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2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲、乙两人成绩的稳定性相同
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．22.5°
5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．8和9 B．7和9 C．9和7 D．7和8.5
6．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（ ）
A．82分 B．86分 C．85分 D．84分
7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＜2 D．m＞0
9．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）
A．16 B．16 C．20 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若实数a、b满足，则＝ ．
12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是 ．
13．（3分）方程组 的解为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣；
（2）÷﹣×+．
17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 ；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；
（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 时，四边形BCEF是菱形．
21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 ，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为 ．（直接写出答案）
23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
2．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据合并同类二次根式法则、二次根式的性质和平方差公式依此计算可得．
【解答】解：①与不是同类二次根式，不能合并，此式计算错误；
②（）2＝2，此式计算正确；
③5﹣＝4，此式计算错误；
④（+）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，此式计算正确；
故选：B．
3．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲、乙两人成绩的稳定性相同
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可判断．
【解答】解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：C．
4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．22.5°
【分析】根据正方形的性质，可以得到∠ACB和∠CAB的度数，再根据AC＝AE，可以得到∠ACE和∠AEC的度数，然后即可得到∠BCE的度数．
【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：D．
5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．8和9 B．7和9 C．9和7 D．7和8.5
【分析】根据众数和算术平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为7，7，7，8，8，9，9，10，11，14，
所以这组数据的众数为7，平均数为＝9，
故选：B．
6．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（ ）
A．82分 B．86分 C．85分 D．84分
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×20%+80×40%+85×40%＝84（分）；
答：这个人的面试成绩是84分．
故选：D．
7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
【分析】根据D、E、F分别是△ABC各边的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF＝AC，即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
∴HF＝AC＝6cm．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＜2 D．m＞0
【分析】先根据x1＜x2时，y1＜y2，得到y随x的增大而增大，所以x的比例系数大于0，那么2m﹣1＞0，解不等式即可求解．
【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2
∴y随x的增大而增大
∴2m﹣1＞0，
∴m＞．
故选：B．
9．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2OD＝2，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝2OD＝2，
∴OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）
A．16 B．16 C．20 D．4
【分析】连接MB交AC于N，此时DN+MN最小，先证明这个最小值就是线段BM的长，利用勾股定理就是即可解决问题．
【解答】解：如图，连接MB交AC于N，此时DN+MN最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴DN＝BN，
∴DN+MN＝BN+NM＝BM，
在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，
∴BM＝．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若实数a、b满足，则＝ ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝﹣．
故答案是：﹣．
12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是 5.5元 ．
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为：3，5，5，5，6，6，6，10，
所以这组数据的中位数为＝5.5（元），
故答案为：5.5元．
13．（3分）方程组 的解为 ．
【分析】由图象可知，一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），所以方程组 的解为．
【解答】解：∵一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），
∴方程组 的解为．
故答案为．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为 8 ．
【分析】连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，先证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，
在Rt△AOB中，OA＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案为8．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为 或 ．
【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．
设DE＝a，则D′E＝a．
∵矩形ABCD有两条对称轴，
∴分两种情况考虑：
①当DM＝CM时，
AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，
由勾股定理可知：
ND′＝＝3，
∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，
∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，
解得：a＝；
②当MD′＝ND′时，
MD′＝ND′＝MN＝AD＝，
由勾股定理可知：
AN＝＝，
∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，
∵ED′2＝EM2+MD′2，即，
解得：a＝．
综上知：DE＝或．
故答案为：或．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣；
（2）÷﹣×+．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先计算二次根式的乘除运算、化简二次根式，再计算加减运算可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3＝﹣；
（2）原式＝﹣+2
＝4+．
17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得BD长，那么根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．
【解答】解：作AB⊥L于B，则AB＝30m，AD＝50m．
∴BD＝40m．
设CD＝x，则CB＝40﹣x，
x2＝（40﹣x）2+302，
x2＝1600+x2﹣80x+302，
80x＝2500，
x≈31，
答：商店C与公交站D之间的距离约为31米．
18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 3本 ；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【分析】（1）先由读1本书的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以读4本书的百分比可得其人数，用读3本书人数除以总人数可得其百分比，据此可补全统计图，最后根据中位数的定义可得答案；
（2）根据加权平均数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中四月份“读书量”为5本的学生人数所占比例可得答案．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为3÷5%＝60（人），
∴读书4本的人数为60×20%＝12（人），读3本书的人数所占百分比为×100%＝35%，
∵共有60个数据，其中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均为3本，
∴中位数为＝3（本），
故答案为：3本．
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为＝3.6（本）；
（3）估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为600×＝60（人）．
19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；
（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入y1＝ax+2可求出a的值；
（2）设C（t，t﹣1），利用两点间的距离公式得到（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，然后解方程可得到点C的坐标；
