（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形5.3三角函数的图象、性质及应用试题（含解析）

§5.3　三角函数的图象、性质及应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　三角函数的图象及其变换

1.将函数y=sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为(　　)

A.y=sin　　　　　B.y=sin

C.y=sin　　　　　D.y=sin

答案　B

2.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)在区间上的图象,为了得到这个图象,只需将g(x)=Acos ωx的图象(　　)

A.向右平移个单位长度　　　　　B.向右平移个单位长度

C.向右平移个单位长度　　　　　D.向左平移个单位长度

答案　B

3.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是(　　)

A.最小正周期为π　　　　　B.图象关于直线x=对称

C.图象关于点对称　　　　　D.初相为

答案　C

4.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是　　　　. 

答案　-

考点二　三角函数的性质及其应用

5.已知函数f(x)=(sin x+cos x)sin x,则下列说法不正确的为(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)的图象关于直线x=-对称

D.将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象

答案　D

6.若f(x)为偶函数,且在上满足:对任意x1<x2,都有 >0,则f(x)可以为(　　)

A. f(x)=cos　　　　　B. f(x)=|sin(π+x)|　　　

C. f(x)=-tan x　　　　　D. f(x)=1-2cos22x

答案　B

7.已知点P是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若∠MPN=60°,则该函数的最小正周期是(　　)

A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6

答案　D

8.已知向量a=(cos x,0),b=(0,sin x),记函数f(x)=(a+b)2+sin 2x.

(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

解析　(1)f(x)=(a+b)2+sin 2x=1+2sin2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x+2=2sin+2.

当且仅当2x-=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时, f(x)min=0,此时x的取值集合为.

(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),

得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　关于三角函数图象的问题

1.(2016课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)

A.y=2sin　　　　　B.y=2sin

C.y=2sin　　　　　D.y=2sin

答案　A

2.(2019河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C1:y=2cos上的点向右平移个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到曲线C2,则C2的方程为(　　)

A.y=2sin 4x　　　　　B.y=2sin

C.y=2sin x　　　　　D.y=2sin

答案　A

3.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象(　　)

A.向右平移个单位长度　　　　　B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度　　　　　D.向左平移个单位长度

答案　C

4.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f的值是　　　　. 

答案　-

考法二　三角函数的单调性问题

5.(2019河南郑州一模,8)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　B

6.(2018广东省际名校联考(二),15)将函数f(x)=1-2·cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若x∈,则函数g(x)的单调递增区间是　　　　　　. 

答案　

7.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,20)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象与直线y=2两相邻交点之间的距离为π,且图象关于直线x=对称.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)先将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥的x的取值范围.

解析　(1)由已知可得T=π,∴=π,∴ω=2,

又f(x)的图象关于直线x=对称,

∴2×+φ=kπ+,k∈Z,

∴φ=kπ-,k∈Z,

∵|φ|<,∴φ=-.

∴f(x)=2sin.

(2)由(1)可得f(x)=2sin,∴g(x)=2sin,由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.

∵2sin≥,∴sin≥,

∴2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,

∴2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,

∴g(x)≥的x的取值范围为.

考法三　三角函数的奇偶性、周期性、对称性的有关问题

8.(2020届湖南长沙一中第一次月考,9)将函数f(x)=2sin-1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)

A.函数g(x)的最小正周期是

B.函数g(x)的图象关于直线x=-对称

C.函数g(x)在上单调递减

D.函数g(x)在上的最大值是1

答案　C

9.(2018河南六市第一次联考,5)已知函数f(x)=2sinωx+(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,则φ为(　　)

A.　　　B.-　　　C.　　　D.-

答案　D

10.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求f的值;

(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.

解析　(1)f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx

=+sin 2ωx=cos 2ωx+sin 2ωx+

=sin+.

∵f(x)的最小正周期为π,ω>0,

∴=π,∴ω=1.

∴f(x)=sin+.

∴f=sin+=sin +=-1+=-.

(2)因为y=sin x的单调增区间为,k∈Z,单调减区间为,k∈Z,

所以由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

∴f(x)的单调增区间为,k∈Z,单调减区间为,k∈Z.

∵y=sin x图象的对称轴为x=kπ+,k∈Z,

∴2x+=+kπ,k∈Z.

∴f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.

考法四　三角函数的最值

11.(2019山西3月质检,7)将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)·g(x)的最大值为(　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.

答案　A

12.(2019湖北武昌调研,8)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为(　　)

A.　　　B.1　　　C.　　　D.2

答案　C

【五年高考】

考点一　三角函数的图象及其变换

1.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(　　)

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

答案　D

2.(2018天津,6,5分)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.在区间上单调递增

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增

D.在区间上单调递减

答案　A

3.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　　)

A.t=,s的最小值为　　　　　B.t=,s的最小值为

C.t=,s的最小值为　　　　　D.t=,s的最小值为

答案　A

4.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. 

