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2019-2020学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量
C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
4．（3分）用0.0000102科学记数法表示，结果是（ ）
A．1.02×10﹣4 B．1.02×10﹣5 C．1.02×10﹣6 D．10.2×10﹣6
5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
6．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到4个代数恒等式：①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；③（x+2y）2＝x2+4xy+4y2；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形 ．理由是 ．
13．（3分）“五•一”节，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个全等的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）． 经统计，当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人次．
14．（3分）轩轩和凯凯在同一个数学学习小组，在一次数学活动课上，他们各自用一张边长为12cm的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算图中圈出来的三块图形的面积之和为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，E为边AB上一动点（不与A、B点重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条直角边DN与边AC交于点F（不与A、C点重合），分别连接AD、EF，下列结论中正结论是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①BE＝AF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③无论点E、F的位置如何，总有EF＝DF+CF成立；
④四边形AEDF的面积随着点E、F的位置不同发生变化．
三、解答题（本题有8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值．[（x+y）2+（x+y）（x﹣y）]÷（2x），其中x＝﹣1，y＝．
17．（10分）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）在图（1）中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图（2），A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC的值最小．
18．（10分）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数（m）
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数（n）
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率（）
（1）计算并完成表格；
（2）请估计n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到1°）
19．（9分）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
20．（9分）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
21．（9分）端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
23．（11分）乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧．
点C是直线l1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意放，其中直角顶点C与点C重合，过点A作直线l2⊥l1，垂足为点M，过点B作l3⊥l1，垂足为点N．
（1）当直线l2，l3位于点C的异侧时，如图1，线段BN，AM与MN之间的数量关系 （不必说明理由）．
（2）当直线l2，l3位于点C的右侧时，如图2，判断线段BN，AM与MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l2，l3位于点C的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN，AM，MN之间的数量关系．
2019-2020学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项错误；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项正确；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选：C．
2．（3分）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量
C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解答】解：∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵（x﹣8y）（x﹣y）＝x2﹣9xy+8y2，故选项A错误；
∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；
∵﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3﹣x2+x，故选项C错误；
∵（6xy+18x）÷x＝6y+18，故选项D正确；
故选：D．
4．（3分）用0.0000102科学记数法表示，结果是（ ）
A．1.02×10﹣4 B．1.02×10﹣5 C．1.02×10﹣6 D．10.2×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000102＝1.02×10﹣5．
故选：B．
5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵摸到红球是随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵摸到黄球是随机事件，
∴选项B不符合题意；
∵白球和黄球的数量相同，
∴摸到白球与摸到黄球的可能性相等，
∴选项C符合题意；
∵红球比黄球多，
∴摸到红球比摸到黄球的可能性大，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
【分析】根据角平分线的性质得到GM＝CG＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作GM⊥AB于M，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GM⊥AB，
∴GM＝CG＝4，
∴△ABG的面积＝×AB×GM＝20，
故选：B．
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到4个代数恒等式：①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；③（x+2y）2＝x2+4xy+4y2；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】可通过构建长方形，利用长方形的面积的不同形式来验证等式．
【解答】解：观察图形可知，从图中得到4个代数恒等式：
①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．
故选：C．
9．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即∠QAE＝∠PAE．
故选：A．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别判断点P在各条线段上面积的变化情形即可判断．
【解答】解：当点P在线段AD上时，面积是逐渐增大的，
当点P在线段DE上时，面积是定值不变，
当点P在线段EF上时，面积是逐渐减小的，
当点P在线段FG上时，面积是定值不变，
当点P在线段GB上时，面积是逐渐减小的，
