还剩17页未读，
继续阅读
2019-2020学年辽宁省锦州市北镇市八年级（下）期末数学试卷
展开
2019-2020学年辽宁省锦州市北镇市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＜y+3 C．﹣3x＜﹣3y D．
2．（2分）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列各式的因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣a+＝（a﹣）2
B．a3﹣4a＝a（a2﹣4）
C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4
D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b）
5．（2分）分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x≠2 B．x≠3 C．x＝2 D．x＝3
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3，则点D到AB的距离为 ．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：2a3﹣4a2+2a＝ ．
10．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 ．
11．（2分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是 ．
12．（2分）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ ．
16．（2分）在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为 ．
三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分．
17．（12分）计算：
（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4．
（2）解不等式组：．
18．（7分）解方程：．
19．（7分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
四、解答题（本大题共8分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．
（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．
（2）求证：四边形AECG是平行四边形．
六、解答题（本大题9分）
23．（9分）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
七、解答题（本大题9分）
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM．
2019-2020学年辽宁省锦州市北镇市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＜y+3 C．﹣3x＜﹣3y D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＞y，
∴x_3＞y﹣3，x+3＞y+3，﹣3x＜﹣3y，x＞y．
故选：B．
2．（2分）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°，
故选：D．
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
4．（2分）下列各式的因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣a+＝（a﹣）2
B．a3﹣4a＝a（a2﹣4）
C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4
D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、a2﹣a+＝（a﹣）2，符合题意；
B、a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（3a+2b）（3a﹣2b），不符合题意．
故选：A．
5．（2分）分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x≠2 B．x≠3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：B．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3，则点D到AB的距离为 3 ．
【分析】求出∠CBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出DB＝2CD，根据勾股定理求出CD，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝3，即可得出答案．
【解答】解：过D作⊥AB于E，则线段DE的长度是点D到AB的距离，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠CBD＝ABC＝30°，
∴BD＝2CD，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
即（2CD）2＝（3）2+CD2，
解得：CD＝3（负数舍去），
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝3，
点D到AB的距离为3，
故答案为：3．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故选：C．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：2a3﹣4a2+2a＝ 2a（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣2a+1）＝2a（a﹣1）2，
故答案为：2a（a﹣1）2
10．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程
360°＝（n﹣2）×180°
解得n＝8
故答案为8．
11．（2分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是 a≥1，且a≠4 ．
【分析】在方程的两边同时乘以2（x﹣2），解方程，用含a的式子表示出x的值，再根据x≥0，且x≠2，解不等于组即可．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），
得：4x﹣2a＝x﹣2，
解得x＝，
由题意可知，x≥0，且x≠2，
∴，解得：a≥1，且a≠4，
故答案为：a≥1，且a≠4．
12．（2分）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为 40° ．
【分析】过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，由平行线的性质、等边三角形的性质及等量代换可求得答案．
【解答】解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，
∵直线l∥m，
∴l∥m∥n，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，
∴∠1＝40°．
故答案为：40°．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
【分析】由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．
【解答】解：
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD＝＝＝，
即B、D两点间的距离为，
故答案为：．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为 x＜2 ．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝ax+2在直线y＝bx﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），
∴当x＜2时，ax+2＞bx﹣3，
即不等式ax＞bx﹣5的解集为x＜2．
故答案为x＜2．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ 3 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为7，
∴BC+CN+BN＝7，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝7，
∴BC＝7﹣AC＝3，
故答案为：3．
16．（2分）在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为 4或6 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝10，
∴AB＝6；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝10，
∴AB＝4；
综上所述：AB的长为4或6．
故答案为：4或6．
三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分．
17．（12分）计算：
（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（2）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）（a2+1）2﹣4（a2+1）+4
＝（a2+1﹣2）2
＝（a2﹣1）2
＝（a﹣1）2（a+1）2；
（2），
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
所以，原不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
18．（7分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是2（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘2（2x﹣1），得
2＝2x﹣1﹣3，
解得x＝3．
检验：把x＝3代入2（2x﹣1）≠0．
所以原方程的解为：x＝3．
19．（7分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【解答】解；原式＝[]•
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝＝2