答案　π

5.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　. 

答案　7

考点二　三角函数的性质及其应用

6.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是(　　)

A.　　　B.π　　　C.　　　D.2π

答案　B

7.(2019课标Ⅱ,9,5分)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A. f(x)=|cos 2x|　　　　　B. f(x)=|sin 2x|　　　

C. f(x)=cos|x|　　　　　D. f(x)=sin|x|

答案　A

8.(2019课标Ⅲ,12,5分)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在单调递增

④ω的取值范围是

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①④　　　B.②③　　　C.①②③　　　D.①③④

答案　D

9.(2019课标Ⅰ,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

① f(x)是偶函数

② f(x)在区间单调递增

③ f(x)在[-π,π]有4个零点

④ f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①②④　　　B.②④　　　C.①④　　　D.①③

答案　C

10.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.π

答案　A

11.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)

A.x=-(k∈Z)　　　　　B.x=+(k∈Z)

C.x=-(k∈Z)　　　　　D.x=+(k∈Z)

答案　B

12.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.,k∈Z　　　　　B.,k∈Z

C.,k∈Z　　　　　D.,k∈Z

答案　D

13.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为(　　)

A.11　　　B.9　　　C.7　　　D.5

答案　B

14.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f =(　　)

A.-2　　　B.-　　　C.　　　D.2

答案　C

15.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

16.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2, f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(　　)

A.ω=,φ=　　　　　B.ω=,φ=-

C.ω=,φ=-　　　　　D.ω=,φ=

答案　A

17.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　. 

答案　1

18.(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　. 

答案　

19.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. 

答案　

20.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;

(2)求函数y=+的值域.

解析　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.

(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.

又θ∈[0,2π),因此θ=或.

(2)y=+

=sin2+sin2

=+

=1-=1-cos.

因此,函数的值域是.

思路分析　(1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从而求出θ的值.

(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值域.

21.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).

(1)求f的值;

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解析　本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.

(1)由sin=,cos=-,

得f=--2××=2.

(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得

f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

教师专用题组

考点一　三角函数的图象及其变换

1.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)

A.向左平行移动个单位长度

B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度

D.向右平行移动个单位长度

答案　D

2.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　D

3.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　　　　. 

答案　

考点二　三角函数的性质及其应用

4.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(　　)

A.与b有关,且与c有关　　　　　B.与b有关,但与c无关

C.与b无关,且与c无关　　　　　D.与b无关,但与c有关

答案　B

5.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5　　　B.6　　　C.8　　　D.10

答案　C

6.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)

A. f(2)< f(-2)< f(0)　　　　　B. f(0)< f(2)< f(-2)

C. f(-2)< f(0)< f(2)　　　　　D. f(2)< f(0)< f(-2)

答案　A

7.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,单调递减区间是　　　　　　　　　　　. 

答案　π;(k∈Z)

8.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].

(1)若a∥b,求x的值;

(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,

所以-cos x=3sin x.

若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.

于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.

(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.

因为x∈[0,π],所以x+∈,

从而-1≤cos≤.

于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;

当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.

9.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

解析　(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)

=sin-,

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.

当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.

所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.

10.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由已知,有

f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.

所以, f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f =,所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.

11.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.

解析　(1)由题意知f(x)=-

=-=sin 2x-.

由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;

由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);

单调递减区间是(k∈Z).

(2)由f=sin A-=0,得sin A=,

由题意知A为锐角,所以cos A=.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.

因此bcsin A≤.

所以△ABC面积的最大值为.

评析　本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.

12.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sin-x·sin x-cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值;

(2)讨论f(x)在上的单调性.

解析　(1)f(x)=sinsin x-cos2x

=cos xsin x-(1+cos 2x)

=sin 2x-cos 2x-=sin-,

因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.

(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时, f(x)单调递增,

当≤2x-≤π,即≤x≤时, f(x)单调递减.

综上可知, f(x)在上单调递增,在上单调递减.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.(2020届四川绵阳南山中学,5)要得到函数y=sin 2x+cos 2x(x∈R)的图象,可将y=2sin 2x的图象向左平移(　　)

A.个单位　　　　　B.个单位

C.个单位　　　　　D.个单位

答案　A

2.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,8)若函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)在区间上为减函数,在区间上为增函数,则ω=(　　)

A.3　　　B.2　　　C.　　　D.

