（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案9第九章计数原理、概率、随机变量及其分布综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案9]第九章　综合过关规范限时检测

(时间：120分钟　满分150分)

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2020·广西柳州模拟)《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为(　C　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　给有巨大贡献的2人进行封爵，总共有5×5＝25种，

其中两人被封同一等级的共有5种，

所以两人被封同一等级的概率为＝，

所以其对立事件，即两人不被封同一等级的概率为：1－＝.故选C.

2．(2020·山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为(　C　)

A．216　 B．480

C．504　 D．624

[解析]　当课程“御”排在第一周时，则共有A＝120种；当课程“御”“乐”均不排在第一周时，则共有C×C×A＝384种；则120＋384＝504，故选：C.

3．(2020·黑龙江大庆质检)某公司安排甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(　B　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　P＝＝，故选B.

4．(2019·河北衡水金卷联考)如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O.若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为(　C　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为π·12－2×(－)＝＋1，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为＝.故选C.

5．(2019·河北省衡水中学调研)某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A，B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为(　A　)

A．72　 B．56

C．57　 D．63

[解析]　设2名全科教师分别为a、b，当a教语文，b教数学时，CC＝36(种)；当a教数学，b教语文时，CC＝36(种)；故分配方案共有72种，选A．

6．(2020·百师联盟期中)某护卫舰发现远处有一目标海盗船，已知它靠近目标200米，100米，50米的概率分别为0.6,0.4,0.2.又护卫舰在200米，100米，50米时击中目标的概率分别为0.6、0.7、0.8.那么目标被击中的概率为(　D　)

A．0.6　 B．0.7

C．0.9　 D．0.8

[解析]　P＝0.6×0.6＋0.4×0.7＋0.2×0.8＝0.8.所以D正确．

7．(2020·河南百校联盟联考)(－2)(1＋x)5的展开式的x2的系数为(　A　)

A．－15　 B．－5

C．10　 D．15

[解析]　(1＋x)5的通项公式Tr＋1＝Cxr，当r＝2时，T3＝Cx2＝10x2，当r＝4时，T5＝Cx4＝5x4，故所求x2的系数为5＋(－2)×10＝－15.

8．(2020·福建莆田质检)现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若D(X)＝8，P(X＝20)<P(X＝30)，则p＝(　C　)

A．0.16　 B．0.2

C．0.8　 D．0.84

[解析]　∵P(X＝20)<P(X＝30)，

∴Cp20(1－p)30<Cp30(1－p)20，

化简得1－p<p，即p>，又D(X)＝8＝50p(1－p)，

解得p＝0.2或p＝0.8，∴p＝0.8，故选C.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．(2020·山东日照一中期中)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有(　BC　)

A．CCCC　　 B．CA

C．CCA　　 D．18

[解析]　将四个不同的小球分三组有C种方法，①再将三组小球分别放入三个盒子有A种方法，故有CA种；②先将两个小球为一组放入一个盒子有C种，再将另两个小球分别放入另两支盒子有A种，故有CCA种，选BC.

10．设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　ACD　)

A．q＝0.1　　 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4

C．E(X)＝2，D(X)＝1.8　　 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2

[解析]　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.

11．下列对各事件发生的概率判断正确的是(　AC　)

A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为

C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是

[解析]　对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为(1－)2×＝，故A正确；对于B，用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为××＝，所以此密码被破译的概率为1－＝，故B不正确；对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则P(A)＝＝，设“从乙袋中取到白球”为事件B，则P(B)＝＝，故取到同色球的概率为×＋×＝，故C正确；对于D，易得P(A∩)＝P(B∩)，即P(A)·P()＝P(B)P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(∩)＝，∴P()＝P()＝，∴P(A)＝，故D错误，故选AC.

12．(2020·山东新高考联盟联考改编)关于二项式(－1)2 020及其展开式，在下列命题中正确的命题是(　AD　)

A．该二项展开式中非常数项的系数和是－1

B．该二项展开式中第六项为Cx1 007

C．该二项展开式中不含有理项

D．当x＝100时，(－1)2 020除以100的余数是1

[解析]　根据二项展开式的通项公式，逐项判断，即可得出结果．因为二项式(－1)2 020的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx(－1)r，对于A，当r＝2 020时，得到常数项为T2 021＝1；又二项式(－1)2 020的展开式的各项系数和为(－1)2 020＝0，所以该二项展开式中非常数项的系数和是－1，故A正确；对于B，因为该二项展开式中第六项为T6＝Cx(－1)5，故B错误；对于C，当2 020－r＝2n(n∈N)时，对应的各项均为有理项；故C错误；对于D，当x＝100时，(－1)2 020＝(10－1)2 020＝C102 020(－1)0＋C102 019(－1)1＋…＋C102(－1)2 018＋C101(－1)2 019＋C100(－1)2 020因为C102 020(－1)0＋C102 019(－1)1＋…＋C103(－1)2 017＋C102(－1)2 018，显然是100的倍数，能被100整除，而C101(－1)2 019＋C100(－1)2 020＝－20 200＋1，所以(－1)2 020除以100的余数是1.D正确；故答案为A、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__.

[解析]　由题意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.

14．(2020·河南开封模拟)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为__48__.

[解析]　若丙第一个着舰，有A＝24种；若丙不第一个着舰，有CA＝24种，∴共有不同的着舰方法种数为48.

15．(2020·云南名校适应性月考)甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制(当一队赢得四局胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8.且各局比赛结果相互独立，则甲队以4︰1获胜的概率是　　.