四、解答题（本大题共8分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）利用点A与点A1的坐标特征确定平移的方向与距离，根据点平移的坐标特征写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2，B2，C2，然后写出B2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，此时点C1的坐标为（4，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所求，此时点B2的坐标为（2，﹣5）．
五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；
（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，（ASA）
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7，
又∵EF⊥AD，
∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，
∴AD＝9．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．
（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．
（2）求证：四边形AECG是平行四边形．
【分析】（1）证出EF是△ABC的中位线，AF＝CF，则EF∥BC，由平行线的性质得∠FGC＝∠GCD，证出∠ACG＝∠FGC，则FG＝FC，得AF＝FG，由等腰三角形的性质得∠FAG＝∠AGF，进而求出∠AGC＝90°即可；
（2）证EF是△ABC的中位线，则EF＝BC，证出FG＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：AG⊥CG．理由如下：
∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC＝∠GCD，
∵CG平分∠ACD，
∴∠ACG＝∠GCD，
∴∠ACG＝∠FGC，
∴FG＝FC，
又∵AF＝CF，
∴AF＝FG，
∴∠FAG＝∠AGF，
∵∠FAG+∠AGF+∠FGC+∠ACG＝180°，
∴∠FAG+∠ACG＝∠AGF+∠FGC＝90°，
即∠AGC＝90°，
∴AG⊥CG；
（2）证明：由（1）可知，AF＝CF＝FG，
∴FG＝AC，
∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∵BC＝AC，
∴FG＝EF，
又∵AF＝CF，
∴四边形AECG是平行四边形．
六、解答题（本大题9分）
23．（9分）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
【分析】（1）根据“用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同”列出分式方程并解答；
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，根据题意，列出不等式组并解答．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解这个方程，得m＝10．
经检验，m＝10是所列方程的根．
所以m的值为10．
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，
根据题意，得2170≤（24﹣10）x+（16﹣8）（200﹣x）≤2200，
解这个不等式组，得95≤x≤100．
∵x为正整数，∴x可取95、96、97、98、99、100．
∴该超市共有6种进货方案．
七、解答题（本大题9分）
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD＝45°，进而得出∠CAD＝∠B，再判断出∠BDE＝∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；
（2）先判断出AM＝PM，进而判断出∠BMP＝∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP＝AB+AN，再判断出AP＝AM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，
∵∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
∴AM＝PM，
∵∠BMN＝∠AMP＝90°，
∴∠BMP＝∠AMN，
∵∠DAC＝∠P＝45°，
在△AMN与△PMB中，
，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN＝PB，
∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，
∴AP＝AM，
∴AB+AN＝AM．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＜y+3 C．﹣3x＜﹣3y D．
2．（2分）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列各式的因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣a+＝（a﹣）2
B．a3﹣4a＝a（a2﹣4）
C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4
D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b）
5．（2分）分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x≠2 B．x≠3 C．x＝2 D．x＝3
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3，则点D到AB的距离为 ．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：2a3﹣4a2+2a＝ ．
10．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 ．
11．（2分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是 ．
12．（2分）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ ．
16．（2分）在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为 ．
三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分．
17．（12分）计算：
（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4．
（2）解不等式组：．
18．（7分）解方程：．
19．（7分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
四、解答题（本大题共8分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．
（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．
（2）求证：四边形AECG是平行四边形．
六、解答题（本大题9分）
23．（9分）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
七、解答题（本大题9分）
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM．
2019-2020学年辽宁省锦州市北镇市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＜y+3 C．﹣3x＜﹣3y D．
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＞y，
∴x_3＞y﹣3，x+3＞y+3，﹣3x＜﹣3y，x＞y．
故选：B．
2．（2分）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或100°
【分析】分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案．
【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°，
故选：D．
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
4．（2分）下列各式的因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣a+＝（a﹣）2
B．a3﹣4a＝a（a2﹣4）
C．a2﹣2a﹣4＝a（a﹣2）﹣4
D．9a2﹣4b2＝（3a+4b）（3a﹣4b）
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、a2﹣a+＝（a﹣）2，符合题意；
B、a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（3a+2b）（3a﹣2b），不符合题意．
故选：A．
5．（2分）分式有意义的x的取值范围为（ ）
A．x≠2 B．x≠3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：B．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BC＝3，则点D到AB的距离为 3 ．
【分析】求出∠CBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出DB＝2CD，根据勾股定理求出CD，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝3，即可得出答案．
【解答】解：过D作⊥AB于E，则线段DE的长度是点D到AB的距离，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠CBD＝ABC＝30°，
∴BD＝2CD，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
即（2CD）2＝（3）2+CD2，
解得：CD＝3（负数舍去），
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝3，
点D到AB的距离为3，
