（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（30）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四讲平面向量的综合应用（含解析）

 [练案30]第四讲　平面向量的综合应用

A组基础巩固

一、单选题

1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　B　)

A．内心　 B．外心　

C．垂心　 D．重心

[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.

2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　D　)

A．圆　　 B．椭圆

C．双曲线　　 D．抛物线

[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.

3．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　A　)

A．－　 B．　

C．0　 D．

[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.

4．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　B　)

A．1　 B．　

C．　 D．2

[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，

∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．

∴|a－b|＝＝.

∴|a－b|最大值为.故选B.

5．(2020·河北省深州中学期中)已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝(1－t)，＝t，(0≤t≤1)，||在t＝t0处取最小值，当0<t0<时，α的取值范围为(　C　)

A．(0，)　　 B．(，)

C．(，)　　 D．(，π)

[解析]　依题意可得·＝1×2×cos α＝2cos α，

＝－＝t－(1－t)，

∴2＝t22＋(1－t2)2－2t(1－t)·

＝4t2＋(1－t)2－4t(1－t)cos α

＝(5＋4cos α)t2－(2＋4cos α)t＋1，且Δ≤0，

由二次函数性质知，当上式取得最小值时，t0＝，

依题意可得0<<，求得－<cos α<0，

∴<α<，故选C.

6．(2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　B　)

A．　 B．　

C．3　 D．

[解析]　＝m＋＝m＋，由于P、C、D共线，所以m＝，设AC＝b，AB＝c，S△ABC＝bcsin A＝bc＝2，∴bc＝8，||2＝2＝(＋)2＝(b2＋9×c2＋2×b×2c×)＝(b2＋4c2＋2bc)≥×6bc＝3，∴||≥，故选B.

二、多选题

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　AD　)

A．a⊥b　　 B．a∥b

C．|a|＝|b|　　 D．|a＋b|＝|a－b|

[解析]　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.

依题意知f(x)的图象是一条直线，

所以a·b＝0，即a⊥b.故选A、D.

8．已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是(　AD　)

A．周期为4的函数

B．周期为2π的函数

C．奇函数

D．偶函数

[解析]　由题图可得A(，)，B(，－)，

由·＝0得－3＝0，又ω>0，

所以ω＝，所以f(x)＝sin x，

所以f(x＋1)＝sin [(x＋1)]＝cos x，它是周期4的偶函数．故选A、D.

三、填空题

9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于__2__.

[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.

10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是　　.

[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.

11．已知向量m＝(sin ，1)，n＝(cos ，cos2)．若m·n＝1，则cos (－x)＝　－　.

[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2

＝sin ＋＝sin (＋)＋，

因为m·n＝1，所以sin (＋)＝.

因为cos (x＋)＝1－2sin2(＋)＝，

所以cos (－x)＝－cos (x＋)＝－.故填－.

12．(2020·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为__1__.

[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.

解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.

解法三：设＝t，

则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.

四、解答题

13．(2020·河南洛阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cos A，cos C)，且m⊥n.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．

[解析]　(1)由m⊥n，得m·n＝0，

即(c－2b)cos A＋acos C＝0.

由正弦定理，得(sin C－2sin B)cos A＋sin Acos C＝0，

所以2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，

2sin B·cos A＝sin (A＋C)，

2sin B·cos A＝sin B.

因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos A＝，

因为0<A<π，所以A＝.

(2)在△ABC中，由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc，

又a＝，b＋c＝3，

所以3＝9－3bc，解得bc＝2.

所以，△ABC的面积S＝bcsin ＝×2×＝.

14．(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B,2cos2－1)，且m∥n.

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

[解析]　(1)∵m∥n，

∴2sin B(2cos2－1)＝－cos 2B，

∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.

又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，

∴2B＝，∴B＝.

(2)∵B＝，b＝2，

∴由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－ac－4＝0.

又∵a2＋c2≥2ac，

∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

∴S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．

∴△ABC的面积的最大值为.

B组能力提升

1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　B　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0<A<π，所以A＝.

2．(2020·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos )，n＝(b，cos )，p＝(c，cos )共线，则△ABC的形状为(　A　)

A．等边三角形　　 B．等腰三角形

C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形

[解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.

3．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　B　)

A．双曲线　　 B．抛物线

C．圆　　 D．椭圆

[解析]　＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.

4．(2020·南昌摸底调研)已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为(　D　)

A．3　 B．4　

C．3－1　 D．3＋1

[解析]　因为A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，所以设A(cos θ，sin θ)，B(－cos θ，－sin θ)，C(cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因为M(1,1)，所以＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos θ－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，所以|＋＋|＝＝＝，当且仅当sin (α＋)＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1.故选D.

一题多解：连接AB，因为AC⊥BC，所以AB为圆O的直径，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1.

5．(2020·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.

(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．

[解析]　(1)由题意知f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin (2x＋)＋1，令2x＋∈[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，解得x∈[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.　

(2)∵f(A)＝sin (2A＋)＋1＝2，

∴sin (2A＋)＝1.

∵0<A<π，∴<2A＋<，

∴2A＋＝，即A＝.

由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2.

又b＋c＝2，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，

解得a＝－1.