综上所述，选项B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ 2021 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2020+1＝2021．
故答案为：2021．
12．（3分）如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形 △ABC≌△CDA ．理由是 在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SSS） ．
【分析】利用“SSS”可证明△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠CAD，则可利用“SAS”可判断△ADE≌△CBF，则DE＝BF，再证明AF＝CE，然后根据”SSS“可判断△CDE≌△ABF．
【解答】解：在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∵AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，AE＝CF．
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
∴DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
∵DE＝BF，CE＝AF，CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF（SSS）．
故答案为△ABC≌△CDA；在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（SSS），
13．（3分）“五•一”节，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个全等的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）． 经统计，当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 1600 人次．
【分析】由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答．
【解答】解：根据题意可知，有的机会获得一、二等奖；
当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为：
600÷＝600×＝1600（人）．
故答案为1600．
14．（3分）轩轩和凯凯在同一个数学学习小组，在一次数学活动课上，他们各自用一张边长为12cm的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算图中圈出来的三块图形的面积之和为 36cm2 ．
【分析】由七巧板的制作过程可知，这只小猫的头部是用正方形的四分之一拼成的，所以面积是正方形面积的四分之一．
【解答】解：如图：
圈出来的三块图形的面积分别为a、b、c，在右图中三角形h的一半与b全等，而由图中a+c+h的一半正好是正方形的四分之一，即阴影部分的面积是×12×12cm2＝36cm2，
故答案为：36cm2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，E为边AB上一动点（不与A、B点重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条直角边DN与边AC交于点F（不与A、C点重合），分别连接AD、EF，下列结论中正结论是 ①② ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①BE＝AF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③无论点E、F的位置如何，总有EF＝DF+CF成立；
④四边形AEDF的面积随着点E、F的位置不同发生变化．
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，
∵∠MDN＝90°＝∠ADB，
∴∠BDE＝∠ADF，且BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，
∴S△BDE+S△ADE＝S△ADF+S△ADE，
∴四边形AEDF的面积＝S△ABD＝S△ABC，
故①符合题意，④不符合题意，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故②符合题意，
当点F在AC中点时，可得EF＝BC＝AD，DF+CF＝AC，
∵AD≠AC，
故③不合题意，
故答案为①②．
三、解答题（本题有8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值．[（x+y）2+（x+y）（x﹣y）]÷（2x），其中x＝﹣1，y＝．
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[x2+2xy+y2+x2﹣y2]÷2x
＝[2x2+2xy]÷2x
＝x+y，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣1+＝﹣．
17．（10分）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）在图（1）中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图（2），A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC的值最小．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点直线MN对称的对称点位置，再连接即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
（3）首先确定C关于MN的对称点C′，然后再连接AC′，AC′与MN的交点D就应是B点位置．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积：3×5﹣3×3﹣×2×2﹣×1×5＝6；
（3）如图所示：点B应在D点位置．
18．（10分）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数（m）
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数（n）
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率（）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
（1）计算并完成表格；
（2）请估计n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到1°）
【分析】（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【解答】解：（1）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
故答案为：0.68，0.74．，0.68，0.69，0.705，0.701；
（2）当n很大时，频率将会接近0.7，
（3）获得洗衣粉的概率约是0.3，
（4）扇形的圆心角约是0.7×360°＝252°．
19．（9分）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
【分析】（1）根据图表可以知道：电话费随时间的变化而变化，因而打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）费用＝单价×时间，即可写出解析式；
（3）把x＝25代入解析式即可求得；
（4）在解析式中令y＝54即可求得x的值．
【解答】解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）由题意可得：y＝0.36x；
（3）当x＝25时，y＝0.36×25＝9（元），即如果打电话超出25分钟，需付186+9＝195（元）的电话费；
（4）当y＝54时，x＝＝150（分钟）．
答：小明的爸爸打电话超出150分钟．
20．（9分）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：如图，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离．
证明：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB．
∴量出DE的长，就是A、B两点间的距离．
21．（9分）端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 1000 米， 乙 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得比赛的路程，根据函数图象的横坐标，可得比赛的结果；
