福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试 数学（理）（含答案）
展开泰宁一中2019-2020学年上学期第一次阶段考试
高三理科数学试卷
考试时间：120分钟；满分 150分
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。四个答案中有且仅有一个是正确的）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）
2．“lnx＜lny”是ex＜ey的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题，命题q：∃x∈R，ex＜1，则下列为真命题的是（ ）
A．p∧（￢q） B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q
4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝x2
5．函数y＝2|x|﹣x2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为（ ）
A．134 B．135 C．136 D．137
8．已知向量＝（1，0），＝（﹣3，4）的夹角为θ，则sin2θ等于（ ）
A． B． C． D．﹣
9．如图所示的△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AD上，且BD＝DC，AE＝2EC，DF＝2AF，则向量＝（ ）
A． B．
C． D．
10．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
11．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若向量，，且，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），则不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）的解集是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（+sinx）dx＝
14．函数f（x）＝loga（4x﹣3）（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标是 ．
15．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|mx+1＝0}，且M∩N＝N，则实数m的值为 ．
16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC的面积．若不等式kS≤3b2+3c2﹣a2恒成立，则实数k的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知数列{an}中an+1＝an﹣4，且a1＝13，
（1）求an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值
18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB＝（2c﹣b）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝4，BC边上的中线，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）
（1）当﹣时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，求实数m的取值范围
20．（本小题满分12分）已知函数f（x）对任意x满足：3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x，二次函数g（x）满足：g（x+2）﹣g（x）＝4x且g（1）＝﹣4．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若x∈[m，n]时，恒有f（x）≥g（x）成立，求n﹣m的最大值．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝a（x﹣1）．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值；
（Ⅱ）存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．
泰宁一中2019-2020学年上学期第一次阶段考试
高三理科数学试卷
一．选择题（共12小题） CACDA BBDAC BD
二．填空题（共4小题）
13．4 14（1，0）． 15. m＝o或或． 16. ．
三．解答题（共6小题）
17．已知数列{an}中an+1＝an﹣4，且a1＝13，
（1）求an；
（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值
解：（1）由an+1＝an﹣4，可知，an+1﹣an＝﹣4，
∴数列{an}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，
∴an＝13﹣4（n﹣1）＝﹣4n+17，
（2）由（1）可知，数列{an}单调递减，且a4＞0，a5＜0，
∴当n＝4时，{an}的前n项和Sn取得最大值s4＝13+9+5+1＝28
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB＝（2c﹣b）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a＝4，BC边上的中线，求△ABC的面积．
解：（1）由acosB＝（2c﹣b）cosA得sinAcosB＝（2sinC﹣sinB）cosA＝2sinCcosA﹣sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，
即sin（A+B）＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，
在三角形中sinA≠0，∴cosA＝，
则A＝．
（2）∵M是BC的中点，∴BM＝CM＝2，
由余弦定理得b2＝（2）2+22﹣2×cosθ＝8+4﹣8cosθ＝12﹣8cosθ，
c2＝（2）2+22﹣2×cos（π﹣θ）＝8+4+8cosθ＝12+8cosθ，
两式相加得b2+c2＝24，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣2×bc＝24﹣bc，
即16＝24﹣bc，则bc＝8，
则三角形的面积S＝bcsinA＝×8×＝2．
19．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）
（1）当﹣时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，求实数m的取值范围
解：（1）由题意知，f（x）＝•＝msin2x+ncos2x，
根据y＝f（x）＝的图象过点（，）和（，﹣2），
得到，
解得m＝，n＝1；
f（x）＝•＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，
∴﹣1≤2sin（2x+）≤2；
∴函数y＝f（x）的最大值为2，此时x＝，
最小值为﹣1，此时x＝﹣；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得函数y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得函数y＝g（x）＝2sin（﹣）的图象，
令t＝﹣，t∈[﹣，]，如图所示，
当≤sint＜1时，g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，
∴≤2sin（﹣）＜2，
则实数m的取值范围是≤m＜2．
20．已知函数f（x）对任意x满足：3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x，二次函数g（x）满足：g（x+2）﹣g（x）＝4x且g（1）＝﹣4．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若x∈[m，n]时，恒有f（x）≥g（x）成立，求n﹣m的最大值．
【解答】解：（1）3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x①，3f（2﹣x）﹣f（x）＝8﹣4x②，
联立①②，可得f（x）＝x+1；
设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x+2）﹣g（x）＝a（x+2）2+b（x+2）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝4x，
则有，解得a＝1，b＝﹣2，
又g（1）＝﹣4，得c＝﹣3，
所以g（x）＝x2﹣2x﹣3．
（2）令f（x）＝g（x），即x+1＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣1或x＝4，
若f（x）≥g（x），则x∈[m，n]时，f（x）的图象不在g（x）的图象的下方，可知x∈[﹣1，4]，
所以n﹣m≤4﹣（﹣1）＝5，即n﹣m的最大值是5．
21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝a（x﹣1）．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值；
（Ⅱ）存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥g（x）即xlnx≥a（x﹣1）⇔；
令，则，
①当a≤0时，h′（x）＞0且h（1）＝0，则x∈（0，1）时，h（x）＜0，不符合题意，舍去．
②当a＞0时，h′（x）＝0，x＝a，且h（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以，h（x）在x＝a处取极小值也是最小值，即h（x）min＝h（a）＝lna+a﹣1，
令，可得F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
所以F（x）max＝F（1）＝0，故F（x）≤0，当x＝1时取等号，所以a＝1．
（II）因为f′（x）＝1+lnx，
所以，且f（1）＝0，
因为f（x1）＝f（x2），所以
令f（x1）＝f（x2）＝k，即x1lnx1＝k，x2lnx2＝k，
所以 （*）
要证成立，只需证：⇔lnx1+lnx2＜﹣2
由（*）可知：即证
令，即证：
令，则
所以，h（t）＞h（1）＝0，即有（t＞1）
所以，lnx1+lnx2＜﹣2
所以，．
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．
【解答】解：（1）由x2+y2＝（cosα+sinα）2+（sinα﹣cosα）2＝4，
得曲线C：x2+y2＝4．
直线l的极坐标方程展开为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，
故l的直角坐标方程为．
（2）显然P的坐标为（0，﹣4），不妨设过点P的直线方程为（t为参数），
代入C：x2+y2＝4得t2﹣8tsinα+12＝0，设A，B对应的参数为t1，t2
所以|PA|•|PB|＝|t1t2|＝12为定值．