故答案为：3．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故选：C．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）分解因式：2a3﹣4a2+2a＝ 2a（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣2a+1）＝2a（a﹣1）2，
故答案为：2a（a﹣1）2
10．（2分）若一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程
360°＝（n﹣2）×180°
解得n＝8
故答案为8．
11．（2分）若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是 a≥1，且a≠4 ．
【分析】在方程的两边同时乘以2（x﹣2），解方程，用含a的式子表示出x的值，再根据x≥0，且x≠2，解不等于组即可．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），
得：4x﹣2a＝x﹣2，
解得x＝，
由题意可知，x≥0，且x≠2，
∴，解得：a≥1，且a≠4，
故答案为：a≥1，且a≠4．
12．（2分）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为 40° ．
【分析】过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，由平行线的性质、等边三角形的性质及等量代换可求得答案．
【解答】解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，
∵直线l∥m，
∴l∥m∥n，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，
∴∠1＝40°．
故答案为：40°．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 ．
【分析】由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．
【解答】解：
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD＝＝＝，
即B、D两点间的距离为，
故答案为：．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则不等式ax＞bx﹣5的解集为 x＜2 ．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝ax+2在直线y＝bx﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2与y＝bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），
∴当x＜2时，ax+2＞bx﹣3，
即不等式ax＞bx﹣5的解集为x＜2．
故答案为x＜2．
15．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，若△BCN的周长为7，则BC＝ 3 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长为7，
∴BC+CN+BN＝7，
∴BC+CN+AN＝BC+AC＝7，
∴BC＝7﹣AC＝3，
故答案为：3．
16．（2分）在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若EF＝2，则AB的长为 4或6 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝10，
∴AB＝6；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝10，
∴AB＝4；
综上所述：AB的长为4或6．
故答案为：4或6．
三、解答题：本大题共3个小题，17题12分，18题，19题各7分，共26分．
17．（12分）计算：
（1）因式分解：（a2+1）2﹣4（a2+1）+4．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（2）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）（a2+1）2﹣4（a2+1）+4
＝（a2+1﹣2）2
＝（a2﹣1）2
＝（a﹣1）2（a+1）2；
（2），
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
所以，原不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
18．（7分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是2（2x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘2（2x﹣1），得
2＝2x﹣1﹣3，
解得x＝3．
检验：把x＝3代入2（2x﹣1）≠0．
所以原方程的解为：x＝3．
19．（7分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【解答】解；原式＝[]•
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝＝2
四、解答题（本大题共8分）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）△ABC经过平移变换后得到的图形为△A1B1C1，若点A1的坐标为（3，0），请在直角坐标系中画出变换后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），画出△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°后，得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）利用点A与点A1的坐标特征确定平移的方向与距离，根据点平移的坐标特征写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2，B2，C2，然后写出B2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，此时点C1的坐标为（4，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所求，此时点B2的坐标为（2，﹣5）．
五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；
（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO，（ASA）
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7，
又∵EF⊥AD，
∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，
∴AD＝9．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交△ABC外角∠ACD的平分线于点G．
（1）AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．
（2）求证：四边形AECG是平行四边形．
【分析】（1）证出EF是△ABC的中位线，AF＝CF，则EF∥BC，由平行线的性质得∠FGC＝∠GCD，证出∠ACG＝∠FGC，则FG＝FC，得AF＝FG，由等腰三角形的性质得∠FAG＝∠AGF，进而求出∠AGC＝90°即可；
（2）证EF是△ABC的中位线，则EF＝BC，证出FG＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：AG⊥CG．理由如下：
∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC＝∠GCD，
∵CG平分∠ACD，
∴∠ACG＝∠GCD，
∴∠ACG＝∠FGC，
∴FG＝FC，
又∵AF＝CF，
∴AF＝FG，
∴∠FAG＝∠AGF，
∵∠FAG+∠AGF+∠FGC+∠ACG＝180°，
∴∠FAG+∠ACG＝∠AGF+∠FGC＝90°，
即∠AGC＝90°，
∴AG⊥CG；
（2）证明：由（1）可知，AF＝CF＝FG，
∴FG＝AC，
∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∵BC＝AC，
∴FG＝EF，
又∵AF＝CF，
∴四边形AECG是平行四边形．
六、解答题（本大题9分）
23．（9分）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
【分析】（1）根据“用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同”列出分式方程并解答；
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，根据题意，列出不等式组并解答．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解这个方程，得m＝10．
经检验，m＝10是所列方程的根．
所以m的值为10．
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，
根据题意，得2170≤（24﹣10）x+（16﹣8）（200﹣x）≤2200，
解这个不等式组，得95≤x≤100．
∵x为正整数，∴x可取95、96、97、98、99、100．
∴该超市共有6种进货方案．
七、解答题（本大题9分）
24．（9分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（2）如图2，点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD＝45°，进而得出∠CAD＝∠B，再判断出∠BDE＝∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；
（2）先判断出AM＝PM，进而判断出∠BMP＝∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP＝AB+AN，再判断出AP＝AM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，
∵∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
∴AM＝PM，
∵∠BMN＝∠AMP＝90°，
∴∠BMP＝∠AMN，
∵∠DAC＝∠P＝45°，
在△AMN与△PMB中，
，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN＝PB，
∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，
∴AP＝AM，
∴AB+AN＝AM．
相关资料
更多
