（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（50）第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程（含解析）

 [练案50]第八章　解析几何

第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

A组基础巩固

一、单选题

1．(2019·秦皇岛模拟 )倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　D　)

A．x－y＋1＝0　　 B．x－y－＝0

C.x＋y－＝0　　 D．x＋y＋＝0

[解析]　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.

2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　)

A．k1<k2<k3　　 B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1　　 D．k1<k3<k2

[解析]　直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.

3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　D　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.

4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　B　)

A．2x＋y＝0　　 B．2x－y－4＝0

C．x＋2y＋3＝0　　 D．x－2y－5＝0

[解析]　设P(x0,0)，Q(0，y0)，

∵M(1，－2)为线段PQ中点，

∴x0＝2，y0＝－4，

∴直线PQ的方程为＋＝1，

即2x－y－4＝0.

5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　D　)

A．1　　 B．－2

C．－2或－1　　 D．－2或1

[解析]　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝，∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.

6．(2020·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)

A．[0，]　　 B．[，π)

C．[0，]∪(，π)　　 D．[，]∪[，π)

[解析]　k＝－∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围[，π)，选B.

7．(2020·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　D　)

A．x－y＋1＝0　　　 B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0或x＋y－3＝0　　 D．2x－y＝0或x－y＋1＝0

[解析]　当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故选D.

8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是(　B　)

A．[，)　　 B．(，＋∞)

C．(，＋∞)　　 D．(，1]

[解析]　直线l恒过定点(0，－)，如图所示．因为当直线l经过点(3,0)时，其斜率为＝，所以当两直线的交点位于第一象限时，直线l的斜率的取值范围应为(，＋∞)．故选B.

二、多选题

9．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　ABD　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　　 D．第四象限

[解析]　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0知，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选A、B、D.

10．下列说法正确的是(　AB　)

A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)

C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝

D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

[解析]　A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B中(，)在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，所以B正确，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.

11．(2019·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　BD　)

[解析]　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项D符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故选B、D.

三、填空题

12．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为__3x＋4y＋15＝0__.

[解析]　由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.

又直线经过点A(－1，－3)．

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

13．(2019·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__x＋y－1＝0或3x＋2y＝0__.

[解析]　当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，

则有3＝－2k，即k＝－，

此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.

当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，

则有＋＝1，即a＝1，即x＋y－1＝0.

综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.

14．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为__x－2y－1＝0__.

[解析]　设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，

∵A(5，－2)，B(7,3)，

又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，

N是BC的中点，

∴3＋n＝0，n＝－3，

∴点C的坐标为(－5，－3)，

则kBC＝＝，

∴BC的方程为y－3＝(x－7)，即x－2y－1＝0.

B组能力提升

1．(2019·济宁模拟)直线xsin＋ycos＝0的倾斜角是(　D　)

A．－　 B．　

C．　 D．

[解析]　由题意得直线方程为y＝－tan·x，

∴k＝－tan＝tan.∵0≤α<π，∴α＝.

2．(2020·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　B　)

A．　 B．－　

C．－　 D．

[解析]　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.

3．(2019·安徽五校联考)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　B　)

A．[，2]　　 B．(－∞，]∪[2，＋∞)

C．(－∞，1]∪[2，＋∞)　　 D．[1,2]

[解析]　直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1,1)，kPA＝2，kPB＝，故k的取值范围是(－∞，]∪[2，＋∞)．故选B.

4．(2019·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.

[解析]　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以1＝2(＋)≥4，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.

5．(2019·福建期末)已知直线l：y＝(1－m)x＋m(m∈R)．

(1)若直线l的倾斜角α∈[，]，求实数m的取值范围；

(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

[解析]　(1)由已知直线l斜率k＝1－m，

∵倾斜角α∈[，]，

由k＝tanα可得1≤k≤，

∴1≤1－m≤，解得1－≤m≤0.

(2)直线l：y－1＝(1－m)(x－1)过定点(1,1)，

不妨设其方程为＋＝1(a>0，b>0)

则＋＝1≥，即ab≥4，

∴S△AOB＝ab≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)

∴△AOB面积的最小值为2，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.