[解析]　甲队以4︰1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率P＝C××()3×＝.

16．(2020·山东德州期末)(2x2＋)6的展开式中，常数项为__60__；系数最大的项是__240x6__.(本题第一空2分，第二空3分)

[解析]　(2x2＋)6的展开式的通项为

C·(2x2)6－k·()k＝C·26－k·x12－3k，

令12－3k＝0，得k＝4，

所以，展开式中的常数项为C·22＝60；

令ak＝C·26－k(k∈N，k≤6)，

令，

即，

解得≤n≤，又n∈N，∴n＝2，

因此，展开式中系数最大的项为

C·24·x6＝240x6，

故答案为：60；240x6.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2019·湖北十堰模拟)某工厂在两个车间A，B内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品.

(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；

(2)若从车间A，B选取的产品中随机抽取2个产品，用X表示车间B内产品的个数，求X的分布列与数学期望．

[解析]　(1)由茎叶图知，车间A内合格的产品数为4，车间B内合格的产品数为2，

则所求概率P＝(1－)(1－)＝.

(2)由题意知，X的所有可能取值为0,1,2.

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

18．(本小题满分12分)(2020·河南省八市重点高中联盟联考)有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔)；②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线；③2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线)，该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表

若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．(注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)

(1)求该学生参加自主招生考试的概率；

(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；

(3)求该学生被该校录取的概率．

[解析]　(1)设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B，

则P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，

P1＝1－0.5＋0.5×(1－0.2)＝0.9.

即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.

(2)该学生参加考试的次数X的可能取值为2,3,4

P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.2＝0.1；

P(X＝3)＝P()＝1－0.5＝0.5；

P(X＝4)＝P(A)P()＝0.5×0.8＝0.4.

所以X的分布列为

E(X)＝2×0.1＋3×0.5＋4×0.4＝3.3.

(3)设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C，D.

P(AB)＝0.1，P(C)＝0.9×0.6×0.9＝0.486，

P(D)＝0.9×0.4×0.7＝0.252.

所以该学生被该校录取的概率为

P2＝P(AB)＋P(C)＋P(D)＝0.838.

19．(2020·陕西咸阳期末)甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．

(1)用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．

[解析]　(1)X的取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝()3＝；

P(X＝1)＝C()()2＝；

P(X＝2)＝C()2()＝；

P(X＝3)＝()3＝，

因此X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，

即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况；

P(A)＝×＋×＝.

20．(2020·江西名校联盟模拟)某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4.

(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；

(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？

[解析]　(1)因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.4×0.6＝0.24，

所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为1－0.24＝0.76.

(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188.

X的分布列为

则E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6.

若选择方案②，则购买总价的数字期望为

185．6×650＝120 640元．

若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，

从而购买总价为200×600＝120 000元．

因为120 640>12 000，所以选择方案①更划算．

21．(2020·山东烟台期末)某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.

(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n＝1与n＝2之中选其一，应选用哪个？(实际获利＝生产线创造利润－维修工人工资)

[解析]　(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，

则X～B(3，)，

因此P(X＝1)＝C()1()2＝＝.

(2)①当n＝1时，设该企业每月的实际获利为Y1万元，

若X＝0，则Y1＝12×3－1＝35；

若X＝1，则Y1＝12×2＋8×1－1＝31；

若X＝2，则Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；

若X＝3，则Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；

又P(X＝0)＝C()0()3＝，

P(X＝2)＝C()2()1＝，

P(X＝3)＝C()3()0＝，

此时，实际获利Y1的均值

E(Y1)＝35×＋31×＋19×＋7×＝.

②当n＝2时，设该企业每月的实际获利为Y2万元，

若X＝0，则Y2＝12×3－2＝34；

若X＝1，则Y2＝12×2＋8×1－2＝30；

若X＝2，则Y2＝12×1＋8×2－2＝26；

若X＝3，则Y2＝12×0＋8×2＋0×1－2＝14；

E(Y2)＝34×＋30×＋26×＋14×＝，

因为E(Y1)<E(Y2)，

于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n＝1与n＝2之中选其一，应选用n＝2.

22．(2020·河北省联考数学)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求．各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的重量，将其分为三个成长阶段，如下表．

猪生长的三个阶段

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布X～N(50,162)．

由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．

已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.

(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元．记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．

(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则

P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4，

P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4)

[解析]　(1)由于猪的体重X近似服从正态分布N(50,162)，设各阶段猪的数量分别为n1，n2，n3，

P(2≤x<18)＝P(50－3×16≤x<50－2×16)

＝＝0.021 5，

∴n1＝10 000×0.021 5＝215(头)；

同理，P(18≤x<82)＝P(50－2×16≤x<50＋2×16)

＝0.954 4

∴n2＝10 000×0.954 4＝9 544(头)；

P(82≤x≤98)＝P(50＋2×16≤x≤50＋3×16)

＝＝0.021 5，

∴n3＝10 000×0.021 5＝215(头)．

所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9 544头，成年期猪215头．

(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，

随机变量Y可能取值为900,300，－300.

P(Y＝900)＝×＝，

P(Y＝300)＝×＋×＝，

P(Y＝－300)＝×＝，

所以Y的分布列为：

所以E(Y)＝900×＋300×－300×＝630(元)，

由于各养猪场均有215头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为630元，

630×215＝135 450(元)．

则总利润期望为135 450元．