四川省宜宾市叙州区第一中学校2021届高三上学期开学考试 数学（理）（word版含答案）
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理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合与的关系是( )
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．18 C．12 D．36
4．已知等差数列的前15项和，则（ ）
A．7 B．15 C．6 D．8
5．已知函数是奇函数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．在正方形ABCD中，E为BC的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 | 甲，乙 | 乙，丙 | 丙，丁 | 丁，戊 | 甲，戊 |
疏散乘客时间（s） | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．甲 B．乙 C．丁 D．戊
8．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在中，，若，则向量在上的投影是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
11．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为3，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知都是定义在R上的函数，，且且，，对于有穷数列
，任取正整数，则前项和大于的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为__．
14．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________．
15．圆关于直线的对称圆的方程为_____.
16．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意实数满足，
有以下结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列.
其中正确结论的序号是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等差数列，记为其前项和（），且，.
（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.
18．（12分）2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部50人，B镇有基层干部80人，C镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40人中有多少人来自B镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？
（Ⅱ）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X，求X的数学期望．
19．（12分）如图，在长方体中，与平面及平面所成角分别为，，分别为与的中点，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.
（Ⅰ）若的面积为，求；
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求以线段为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知点，，点在曲线：上．
（Ⅰ）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时，恒成立，求的最小值．
2020年秋四川省叙州区第一中学高三开学考试
理科数学参考答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9．B 10．B 11．C 12．A
13．1120 14． 15． 16．①③④
17．（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意，得，解得，
的通项公式，.
（Ⅱ）设等比数列的公比为，
由（Ⅰ）得，
，，或，
当时，，
当时，.
18．（1）A，B，C三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B镇应选取（人）
40名基层干部走访贫困户的平均数量x为
用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为（户）
（2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人，其工作出色的概率为
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，则，
，，
，，所以X的分布列为
X | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
P |
19．（1）证明：在长方体中，
因为，所以为的中位线， 所以MN∥CD，
又因为CD⊥平面，所以MN⊥平面．
（2）解：在长方体中，因为CD⊥平面，
所以为与平面所成的角，即=，又因为⊥平面，
所以为与平面所成的角，即，
所以，，，=，，
如图2，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴是平面的法向量，.
设平面的法向量为， 由，，
所以有 ∴取z=1，
得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，
则. ∴．
20．解：（1）将代入，得，
设，，则，，
从而 .
因为到的距离为，
所以的面积 ，解得.
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.
从而 .
当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，
故，所以点符合题意.
故以线段为直径的圆的方程为（或）
21．（1）
当时，令，
所以此时在区间递增，递减；
当时，令，
所以此时在区间递增，递减；
（2）令， ，
，
令，
令，显然在时单调递增，；
当时，在上递增，
所以，则，在上递增，
，此时符合题意；
当时，，此时在上存在，使在上值为负，
此时，在上递减，此时，
在上递减，，此时不符合题意；综上：
22．（1）
（2）
23．（Ⅰ）法一：当，即解不等式时，
，
作出图象：
结合图象及的单调性，又
所以的解集为．
法二：等价于或或
解得或或，即．
（Ⅱ）方法一：由得
由，所以，
画出及的图象
根据图象性质可得，综上．
故的最小值为．
方法二：，
要使得恒成立，即．
则必有最小值．
因此在必单调递减或为常函数，
在必单调递增或为常函数．
即且即．
又，故在上是增函数，
即．解恒成立．
综上．故的最小值为．
