四川省宜宾市叙州区第二中学校2021届高三上学期开学考试 数学（文）（word版含答案）

2020年四川省叙州区第二中学高三开学考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则

A． B．

C． D．

2．已知复数满足(是虚数单位)，则复数的模

A． B． 

C． D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．64 B．72      C．80   D．112

4．在数列中，，，若，则

A．3 B．4 C．5 D．6

5．已知函数是奇函数，且，则

A． B． C． D．

6．如图所示，在中，，若，，则

A． B．

C． D．

7．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师。此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话:

甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！”乙说：“丁出的这次考卷！”丙说:“是乙出的试卷！”

丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为

A．4+2 B．4﹣2 C．1 D．1

10．已知和直线，抛物线上动点到的距离为，则的最小值是

A．              B．          C．           D．

11．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为

A．           B．         C．或     D．或

12．已知函数，，若，其中，则的最大值为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，则______.

14．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.

15．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．

16．已知一块边长为2正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

18．（12分）已知等比数列满足，数列满足，且为等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

20．（12分）在直角坐标系中（为坐标原点），已知两点，，且三角形的内切圆为圆，从圆外一点向圆引切线，为切点。

（1）求圆的标准方程．

（2）已知点，且，试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由．

（3）已知点在圆上运动，求的最大值和最小值．

21．已知函数在处的切线与直线平行．

(1)求实数的值，并判断函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，，且，求证：．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；

（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数，.

（1）若，，求不等式的解集；

（2）若，且的最小值为2，求的最小值.

2020年四川省叙州区第二中学高三开学考试

文科数学参考答案

1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．B

13．     14．  15．  16．

17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

18.（1）设的公比为，，

，，

（2）设的公差为，，

，，，解得，

，，

19．解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.

由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.

从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

从而点C到平面的距离为.

20：（）设圆与，，的切点为、、，连结、、，

显然有四边形为正方形，

设圆半径为，

则，

，

，

∴，∴，，∴．

（），

，

，

，

化简有，

即满足，

∴在定直线上，

（）设，，

由几何意义可知表示到点距离平方，

点在圆内最大值为，最小值为．

21．（1）函数的定义域：，，解得，

，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增.

（2）由为函数的两个零点，得

两式相减，可得 即，，

因此， 令，由，得.

则， 构造函数，

则所以函数在上单调递增，故，

即，可知.故命题得证.

22．（1）由，得到

，

直线普通方程为：

设，则点到直线的距离：

当时，

点到直线的距离的最小值为

（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，

对任意恒成立

，其中，.

从而由于，解得：即：

23．（1）由题意得，，

①当时，原不等式可化为，即，故；

②当时，原不等式可化为，即，故；

③当时，原不等式可化为，即，故；

综上得不等式的解集为：.

（2）因为，

当且仅当时，取到最小值，即，

因为，故，，

所以

.

当且仅当，且，

即，或，时，等号成立.

所以的最小值为4.