（3）先确定一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），然后结合函数图象，写出x轴上且直线y＝x﹣1在直线y＝﹣x+2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y1＝ax+2得2a+2＝1，解得a＝﹣；
（2）设C（t，t﹣1），
∵A（2，1），AC＝2，
∴（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，解得t1＝0，t2＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣1）或（4，3）；
（3）当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），
∴当2＜x＜4时，y2＞y1＞0．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 时，四边形BCEF是菱形．
【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，由三角形DEF的面积求出EG的长，根据勾股定理求出FG的长，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：如图，连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，
∴DF＝＝＝10，
∴S△DEF＝EF×DE，
∴EG＝＝，
∴FG＝CG＝＝＝，
∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．
故答案为：．
21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据3部A型号手机和2部B型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部B型号手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；
（2）①根据：每类手机利润＝单部手机利润×部数，总利润＝A型手机利润+B型手机利润，得函数关系式．注意a的取值范围．
②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得
解得
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a∴a≥
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 BC⊥CF ，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为 CF+CD＝BC ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为 ．（直接写出答案）
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；
（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∵BD+CD＝BC，
∴CF+CD＝BC；
故答案为：CF⊥BC，CF+CD＝BC．
（2）结论：CF⊥BC，CF﹣CD＝BC．
理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∴BC+CD＝CF，
∴CF﹣CD＝BC；
（3）如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵OD＝OF，
∴DF＝2OC＝13，
∴Rt△CDF中，CD＝＝＝12，
∴BC＝DC﹣BD＝12﹣5＝7，
∴AB＝AC＝，
∴S△ABC＝××＝．
23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 （，0） ，点C的坐标为 （0，﹣1） ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；
（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．
【解答】解：（1）将D（1，﹣）代入y＝x+n，解得n＝﹣3，
即y＝x﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0．
解得x＝，
即B点坐标为（，0）；
将（1，﹣）代入y＝﹣x+m，解得m＝﹣1，
即y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
即C点坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（，0），（0，﹣1）；
（2）如图1，
S△BDP＝（t﹣）×|﹣|＝，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣，即E点坐标为（﹣，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE＝（t+）×﹣×（t+）×|﹣1|＝，
由△BDP和△CDP的面积相等，
得：＝+，
解得t＝5.2；
（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，
点M1在y轴的左侧，不符合题意，
过M2作M2A⊥y轴于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，
过M4作M4E⊥x轴于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲、乙两人成绩的稳定性相同
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．22.5°
5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．8和9 B．7和9 C．9和7 D．7和8.5
6．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（ ）
A．82分 B．86分 C．85分 D．84分
7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＜2 D．m＞0
9．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）
A．16 B．16 C．20 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若实数a、b满足，则＝ ．
12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是 ．
13．（3分）方程组 的解为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣；
（2）÷﹣×+．
17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 ；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；
（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 时，四边形BCEF是菱形．
21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 ，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为 ．（直接写出答案）
23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
2．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据合并同类二次根式法则、二次根式的性质和平方差公式依此计算可得．
【解答】解：①与不是同类二次根式，不能合并，此式计算错误；
②（）2＝2，此式计算正确；
③5﹣＝4，此式计算错误；
④（+）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，此式计算正确；
故选：B．
3．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲、乙两人成绩的稳定性相同
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可判断．
【解答】解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：C．
4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．22.5°
【分析】根据正方形的性质，可以得到∠ACB和∠CAB的度数，再根据AC＝AE，可以得到∠ACE和∠AEC的度数，然后即可得到∠BCE的度数．
【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：D．
5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．8和9 B．7和9 C．9和7 D．7和8.5
【分析】根据众数和算术平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为7，7，7，8，8，9，9，10，11，14，
所以这组数据的众数为7，平均数为＝9，
故选：B．
6．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（ ）
A．82分 B．86分 C．85分 D．84分
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×20%+80×40%+85×40%＝84（分）；
答：这个人的面试成绩是84分．
故选：D．
7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（ ）
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
【分析】根据D、E、F分别是△ABC各边的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF＝AC，即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
∴HF＝AC＝6cm．
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＜2 D．m＞0
【分析】先根据x1＜x2时，y1＜y2，得到y随x的增大而增大，所以x的比例系数大于0，那么2m﹣1＞0，解不等式即可求解．
【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2
∴y随x的增大而增大
∴2m﹣1＞0，
∴m＞．
故选：B．
9．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2OD＝2，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝2OD＝2，
∴OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）
A．16 B．16 C．20 D．4
【分析】连接MB交AC于N，此时DN+MN最小，先证明这个最小值就是线段BM的长，利用勾股定理就是即可解决问题．
【解答】解：如图，连接MB交AC于N，此时DN+MN最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴DN＝BN，
∴DN+MN＝BN+NM＝BM，
在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，
∴BM＝．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若实数a、b满足，则＝ ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝﹣．