答案　C

3.(2020届黑龙江大庆一中第一次月考,10)若函数f(x)=sin(2x+φ)+b对任意实数x,都有f=f(-x), f=-1,则实数b的值为(　　)

A.-2或0　　　B.0或1　　　C.±1　　　D.±2

答案　A

4.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,11)已知函数f(x)=asin x-cos x图象的一条对称轴为直线x=,且f(x1)·f(x2)=-4,则|x1+x2|的最小值为(　　)

A.-　　　B.0　　　C.　　　D.

答案　D

5.(2020届宁夏银川一中第一次月考,6)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后关于y轴对称,则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A.-　　　B.-　　　C.　　　D.

答案　B

6.(2020届广西桂林十八中第一次月考,8)将函数y=sin的图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴方程为(　　)

A.x=　　　　　B.x=

C.x=　　　　　D.x=-

答案　C

7.(2020届四川邻水实验学校第一次月考,5)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,则当x∈[0,π]时,不等式g(x)<1的解集为(　　)

A.　　　　　B.

C.∪　　　　　D.

答案　C

8.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,5)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是(　　)

A.y=sin x　　　　　B.y=sin

C.y=sin　　　　　D.y=sin

答案　C

9.(2020届河南中原名校第二次质量考评)已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=在(0,π)的根为x1,x2(x1<x2),则sin(x1-x2)=(　　)

A.-　　　B.-　　　C.-　　　D.-

答案　A

二、多项选择题(每题5分,共15分)

10.(改编题)已知函数f(x)=cos x·sin,则下列结论中错误的是(　　)

A. f(x)既是奇函数又是周期函数

B. f(x)的图象关于直线x=对称

C. f(x)的最大值为1

D. f(x)在区间上单调递减

答案　ACD

11.(改编题)下列选项正确的是(　　)

A.存在实数x,使sin x+cos x=

B.若α,β是锐角△ABC的内角,则sin α>cos β

C.函数y=sin是偶函数

D.函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,得到y=sin的图象

答案　ABC

12.(改编题)已知函数f(x)=sin xsin-的定义域为[m,n](m<n),值域为,则n-m的值不可能是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　CD

三、填空题(每题5分,共15分)

13.(2020届四川绵阳南山中学月考,15)已知函数y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=对称.该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,C=90°,则f的值为　　　　. 

答案　

14.(2020届四川邻水实验学校第一次月考,15)将函数f(x)=cos x-sin x(x∈R)的图象向左平移α(α>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则α的最小值是　　　　. 

答案　

15.(2020届宁夏银川一中第一次月考,15)若函数y=cos(x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向左平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　. 

答案　-

四、解答题(共45分)

16.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,19)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象如图所示.

(1)求A,ω的值及f(x)的单调增区间;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由题图可得A=1,最小正周期T=2=π,∴ω==2.

∴f(x)=sin.

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,

∴-≤sin≤1,∴函数f(x)在区间上的最大值为1,最小值为-.

17.(2020届宁夏银川一中第一次月考,17)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx·sin-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求ω的值;

(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.

解析　(1)f(x)=+sin ωxcos ωx-1

=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin-.

由题意得函数f(x)的最小正周期为π,

∴=π,解得ω=1,∴f(x)=sin.

(2)∵x∈,∴2x-∈,根据正弦函数的图象可得当2x-=,即x=时, f(x)=sin取最大值1,

当2x-=-,即x=-时, f(x)=sin取最小值-,

∴--≤sin-≤,即当x∈时,f(x)的值域为.

18.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,20)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象.

(1)写出函数f(x)的解析式;

(2)若对任意x∈, f 2(x)-mf(x)-1≤0恒成立,求实数m的取值范围;

(3)求实数a和正整数n,使F(x)=f(x)-a在[0,nπ]上恰有2 019个零点.

解析　(1)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得y=sin 2x,再将所得的图象向左平移个单位得f(x)=sin的图象,

∴f(x)=sin.

(2)∵x∈,∴2x+∈.

∴f(x)∈[0,1].令t=f(x),t∈[0,1].

则g(t)=t2-mt-1≤0恒成立,故有g(0)=-1≤0且g(1)=-m≤0,∴m≥0.

(3)∵F(x)=f(x)-a在[0,nπ]上恰有2 019个零点,故f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上恰有2 019个交点.

①当a>1或a<-1时, f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ]上无交点.

②当a=1或a=-1时, f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ]上恰有2 019个交点,则n=2 019.

③当-1<a<或<a<1时, f(x)的图象和直线y=a在[0,π]上恰有2个零点.

∴f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点,不会有2 019个交点.

④当a=时, f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上有3个交点.

此时n=1 009才能使f(x)的图象和直线y=a在[0,nπ]上有2 019个交点.

综上所述,当a=1或a=-1时,n=2 019,当a=时,n=1 009,符合题意.