（2）根据乙加速后行驶的路程除以加速后的时间，可得答案；
（3）分类讨论，0≤x≤2.2，x＞2.2，乙加速后，根据甲的路程减去乙的路程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米，
由横坐标看出，乙队先到达终点．
故答案为：1000，乙；
（2）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000﹣400＝600米，加速后的时间时3.8﹣2.2＝1.6分钟，
乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6＝375米/分钟；
（3）①0≤x≤2.2时，设行驶x分钟时，甲乙相距100米，
x﹣x＝100，
解得x＝；
②乙加速后，设行驶x分钟时，甲乙相距100米，
∵×2.2＝550，
∴x﹣x＝550﹣400﹣100．
解得x＝0.4，
∴行驶了2.2+0.4＝2.6，
答：在乙队与甲相遇之前，他们行驶分钟或2.6分钟时相距100米．
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【分析】根据∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，求得∠BCE＝∠DAC，利用角边角定理可证得△ACD≌△CBE，得出CE＝AD，BE＝CD＝CE﹣DE，将已知数值代入即可求得答案．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
∴CE＝AD＝2.5cm，BE＝DC，
∴DC＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8cm
∴BE＝0.8cm．
23．（11分）乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧．
点C是直线l1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意放，其中直角顶点C与点C重合，过点A作直线l2⊥l1，垂足为点M，过点B作l3⊥l1，垂足为点N．
（1）当直线l2，l3位于点C的异侧时，如图1，线段BN，AM与MN之间的数量关系 MN＝AM+BN （不必说明理由）．
（2）当直线l2，l3位于点C的右侧时，如图2，判断线段BN，AM与MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l2，l3位于点C的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN，AM，MN之间的数量关系．
【分析】（1）利用AAS定理证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（2）根据直角三角形的性质得到∠CAM＝∠BCN，证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（3）根据题意画出图形，仿照（2）的作法证明．
【解答】解：（1）MN＝AM+BN．
理由如下：∵∠BNC＝∠BCA＝90°，
∴∠NBC＝∠MCA，
在△NBC和△MCA中，
，
∴△NBC≌△MCA，
∴BN＝CM，CN＝AM，
∴MN＝CN+CM＝AM+BN，
故答案为：MN＝AM+BN；
（2）MN＝BN﹣AM，
理由如下：如图2．∵l2⊥l1，l3⊥l1．
∴∠BNC＝∠CMA＝90°．
∴∠ACM+∠CAM＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°．
∴∠CAM＝∠BCN．
在△CBN和△ACM中，
，
∴△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN＝CM，NC＝AM，
∴MN＝CM﹣CN＝BN﹣AM；
（3）补全图形，如图3．
由（2）得，△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN＝CM，NC＝AM
结论：MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量
C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
4．（3分）用0.0000102科学记数法表示，结果是（ ）
A．1.02×10﹣4 B．1.02×10﹣5 C．1.02×10﹣6 D．10.2×10﹣6
5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
6．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到4个代数恒等式：①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；③（x+2y）2＝x2+4xy+4y2；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形 ．理由是 ．
13．（3分）“五•一”节，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个全等的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）． 经统计，当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人次．
14．（3分）轩轩和凯凯在同一个数学学习小组，在一次数学活动课上，他们各自用一张边长为12cm的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算图中圈出来的三块图形的面积之和为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，E为边AB上一动点（不与A、B点重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条直角边DN与边AC交于点F（不与A、C点重合），分别连接AD、EF，下列结论中正结论是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①BE＝AF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③无论点E、F的位置如何，总有EF＝DF+CF成立；
④四边形AEDF的面积随着点E、F的位置不同发生变化．
三、解答题（本题有8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值．[（x+y）2+（x+y）（x﹣y）]÷（2x），其中x＝﹣1，y＝．
17．（10分）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）在图（1）中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图（2），A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC的值最小．
18．（10分）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数（m）
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数（n）
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率（）
（1）计算并完成表格；
（2）请估计n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到1°）
19．（9分）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
20．（9分）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
21．（9分）端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
23．（11分）乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧．
点C是直线l1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意放，其中直角顶点C与点C重合，过点A作直线l2⊥l1，垂足为点M，过点B作l3⊥l1，垂足为点N．
（1）当直线l2，l3位于点C的异侧时，如图1，线段BN，AM与MN之间的数量关系 （不必说明理由）．
（2）当直线l2，l3位于点C的右侧时，如图2，判断线段BN，AM与MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l2，l3位于点C的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN，AM，MN之间的数量关系．
