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北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品单元测试达标测试
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这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品单元测试达标测试，共16页。试卷主要包含了四边相等的四边形一定是，若菱形的两邻角之比为1，四个内角都相等的四边形是，在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为（ ）
A． cmB． cmC． cmD．16cm
2．四边相等的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定
3．若菱形的两邻角之比为1：2，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：D．2：
4．四个内角都相等的四边形是（ ）
A．矩形B．菱形C．梯形D．平行四边形
5．▱ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是（ ）
A．∠BAD＝90°，AB＝ADB．∠BAD＝90°，AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BDD．AB＝AC，∠BAD＝∠BCD
6．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（2，0），C（0，﹣2），D（﹣2，0）以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
7．用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（ ）刀（设一条线段剪一刀）．
A．1B．2C．3D．4
8．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
9．一个矩形，长为6、宽为4，若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个点不在矩形上（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）D．（0，﹣2）
10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
二．填空题
11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是 ．
12．用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是 ，依据是 ．
13．任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到 度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到 时，就变成了菱形．
14．如图，BE，CF是△ABC的高，M是BC的中点，若不添加辅助线，则图中的三角形一定是等腰三角形的有 个．
15．若大正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB，则∠EBC＝ ．
17．已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD是 ，那么四边形EFGH是正方形．
18．菱形的两条对角线长分别是6和，则菱形的面积是 ，周长是 ．
19．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件 ，就可以判定它是一个菱形．
20．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为 ．
三．解答题
21．如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．
求证：四边形EFGH是正方形．
22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE＝AF，接连EF、EC、CF．
（1）求证：△EFC是等边三角形；
（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
23．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1．四边形ABCD是菱形吗？为什么？
24．检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
25．如图所示，△ABC中，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F为AC的中点，试问EF∥BC吗？为什么？
26．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．
27．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且∠EAF＝45°．试说明：BE+DF＝EF．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，
∴设菱形的一条对角线长为2xcm，另一条对角线长为xcm，
∵菱形的面积为16cm2，
∴×2x×x＝16，
解得：x＝4，
∴菱形的两条对角线长为4cm，8cm，
∴菱形的边长为：＝2（cm），
∴菱形的周长为：8cm．
故选：C．
2．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．
故选：B．
3．解：如图，
∵菱形的两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
∴∠ABO＝30°，
∴＝tan∠ABO＝，
∵AC＝2OA，BD＝2OB，
∴AC：BD＝：3＝1：．
故选：C．
4．解：∵四边形的内角和可知四个角的和为360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：A．
5．解：A：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
B：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
C：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用AC＝BD，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
D：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，∠BAD＝∠BCD是所有平行四边形具有的性质，故不能判定是正方形，故此选项符合题意；
故选：D．
6．解：∵AB＝BC＝CD＝DA＝，
∴四边形ABCD是菱形．
又∵tan∠ABO＝＝1，故∠ABO＝45°．同理∠CBO＝45°
∴∠ABC＝90°．故四边形ABCD是正方形．
故选：C．
7．解：一刀．将纸四折，把原来纸的中心作为直角三角形的直角，然后任意剪一个三角形下来，都是菱形．
故选：A．
8．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠2所在的三角形全等，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：A．
9．解：建立如图所示的直角坐标系，
矩形的四个顶点坐标是（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，2），（3，﹣2）；
或（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（2，3），（2，﹣3），
故选：B．
10．解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，
BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，
即∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确；
在△BCM和△DCQ中，
，
∴△BCM≌△DCQ（ASA），
∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确；
在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°，
在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°，
∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，
∴∠CDQ≠∠CGP，
∴∠CQD≠CPG，
∴CQ≠CP，
∴CM≠CP，故③错误；
∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等），
∴∠CDG+∠DMN＝90°，
∴∠DNM＝90°，
∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
二．填空题
11．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，
∴AB＝AD＝AE＝AF，∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD，∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
设∠2＝x，则∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD＝x，
故∠1＝180°﹣2x，则∠DAF＝180°﹣2x，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠1+∠EAF+∠DAF＝180°，
∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°，
解得：x＝80°，
则∠BAD＝100°．
故答案为：100°．
12．解：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；
理由：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
又∵对角线相等的平行四边形是矩形；
∴可判断是否是矩形．
故答案为：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；对角线相等的平行四边形是矩形．
13．解：因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形；
当平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，所以四边形是菱形．
故答案为：90，相等．
14．解：∵BE是△ABC的高，
∴BE⊥CE．
又点M是BC的中点，
∴在Rt△BCE中，
ME＝BM＝CM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△BME、△CME是等腰三角形；
同理，△BMF、△CMF是等腰三角形．
综上所述△BME、△CME、△BMF、△CMF都是等腰三角形；