故答案是：﹣．
12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是 5.5元 ．
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为：3，5，5，5，6，6，6，10，
所以这组数据的中位数为＝5.5（元），
故答案为：5.5元．
13．（3分）方程组 的解为 ．
【分析】由图象可知，一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），所以方程组 的解为．
【解答】解：∵一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），
∴方程组 的解为．
故答案为．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为 8 ．
【分析】连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，先证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，
在Rt△AOB中，OA＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案为8．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为 或 ．
【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．
设DE＝a，则D′E＝a．
∵矩形ABCD有两条对称轴，
∴分两种情况考虑：
①当DM＝CM时，
AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，
由勾股定理可知：
ND′＝＝3，
∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，
∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，
解得：a＝；
②当MD′＝ND′时，
MD′＝ND′＝MN＝AD＝，
由勾股定理可知：
AN＝＝，
∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，
∵ED′2＝EM2+MD′2，即，
解得：a＝．
综上知：DE＝或．
故答案为：或．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）3﹣+﹣；
（2）÷﹣×+．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先计算二次根式的乘除运算、化简二次根式，再计算加减运算可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3＝﹣；
（2）原式＝﹣+2
＝4+．
17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得BD长，那么根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．
【解答】解：作AB⊥L于B，则AB＝30m，AD＝50m．
∴BD＝40m．
设CD＝x，则CB＝40﹣x，
x2＝（40﹣x）2+302，
x2＝1600+x2﹣80x+302，
80x＝2500，
x≈31，
答：商店C与公交站D之间的距离约为31米．
18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 3本 ；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【分析】（1）先由读1本书的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以读4本书的百分比可得其人数，用读3本书人数除以总人数可得其百分比，据此可补全统计图，最后根据中位数的定义可得答案；
（2）根据加权平均数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中四月份“读书量”为5本的学生人数所占比例可得答案．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为3÷5%＝60（人），
∴读书4本的人数为60×20%＝12（人），读3本书的人数所占百分比为×100%＝35%，
∵共有60个数据，其中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均为3本，
∴中位数为＝3（本），
故答案为：3本．
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为＝3.6（本）；
（3）估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为600×＝60（人）．
19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；
（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入y1＝ax+2可求出a的值；
（2）设C（t，t﹣1），利用两点间的距离公式得到（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，然后解方程可得到点C的坐标；
（3）先确定一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），然后结合函数图象，写出x轴上且直线y＝x﹣1在直线y＝﹣x+2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y1＝ax+2得2a+2＝1，解得a＝﹣；
（2）设C（t，t﹣1），
∵A（2，1），AC＝2，
∴（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，解得t1＝0，t2＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣1）或（4，3）；
（3）当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），
∴当2＜x＜4时，y2＞y1＞0．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 时，四边形BCEF是菱形．
【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，由三角形DEF的面积求出EG的长，根据勾股定理求出FG的长，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：如图，连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，
∴DF＝＝＝10，
∴S△DEF＝EF×DE，
∴EG＝＝，
∴FG＝CG＝＝＝，
∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．
故答案为：．
21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据3部A型号手机和2部B型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部B型号手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；
（2）①根据：每类手机利润＝单部手机利润×部数，总利润＝A型手机利润+B型手机利润，得函数关系式．注意a的取值范围．
②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得
解得
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a∴a≥
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 BC⊥CF ，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为 CF+CD＝BC ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为 ．（直接写出答案）
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；
（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∵BD+CD＝BC，
∴CF+CD＝BC；
故答案为：CF⊥BC，CF+CD＝BC．
（2）结论：CF⊥BC，CF﹣CD＝BC．
理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∴BC+CD＝CF，
∴CF﹣CD＝BC；
（3）如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵OD＝OF，
∴DF＝2OC＝13，
∴Rt△CDF中，CD＝＝＝12，
∴BC＝DC﹣BD＝12﹣5＝7，
∴AB＝AC＝，
∴S△ABC＝××＝．
23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．
（1）则点B的坐标为 （，0） ，点C的坐标为 （0，﹣1） ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；
（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．
【解答】解：（1）将D（1，﹣）代入y＝x+n，解得n＝﹣3，
即y＝x﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0．
解得x＝，
即B点坐标为（，0）；
将（1，﹣）代入y＝﹣x+m，解得m＝﹣1，
即y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
即C点坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（，0），（0，﹣1）；
（2）如图1，
S△BDP＝（t﹣）×|﹣|＝，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣，即E点坐标为（﹣，0），
S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE＝（t+）×﹣×（t+）×|﹣1|＝，
由△BDP和△CDP的面积相等，
得：＝+，
解得t＝5.2；
（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，
点M1在y轴的左侧，不符合题意，
过M2作M2A⊥y轴于A，
∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，
∴∠ACM2＝∠OPC，
∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，
∴△POC≌△CAM2（AAS），
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，
∴M2（1，﹣6.2）；
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，
过M4作M4E⊥x轴于E，
同理得△COP≌△PEM4，
∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，
∴M4（6.2，﹣5.2），
同理得M3（4.2，5.2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
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