现的结论+＝xy+2．
（3）在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论．
【分析】（1）根据条件取值即可；
（2）根据x、y的值，求出+与xy的值即可判断；
（3）求出+﹣xy的值即可．
【解答】解：（1）x＝2，y＝2或x＝3，y＝；
（2）当x＝2，y＝2时，
∵+＝2，xy＝4，
∴+比xy小2．
（3）∵x+y＝xy，
∴+﹣xy＝＝＝﹣2，
∴+比xy小2．
23．（10分）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
（1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
560
940
第二次
420
1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
（2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【分析】（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；
②由第一次记录，列出方程组，可求解；
（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解．
【解答】解：（1）①第二次记录错误，
理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∴第二次记录有误；
②由题意可得：，
解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：，
解得：x＝3y，
∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
24．（12分）有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小慧如图①所示画了直线l，后量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 同位角相等两直线平行 ；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设∠1为65°，请求出∠α的度数．
（3）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A′落在DC边上．若∠CA′F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA′的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定方法即可解决问题．
（2）如图②﹣1中，证明∠α＝∠4即可解决问题．
（3）分两种情形：如图③﹣1中，证明∠DEA′＝2∠EAA′，∠DEA′＝∠CA′F即可．如图③﹣2中，证明∠EA′F＝2∠EAA′即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行．
（2）如图②﹣1中，
由翻折的性质可知，∠3＝∠4，
∵CD∥AB，
∴∠α＝∠3，
∴∠α＝∠4，
∵∠1＝∠2＝65°，
∴∠α＝（180°﹣65°）＝57.5°．
（3）如图③﹣1中，
由翻折可知，EA＝EA′，∠EA′F＝∠DAB＝90°，
∴∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠DEA′＝∠EAA′+∠EA′A＝2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DEA′+∠DA′E＝90°，∠DA′E+∠CA′F＝90°，
∴∠DEA′＝∠CA′F，
∴∠CA′F＝2∠DAA′．
∴∠EAA′＝∠CA′F＝x．
如图③﹣2中，
由翻折可知，EA＝EA′，FA＝FA′，
∴∠EAA′＝∠EA′A，∠FAA′＝∠FA′A，
∵AB∥CD，
∴∠EA′A＝∠FAA′，
∴∠EAA′＝∠AA′F，
∴∠EA′F＝2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F＝180°，
∴2∠EAA′＝180°﹣x，
∴∠EAA′＝90°﹣x．
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