故答案是：4．
15．解：根据正方形的轴对称性可得，△AOE与△DOE，△BOF与△COH沿着EG翻折，都能互相重合，
∴△AOE的面积＝△DOE的面积，△BOF的面积＝△COH的面积，
∴图中阴影部分的面积＝矩形ABGE的面积＝×正方形ABCD的面积＝×4＝2．
故答案为：2
16．解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE+∠ECB＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为22.5°．
17．解：由题中E、F、G、H是各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．
∵EFGH是正方形
∴EF＝GF＝AC＝BD，且∠EFG＝90°
∴AC＝BD且AC⊥BD．
即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
18．解：如图，AC＝6，BD＝6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，A＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×6＝18，菱形ABCD的周长＝4AB＝4×6＝24．
故答案为18，24．
19．解：补充的条件是AB＝BC，
理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝BC．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝∠BCF．
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE．
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF．
又∵BF∥DE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝2x，
∴AC＝＝＝x，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE＝＝＝x，
在△ADE中，AE＝＝x，
同理CF＝x，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝x，
∴S四边形DEBF＝EF×DE＝x•x＝x2，
∵S矩形ABCD＝x×2x＝2x2，
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为：2＝3：5；
故答案为：3：5．
三．解答题
21．∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3．
∵EG⊥FH，
∴∠1+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△COH≌△BOE．
∴OE＝OH．
同理可证：OE＝OF＝OG．
∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH．
又∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH为正方形．
22．（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
在△AFC和△BEC中，
，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC＝EC，∠4＝∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5＝∠2＝60°，
∴∠3+∠5＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）解：△AEF的周长有最小值，
理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，
∴EF也是最短的．
CE是边长为2等边△ABC的高，
∴CE＝，EF＝，
所以AE+AF+EF＝2+．
∴△AEF周长的最小值为：2+．
23．解：在△AOB中，
∵AB＝，AO＝2，OB＝1，
∴AB2＝（）2＝5，AO2+OB2＝22+12＝5，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，即∠AOB＝90°．
∴AC、BD互相垂直．
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
24．解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．
所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．
根据对角线相等的平行四边形是矩形．
25．解：平行．
∵AE⊥CD于E，F为AC的中点，
∴EF＝CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴∠FEC＝∠ACE．
又∵∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE．
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
26．证明：连接PE，∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP
＝BE•PF+ED•PG
＝ED•（PF+PG），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，
∴S△BED＝ED•AB，
∴ED•（PF+PG）＝ED•AB，
∴PF+PG＝AB．
27．证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，
∴BE＝GD，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
即EF＝GD+DF，
∴BE+DF＝EF．
一．选择题
1．若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为（ ）
A． cmB． cmC． cmD．16cm
2．四边相等的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定
3．若菱形的两邻角之比为1：2，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：D．2：
4．四个内角都相等的四边形是（ ）
A．矩形B．菱形C．梯形D．平行四边形
5．▱ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是（ ）
A．∠BAD＝90°，AB＝ADB．∠BAD＝90°，AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BDD．AB＝AC，∠BAD＝∠BCD
6．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（2，0），C（0，﹣2），D（﹣2，0）以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
7．用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（ ）刀（设一条线段剪一刀）．
A．1B．2C．3D．4
8．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
9．一个矩形，长为6、宽为4，若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个点不在矩形上（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）D．（0，﹣2）
10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
二．填空题
11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是 ．
12．用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是 ，依据是 ．
13．任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到 度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到 时，就变成了菱形．
14．如图，BE，CF是△ABC的高，M是BC的中点，若不添加辅助线，则图中的三角形一定是等腰三角形的有 个．
15．若大正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB，则∠EBC＝ ．
17．已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD是 ，那么四边形EFGH是正方形．
18．菱形的两条对角线长分别是6和，则菱形的面积是 ，周长是 ．
19．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件 ，就可以判定它是一个菱形．
20．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为 ．
三．解答题
21．如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．
求证：四边形EFGH是正方形．
22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE＝AF，接连EF、EC、CF．
（1）求证：△EFC是等边三角形；
（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
23．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1．四边形ABCD是菱形吗？为什么？
24．检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．
25．如图所示，△ABC中，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F为AC的中点，试问EF∥BC吗？为什么？
26．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．
27．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且∠EAF＝45°．试说明：BE+DF＝EF．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，
∴设菱形的一条对角线长为2xcm，另一条对角线长为xcm，
∵菱形的面积为16cm2，
∴×2x×x＝16，
解得：x＝4，
∴菱形的两条对角线长为4cm，8cm，
∴菱形的边长为：＝2（cm），
∴菱形的周长为：8cm．
故选：C．
2．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．
故选：B．
3．解：如图，
∵菱形的两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
∴∠ABO＝30°，
∴＝tan∠ABO＝，
∵AC＝2OA，BD＝2OB，
