（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（35）第五章数列第三讲等比数列及其前n项和（含解析）

 [练案35]第三讲　等比数列及其前n项和

A组基础巩固

一、单选题

1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　A　)

A．－24　 B．0　

C．12　 D．24

[解析]　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项等于－24，故选A.

2．(2020·广东百校联考)在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝(　B　)

A．11　 B．10　

C．9　 D．8

[解析]　因为am＝a1a2a3a4＝aq6＝24×26＝210＝2·2m－1＝2m，所以m＝10，故选B.

3．(2020·贵州贵阳期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　C　)

A．11　 B．5　

C．－11　 D．－8

[解析]　设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，

∴q3＝－8，∴q＝－2，∴＝＝－11，故选C.

4．(2020·陕西西安远东中学期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　C　)

A．　 B．－　

C．　 D．－

[解析]　设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，

∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9，

∴a1＝，故选C.

5．(2020·甘肃天水二中月考)已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　C　)

A．29　 B．210　

C．211　 D．212

[解析]　∵b10b11＝2，∴b1·b2·……·b10·b11·……·b19·b20＝210，又bn＝，∴··……··＝210，∴＝210，又a1＝2，∴a21＝211，故选C.

6．(2020·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝，则(　D　)

A．T3≤T6　　 B．T3<T6

C．T3≥T6　　 D．T3>T6

[解析]　T6－T3＝－＝－＝，由于q>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6<T3，故选D.

二、多选题

7．(2020·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(　AC　)

A．－10　 B．－8　

C．8　 D．10

[解析]　设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A、C.

8．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　BD　)

A．a＝

B．c＝

C．a，b，c依次成公比为2的等比数列

D．a，b，c依次成公比为的等比数列

[解析]　由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝，故选B、D.

三、填空题

9．(2020·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝__320__.

[解析]　由题意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.

10．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝　(1－2－3n)　.

[解析]　设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．

11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝__32__.

[解析]　由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝，

a4＋a5＋a6＝S6－S3＝－＝14＝·q3，∴q＝2.

又a1＋2a1＋4a1＝，∴a1＝，∴a8＝×27＝32.

12．(2020·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝　－　.

[解析]　由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.

四、解答题

13．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

[解析]　(1)设{an}的公比为q，由题设得

2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.

解得q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.

(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.

14．(2020·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

[解析]　(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，

即Sn＝2Sn－1－n＋4，

所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，

又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，

所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，

所以Sn＝2n＋1＋n－2，

于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.

B组能力提升

1．(2020·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　C　)

A．或－　　 B．－

C.　　 D．

[解析]　由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.故选C.

2．(2020·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(　C　)

参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1.

A．2.2天　 B．2.4天　

C．2.6天　 D．2.8天

[解析]　设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项为a1＝3，公比为，前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项为b1＝1，公比为2，前n项和为Bn.则An＝，Bn＝.设蒲、莞长度相等时所需时间为x天，则＝，化简得2x＋＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.

3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝(　B　)

A．80　 B．30　

C．26　 D．16

[解析]　由等比数列的性质知Sn、S2n－Sn、S3n－S2n成等比数列，∴(S2n－2)2＝2(14－S2n)，∴S2n＝6或－4(舍去)，又S2n－Sn、S3n－S2n、S4n－S3n成等比数列，∴82＝4(S4n－14)，∴S4n＝30.故选B.

另解：(特殊化)不妨令n＝1，则a1＝S1＝2，

S3＝＝14，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2或－3(舍去)

∴S4＝＝30.故选B.

4．(2020·河北唐山四校联考)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q的值为(　B　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)，又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，所以q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，所以q＝.综上，q＝，故选B.

5．(2020·3月份北京市高考适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，______.是否存在正整数k，使得S k>2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．

从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

[解析]　当q＝2时，a1＝3，an＝3·2n－1，

Sn＝＝3·2n－3.

由3·2k－3>2020得2k>674，

∵29＝512,210＝1024，k∈N＋，kmin＝10.

当q＝时，a1＝48，an＝48·()n－1，

Sn＝＝96－96·()n.

由96－96·()k>2020得－>()k，不等式无解．此时不存在．

当q＝－2时，a1＝3，an＝3·(－2)n－1，

Sn＝＝1－(－2)n.

由1－(－2)k>2020得(－2)k<2019，

∵(－2)9＝－512，(－2)10＝1024，

(－2)11＝－2048，k∈N＋，kmin＝11.