必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试优秀教案

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]





指数的运算


【例1】 化简：(1)( eq \r(8)) eq \s\up6(－ eq \f(2,3))×( eq \r(3,102)) eq \s\up6(\f(9,2))÷ eq \r(105)；


(2)( eq \r(3,\r(6,a9)))4( eq \r(6,\r(3,a9)))4


[解] (1)原式＝(2 eq \s\up6(\f(3,2))) eq \s\up6(－ eq \f(2,3))×(10 eq \s\up6(\f(2,3))) eq \s\up6(\f(9,2))÷10 eq \s\up6(\f(5,2))＝2－1×103×10 eq \s\up6(－ eq \f(5,2))＝2－1×10 eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \f(\r(10),2).


(2)原式＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a9))\s\up6(\f(1,6))))\s\up6(\f(1,3)))) eq \s\up8(4) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a9))\s\up6(\f(1,3))))\s\up6(\f(1,6)))) eq \s\up8(4)＝a2·a2＝a4.





指数运算应遵循的原则


指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．(1)计算80.25× eq \r(4,2)＋( eq \r(3,2)× eq \r(3))6的值为________．


(2)(1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))(1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,16)))(1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,8)))(1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4)))(1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2)))＝( )


A． eq \f(1,2)(1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))－1 B．(1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))－1


C．1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)) D． eq \f(1,2)(1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


(1)110 (2)A [(1)原式＝2 eq \s\up6(\f(3,4))×2 eq \s\up6(\f(1,4))＋22×33＝21＋4×27＝110.


(2)原式＝


eq \f(（1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,16))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,8))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(（1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,16))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,16))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,8))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(（1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,8))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,8))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(（1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(（1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）（1＋2 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(（1－2－1）,1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))


＝ eq \f(1,2)(1－2 eq \s\up6(－ eq \f(1,32)))－1]





函数图象及其应用


角度一 由解析式判断函数图象


【例2】 定义运算a⊕b＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b，))则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )





A B C D


A [∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，


∴f(x)＝1⊕2x＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,1，x≥0，))故选A.]


eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．函数y＝2x－x2的图象大致是( )





A [对于函数y＝2x－x2，当x＝2或4时，2x－x2＝0，所以排除B，C；


当x＝－2时，2x－x2＝ eq \f(1,4)－4＜0，排除D.


故选A.]


角度二 应用函数图象研究函数性质


【例3】 设函数y＝x3与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x－2)的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )


A．(0，1) B．(1，2)


C．(2，3) D．(3，4)


B [在同一坐标系中画出y＝x3与y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x－2)的图象，如图，由图知当xx3，当x>x0时，( eq \f(1,2))x－2




代入x＝2， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x－2)＝1<23，∴2>x0.再代入1，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x－2)＝2>13，∴x0>1.]


eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x).





(1)画出函数f(x)的图象；


(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．


[解] (1)如图所示，先作出当x≥0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．





(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1].





指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．








指数函数的性质及应用


角度一 比较大小


【例4】 (1)比较数的大小：(1)27，82；


(2)比较1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))，23.1，2 eq \s\up6(\f(1,3.1))的大小关系是( )


A．23.1<2 eq \s\up6(\f(1,3.1))<1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1)) B．1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))<23.1<2 eq \s\up6(\f(1,3.1))


C．1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))<2 eq \s\up6(\f(1,3.1))<23.1 D．2 eq \s\up6(\f(1,3.1))<1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))<23.1


(1)[解] ∵82＝(23)2＝26，


由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.


(2)C [∵幂函数y＝x eq \s\up6(\f(1,3.1))在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，


∴1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))<2 eq \s\up6(\f(1,3.1)).又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，


eq \f(1,3.1)<3.1，


∴2 eq \s\up6(\f(1,3.1))<23.1，


∴1.5 eq \s\up6(\f(1,3.1))<2 eq \s\up6(\f(1,3.1))<23.1.]





数的大小比较常用方法：


(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．


(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．比较下列数的大小：


a1.2，a1.3；


[解] ∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0

而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2

当0a1.3.


角度二 函数性质综合应用


【例5】 已知f(x)＝a＋ eq \f(2,2x＋1)(a∈R).


(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；


(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；


(3)若当x∈[－1，5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．


[解] (1)若函数f(x)为奇函数，


∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，


验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋ eq \f(2,2x＋1)＝ eq \f(1－2x,1＋2x)为奇函数，


∴a＝－1.


(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(2,2x1＋1)－ eq \f(2,2x2＋1)＝ eq \f(2（2x2－2x1）,（2x1＋1）（2x2＋1）)，


由x1

∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0，2x2 ＋1>0，


故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，


∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．


(3)当x∈[－1，5]时，∵f(x)为减函数，


∴f(x)max＝f(－1)＝ eq \f(4,3)＋a，


若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝ eq \f(4,3)＋a≤0，


得a≤－ eq \f(4,3)，∴a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3))).





函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧


(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


5．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) [当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－ eq \f(1,2)>0，即x> eq \f(1,2)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2 eq \s\up6(x－ eq \f(1,2))>1，当x－ eq \f(1,2)≤0，即0 eq \f(1,2)，则不等式f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝x＋1＋x＋ eq \f(1,2)＝2x＋ eq \f(3,2)>1，所以－ eq \f(1,4)

综上所述，x的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)).]