∴AC：BD＝：3＝1：．
故选：C．
4．解：∵四边形的内角和可知四个角的和为360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：A．
5．解：A：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
B：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
C：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用AC＝BD，能判定为正方形，故此选项不符合题意；
D：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，∠BAD＝∠BCD是所有平行四边形具有的性质，故不能判定是正方形，故此选项符合题意；
故选：D．
6．解：∵AB＝BC＝CD＝DA＝，
∴四边形ABCD是菱形．
又∵tan∠ABO＝＝1，故∠ABO＝45°．同理∠CBO＝45°
∴∠ABC＝90°．故四边形ABCD是正方形．
故选：C．
7．解：一刀．将纸四折，把原来纸的中心作为直角三角形的直角，然后任意剪一个三角形下来，都是菱形．
故选：A．
8．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠2所在的三角形全等，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：A．
9．解：建立如图所示的直角坐标系，
矩形的四个顶点坐标是（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，2），（3，﹣2）；
或（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（2，3），（2，﹣3），
故选：B．
10．解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，
BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，
即∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确；
在△BCM和△DCQ中，
，
∴△BCM≌△DCQ（ASA），
∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确；
在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°，
在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°，
∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，
∴∠CDQ≠∠CGP，
∴∠CQD≠CPG，
∴CQ≠CP，
∴CM≠CP，故③错误；
∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等），
∴∠CDG+∠DMN＝90°，
∴∠DNM＝90°，
∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
二．填空题
11．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，
∴AB＝AD＝AE＝AF，∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD，∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
设∠2＝x，则∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD＝x，
故∠1＝180°﹣2x，则∠DAF＝180°﹣2x，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠1+∠EAF+∠DAF＝180°，
∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°，
解得：x＝80°，
则∠BAD＝100°．
故答案为：100°．
12．解：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；
理由：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
又∵对角线相等的平行四边形是矩形；
∴可判断是否是矩形．
故答案为：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；对角线相等的平行四边形是矩形．
13．解：因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形；
当平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，所以四边形是菱形．
故答案为：90，相等．
14．解：∵BE是△ABC的高，
∴BE⊥CE．
又点M是BC的中点，
∴在Rt△BCE中，
ME＝BM＝CM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴△BME、△CME是等腰三角形；
同理，△BMF、△CMF是等腰三角形．
综上所述△BME、△CME、△BMF、△CMF都是等腰三角形；
故答案是：4．
15．解：根据正方形的轴对称性可得，△AOE与△DOE，△BOF与△COH沿着EG翻折，都能互相重合，
∴△AOE的面积＝△DOE的面积，△BOF的面积＝△COH的面积，
∴图中阴影部分的面积＝矩形ABGE的面积＝×正方形ABCD的面积＝×4＝2．
故答案为：2
16．解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE+∠ECB＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为22.5°．
17．解：由题中E、F、G、H是各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．
∵EFGH是正方形
∴EF＝GF＝AC＝BD，且∠EFG＝90°
∴AC＝BD且AC⊥BD．
即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
18．解：如图，AC＝6，BD＝6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，A＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×6＝18，菱形ABCD的周长＝4AB＝4×6＝24．
故答案为18，24．
19．解：补充的条件是AB＝BC，
理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝BC．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝∠BCF．
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE．
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF．
又∵BF∥DE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝2x，
∴AC＝＝＝x，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE＝＝＝x，
在△ADE中，AE＝＝x，
同理CF＝x，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝x，
∴S四边形DEBF＝EF×DE＝x•x＝x2，
∵S矩形ABCD＝x×2x＝2x2，
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为：2＝3：5；
故答案为：3：5．
三．解答题
21．∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3．
∵EG⊥FH，
∴∠1+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△COH≌△BOE．
∴OE＝OH．
同理可证：OE＝OF＝OG．
∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH．
又∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH为正方形．
22．（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
在△AFC和△BEC中，
，
∴△AFC≌△BEC（SAS），
∴FC＝EC，∠4＝∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5＝∠2＝60°，
∴∠3+∠5＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）解：△AEF的周长有最小值，
理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，
∴EF也是最短的．
CE是边长为2等边△ABC的高，
∴CE＝，EF＝，
所以AE+AF+EF＝2+．
∴△AEF周长的最小值为：2+．
23．解：在△AOB中，
∵AB＝，AO＝2，OB＝1，
∴AB2＝（）2＝5，AO2+OB2＝22+12＝5，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，即∠AOB＝90°．
∴AC、BD互相垂直．
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
24．解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．
所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．
根据对角线相等的平行四边形是矩形．
25．解：平行．
∵AE⊥CD于E，F为AC的中点，
∴EF＝CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴∠FEC＝∠ACE．
又∵∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE．
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
26．证明：连接PE，∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP
＝BE•PF+ED•PG
＝ED•（PF+PG），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，
∴S△BED＝ED•AB，
∴ED•（PF+PG）＝ED•AB，
∴PF+PG＝AB．
27．证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，
∴BE＝GD，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
即EF＝GD+DF，
∴BE+DF＝EF．
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