2019-2020学年河南省平顶山市郏县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项错误；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项正确；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选：C．
2．（3分）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量
C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解答】解：∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵（x﹣8y）（x﹣y）＝x2﹣9xy+8y2，故选项A错误；
∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；
∵﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3﹣x2+x，故选项C错误；
∵（6xy+18x）÷x＝6y+18，故选项D正确；
故选：D．
4．（3分）用0.0000102科学记数法表示，结果是（ ）
A．1.02×10﹣4 B．1.02×10﹣5 C．1.02×10﹣6 D．10.2×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000102＝1.02×10﹣5．
故选：B．
5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵摸到红球是随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵摸到黄球是随机事件，
∴选项B不符合题意；
∵白球和黄球的数量相同，
∴摸到白球与摸到黄球的可能性相等，
∴选项C符合题意；
∵红球比黄球多，
∴摸到红球比摸到黄球的可能性大，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE、AD，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．20 C．30 D．40
【分析】根据角平分线的性质得到GM＝CG＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作GM⊥AB于M，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GM⊥AB，
∴GM＝CG＝4，
∴△ABG的面积＝×AB×GM＝20，
故选：B．
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到4个代数恒等式：①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；③（x+2y）2＝x2+4xy+4y2；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】可通过构建长方形，利用长方形的面积的不同形式来验证等式．
【解答】解：观察图形可知，从图中得到4个代数恒等式：
①x（x+y）＝x2+xy；②x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）；④x2+2xy+y2＝（x+y）2．
故选：C．
9．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即∠QAE＝∠PAE．
故选：A．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中剪去一个边长为2的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿多边形的边以A→D→E→F→G→B的路线匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别判断点P在各条线段上面积的变化情形即可判断．
【解答】解：当点P在线段AD上时，面积是逐渐增大的，
当点P在线段DE上时，面积是定值不变，
当点P在线段EF上时，面积是逐渐减小的，
当点P在线段FG上时，面积是定值不变，
当点P在线段GB上时，面积是逐渐减小的，
综上所述，选项B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ 2021 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2020+1＝2021．
故答案为：2021．
12．（3分）如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形 △ABC≌△CDA ．理由是 在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SSS） ．
【分析】利用“SSS”可证明△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠CAD，则可利用“SAS”可判断△ADE≌△CBF，则DE＝BF，再证明AF＝CE，然后根据”SSS“可判断△CDE≌△ABF．
【解答】解：在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∵AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，AE＝CF．
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
∴DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
∵DE＝BF，CE＝AF，CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF（SSS）．
故答案为△ABC≌△CDA；在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（SSS），
13．（3分）“五•一”节，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个全等的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）． 经统计，当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 1600 人次．
【分析】由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答．
【解答】解：根据题意可知，有的机会获得一、二等奖；
当天发放一、二等奖奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为：
600÷＝600×＝1600（人）．
故答案为1600．
14．（3分）轩轩和凯凯在同一个数学学习小组，在一次数学活动课上，他们各自用一张边长为12cm的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算图中圈出来的三块图形的面积之和为 36cm2 ．
【分析】由七巧板的制作过程可知，这只小猫的头部是用正方形的四分之一拼成的，所以面积是正方形面积的四分之一．
【解答】解：如图：
圈出来的三块图形的面积分别为a、b、c，在右图中三角形h的一半与b全等，而由图中a+c+h的一半正好是正方形的四分之一，即阴影部分的面积是×12×12cm2＝36cm2，
故答案为：36cm2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，E为边AB上一动点（不与A、B点重合），以点D为直角顶点、以射线DE为一边作∠MDN＝90°，另一条直角边DN与边AC交于点F（不与A、C点重合），分别连接AD、EF，下列结论中正结论是 ①② ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①BE＝AF；
②△DEF是等腰直角三角形；
③无论点E、F的位置如何，总有EF＝DF+CF成立；
④四边形AEDF的面积随着点E、F的位置不同发生变化．
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC．点D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，
∵∠MDN＝90°＝∠ADB，
∴∠BDE＝∠ADF，且BD＝AD，∠B＝∠DAF＝45°，
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴BE＝AF，DE＝DF，S△BDE＝S△ADF，
∴S△BDE+S△ADE＝S△ADF+S△ADE，
∴四边形AEDF的面积＝S△ABD＝S△ABC，
故①符合题意，④不符合题意，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故②符合题意，
