广东省仲元中学中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考 数学（含答案） 试卷

广东省仲元中学、中山一中等七校联合体

2021届高三上学期第一次联考 数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合,则满足的集合B的个数是(　　)

A．1           B．3            C．4             D．8

2.已知(　　)

A . B．C．D．

3.设点是函数的图象C的一个对称中心，若点到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是(　　)

A．　　　　B. 　　　　C. 　　　          D.

4.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则(　　)

A．（）       B．（）        C．（）       D．（）

5.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)

A．－540     （B）－162        C．162        （D）540

6.已知是周期为2的奇函数，当时，设（　　）

A．　　　 B．　　

C．　　　D．

7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为(　　)

A．  1      B． C． D．2

8．有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运D箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（　　）

A．168           B． 84             　C．56           D． 42

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分。

9.下列四个条件中，是的充分条件的是（　　）

Ａ．，

B．为双曲线，  

C．，

Ｄ．，

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）

A．                     B．

C．的最大值为             D．的最大值为

11．如图,在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）

A．四点共面

B．平面

C．直线与所成角的为

D．平面平面

12．四边形内接于圆，，下列结论正确的有（）

A．四边形为梯形

B．四边形的面积为 

C．圆的直径为7               

D．的三边长度可以构成一个等差数列

第Ⅱ卷

三、填空题:本题共4小题每小题5分，其中第16题共两空答对一空得3分，答对两空得5分

13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为______

14.若随机变量______________

15.设函数.若是偶函数，则__________。

16．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，则球的半径等于________  ,球的表面积等于__________．

四、解答题:本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分)

已知等差数列的前项和为

（1）求的值；

（2）若的等差中项为14，且满足，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

如图,是直角斜边上一点,,记

(1)  求的值.

(2)  若,求的值.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且

（1）求证：对任意的，都有

（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w..c.o.m 

20.（本小题满分12分）

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(1)  求、的概率分布和数学期望、;

(2)  当时,求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，离心率为。

(1)求椭圆的方程；

（2)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

22．（本小题满分12分）

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.

七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月）

数学答案

第Ⅰ卷选择题

详细答案

1、解析，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。

2、解析：，由、是实数，得

∴，故选择A。

4、解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝，选B

5.解析：若的展开式中各项系数之和为=64，，则展开式的常数项为=－540，选A.

6.解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.

7.解析因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．

因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线的导数，

令y′＝1，可得x＝1或 (舍去)，所以在曲线与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,0)，

所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选：B

8．分两类：①甲运D箱，有种；②甲不运D箱，有。

不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。

9.解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充分条件，不是必要条件；C. p是q的充要条件；D.必要不充分  答案BC

10.答案AD由题意得

11.答案CD  (1)由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

(2)平面，显然与平面不平行，故B错误；

(3)取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

(4)由题意平面，故平面平面，故D正确；

12.答案ABD【解析】

可证

显然不平行即四边形为梯形，故正确；

在中由余弦定理可得

解得或（舍去）

故B正确

在中由余弦定理可得

圆的直径不可能是，故C错误；

在中，，，，满足

的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；

第Ⅱ卷非选择题

13、解：双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，

14解：随机变量所以正态曲线关于对称

所以

15、解析：，则=

为偶函数，∴ .

16、 的外接圆半径为，球的半径为，表面积为

17、解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分10分.

解法：当时，···········1分

···········2分

是等差数列,

············4分

(Ⅱ)解：,是等差数列,

···········6分

又··········8分

即是等比数列.

所以数列的前项和···········10

18解：（1）

···········3分

··········6分

(2)在中，根据正弦定理

若AC=DC··········8分

由（1）得

··········10分

又因为在直角△ABC中··········11分

··········12分

19证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

     图2所示的空间直角坐标系，则

     D（0，0，0），,B（，，0），C（0，，0），E（0，0），

， 

     即。·········4分

（2）由（I）得.

设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得

·········6分

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.

.·········10分

.

          由于，解得，即为所求。         ·········12分

（解法二）证明：如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE·········4分

（Ⅱ）如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=。

在Rt△BDE中， BD=2a，DE=， ，

在Rt△ADE中,

从而

在中，.

由，解得，即为所求.

20【(I)解法1: 的概率分布为

E=1.2+1.18+1.17=1.18.·········2分

由题设得,则的概率分布为

故的概率分布为

所以的数学期望为

E=++=.·········8分

(II)  由,得:

因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.·········12分

解法2: 的概率分布同解法一； 的概率分布解法如下

设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布为

所以的数学期望为

E=++=.

21解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得

∴所求椭圆方程为 .·········4分

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

解法1：令，  则

   当且仅当即时，   

   此时. 所以，所求直线方程为········12分

解法2：对两边平方整理得：（*）

  ∵，

    整理得：

  又，   从而的最大值为，

此时代入方程（*）得 

所以，所求直线方程为：.

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，

  由解法一知且，

  解法1： =

     .

   下同解法一.

  解法2：=

 下同解法一.·········12分

22【解析】（1）.

①当时，恒成立，所以在单调递增。

②当时，令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

③当时令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.·········6分

（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，，

令，得；令，得.

所以，所以.取，

则，即，

所以.

设，因为，，所以方程必有解，

所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，·········12分