当点F在AC中点时，可得EF＝BC＝AD，DF+CF＝AC，
∵AD≠AC，
故③不合题意，
故答案为①②．
三、解答题（本题有8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值．[（x+y）2+（x+y）（x﹣y）]÷（2x），其中x＝﹣1，y＝．
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[x2+2xy+y2+x2﹣y2]÷2x
＝[2x2+2xy]÷2x
＝x+y，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣1+＝﹣．
17．（10分）如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）在图（1）中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图（2），A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC的值最小．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点直线MN对称的对称点位置，再连接即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
（3）首先确定C关于MN的对称点C′，然后再连接AC′，AC′与MN的交点D就应是B点位置．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积：3×5﹣3×3﹣×2×2﹣×1×5＝6；
（3）如图所示：点B应在D点位置．
18．（10分）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数（m）
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数（n）
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率（）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
（1）计算并完成表格；
（2）请估计n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到1°）
【分析】（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【解答】解：（1）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率m/n
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
故答案为：0.68，0.74．，0.68，0.69，0.705，0.701；
（2）当n很大时，频率将会接近0.7，
（3）获得洗衣粉的概率约是0.3，
（4）扇形的圆心角约是0.7×360°＝252°．
19．（9分）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
【分析】（1）根据图表可以知道：电话费随时间的变化而变化，因而打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）费用＝单价×时间，即可写出解析式；
（3）把x＝25代入解析式即可求得；
（4）在解析式中令y＝54即可求得x的值．
【解答】解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）由题意可得：y＝0.36x；
（3）当x＝25时，y＝0.36×25＝9（元），即如果打电话超出25分钟，需付186+9＝195（元）的电话费；
（4）当y＝54时，x＝＝150（分钟）．
答：小明的爸爸打电话超出150分钟．
20．（9分）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：如图，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离．
证明：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB．
∴量出DE的长，就是A、B两点间的距离．
21．（9分）端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 1000 米， 乙 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得比赛的路程，根据函数图象的横坐标，可得比赛的结果；
（2）根据乙加速后行驶的路程除以加速后的时间，可得答案；
（3）分类讨论，0≤x≤2.2，x＞2.2，乙加速后，根据甲的路程减去乙的路程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米，
由横坐标看出，乙队先到达终点．
故答案为：1000，乙；
（2）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000﹣400＝600米，加速后的时间时3.8﹣2.2＝1.6分钟，
乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6＝375米/分钟；
（3）①0≤x≤2.2时，设行驶x分钟时，甲乙相距100米，
x﹣x＝100，
解得x＝；
②乙加速后，设行驶x分钟时，甲乙相距100米，
∵×2.2＝550，
∴x﹣x＝550﹣400﹣100．
解得x＝0.4，
∴行驶了2.2+0.4＝2.6，
答：在乙队与甲相遇之前，他们行驶分钟或2.6分钟时相距100米．
22．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【分析】根据∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，求得∠BCE＝∠DAC，利用角边角定理可证得△ACD≌△CBE，得出CE＝AD，BE＝CD＝CE﹣DE，将已知数值代入即可求得答案．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
∴CE＝AD＝2.5cm，BE＝DC，
∴DC＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8cm
∴BE＝0.8cm．
23．（11分）乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧．
点C是直线l1上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意放，其中直角顶点C与点C重合，过点A作直线l2⊥l1，垂足为点M，过点B作l3⊥l1，垂足为点N．
（1）当直线l2，l3位于点C的异侧时，如图1，线段BN，AM与MN之间的数量关系 MN＝AM+BN （不必说明理由）．
（2）当直线l2，l3位于点C的右侧时，如图2，判断线段BN，AM与MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l2，l3位于点C的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN，AM，MN之间的数量关系．
【分析】（1）利用AAS定理证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（2）根据直角三角形的性质得到∠CAM＝∠BCN，证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（3）根据题意画出图形，仿照（2）的作法证明．
【解答】解：（1）MN＝AM+BN．
理由如下：∵∠BNC＝∠BCA＝90°，
∴∠NBC＝∠MCA，
在△NBC和△MCA中，
，
∴△NBC≌△MCA，
∴BN＝CM，CN＝AM，
∴MN＝CN+CM＝AM+BN，
故答案为：MN＝AM+BN；
（2）MN＝BN﹣AM，
理由如下：如图2．∵l2⊥l1，l3⊥l1．
∴∠BNC＝∠CMA＝90°．
∴∠ACM+∠CAM＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°．
∴∠CAM＝∠BCN．
在△CBN和△ACM中，
，
∴△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN＝CM，NC＝AM，
∴MN＝CM﹣CN＝BN﹣AM；
（3）补全图形，如图3．
由（2）得，△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN＝CM，NC＝AM
结论：MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
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