（山东专用）2021版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积学案（含解析）

第三讲　平面向量的数量积

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　向量的夹角

两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角；范围是__[0，π]__.

a与b的夹角为____时，则a与b垂直，记作a⊥b.

知识点二　平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos θ__，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示

(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__x1x2＋y1y2__.

②模：|a|＝＝____.

③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.

④夹角：cos θ＝____＝.

⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋y1y2＝0__；a∥b⇔a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．

⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.

(2)平面向量数量积的运算律

①a·b＝b·a(交换律)．

②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.

2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．

3．a·b中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2.

4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|.

5．a在b方向上的投影|a|·cos θ＝.

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题错误的是(　BCD　)

A．一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量

B．a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角

C．在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°

D．(a·b)·c＝a·(b·c)

题组二　走进教材

2．(必修4P107T2改编)(2020·辽宁鞍山一中模拟)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　A　)

A．6　　 B．5　　

C．1　　 D．－6

[解析]　由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A．

3．(必修4P106T5改编)已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵a在b方向上的投影为|a|·cos 〈a，b〉＝cos ＝.选C．

4．(必修4P108T4改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为__1__.

[解析]　设向量，的夹角为θ，则·＝||||·cos θ＝||cos θ·||＝||·||＝×()2＝1.

题组三　考题再现

5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　A　)

A．　　 B．2　　

C．5　　 D．50

[解析]　依题意得a－b＝(－1,1)，|a－b|＝＝，因此选A．

6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　C　)

A．－3　　 B．－2　　

C．2　　 D．3

[解析]　因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．

7．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　方法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，

∴|a||b|·cos 〈a，b〉＝|b|2，

∵|a|＝2|b|，

∴2|b|2cos 〈a，b〉＝|b|2⇒cos 〈a，b〉＝，

∴〈a，b〉＝，故选B．

方法二：如图所示，设＝a，＝b，

则＝a－b，∴B＝，||＝2||，

∴∠AOB＝，即〈a，b〉＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　平面向量数量积的运算——师生共研

例1　(1)(2020·江西名校高三质检)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝__10__.

(2)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝__12__.

[解析]　(1)因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.

(2)解法一：(利用向量的加、减法运算和数量积的定义求解)因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||||·cos ，

化简得||＝2.(利用a·b＝|a||b|cos θ求解)

故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.

解法二：(利用向量的坐标运算求解)如图所示，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.

故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.

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向量数量积的四种计算方法

(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．

(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．

〔变式训练1〕

(1)(2018·课标全国Ⅱ，4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　B　)

A．4　　 B．3　　

C．2　　 D．0

(2)在菱形ABCD中，对角线AC＝4，E为CD的中点，则·＝(　C　)

A．8　　 B．10　　

C．12　　 D．14

[解析]　(1)本题考查数量积的定义和运算．a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.故选B．

(2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线AC⊥BD.故用、表示，由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

∴·＝(＋)·＝||2＋·＝|AC|2＝12，故选C．

解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1，a)

∴＝(3，a)，＝(4,0)

∴·＝(3，a)·(4,0)＝12，故选C．

考点二　向量的模、夹角——多维探究

角度1　向量的模

例2　(1)(2020·四川绵阳一诊)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则|a＋b|＝(　D　)

A．　　 B．2　　

C．2　　 D．3

(2)(2020·四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－)，|b|＝3，则|2a－b|的值为(　C　)

A．13　　 B．　　

C．　　 D．1

(3)(2020·云南昆明一中模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝__5__.

[分析]　(1)由a∥b求出x，从而求a＋b的坐标，进而求|a＋b|；

(2)求出|a|，再由|2a－b|＝求解；

(3)由(a＋b)2＝50求解．

[解析]　(1)∵a＝(x－1,2)，b＝(x,1)且a∥b，

∴x－1＝2x，∴x＝－1，

∴a＝(－2,2)，b＝(－1,1)，∴a＋b＝(－3,3)，

∴|a＋b|＝＝3.故选D．

(2)∵a＝(1，－)，∴|a|＝2.

∴a·b＝|a||b|cos 60°＝3，

|2a－b|＝＝＝.故选C．

(3)∵a＝(2,1)，∴|a|＝，

又|a＋b|＝5，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，

∵a·b＝10，∴5＋20＋|b|2＝50，∴|b|＝5.

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平面向量的模的解题方法

(1)若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝.

(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”

角度2　向量的夹角

例3　(1)(2020·河北武邑中学调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，则向量2a－b与a的夹角为(　C　)

A．135°　　 B．60°　　

C．45°　　 D．30°

(2)(2020·广西梧州、柳州摸底)设平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝.则向量a，b的夹角的余弦值为(　B　)

A．　　 B．　　

C．－　　 D．－

[分析]　利用夹角公式求解．

[解析]　(1)∵a＝(2,1)，b＝(1,3)，

∴|a|＝＝，2a－b＝(3，－1)，

从而|2a－b|＝＝，

且(2a－b)·a＝(3，－1)·(2,1)＝5，

记2a－b与a的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝45°，故选C．

(2)∵|a－2b|＝，∴|a|2－4a·b＋4|b|2＝15，

又|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，

记a、b的夹角为θ，∴cos θ＝＝，故选B．

[引申]　本例(2)中a在a＋b方向上的投影为____.

[解析]　∵a·b＝，∴|a＋b|＝＝.

∴a在a＋b方向上的投影为＝＝＝.

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求两向量夹角的方法及注意事项

(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝.

(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．

(3)a在b方向上的投影＝|a|cos θ＝；b在a方向上的投影＝|b|cos θ＝.

角度3　平面向量的垂直

例4　(2020·河南洛阳期中)向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[分析]　由条件用a·b表示|a|、|b|，用夹角公式求解．

[解析]　由题意可知(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，

(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，即|a|2＝2a·b＝|b|2

记a、b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，

∴θ＝，故选A．

例5　(2020·安徽宣城调研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　A　)

A．　　 B．　　

C．6　　 D．

[解析]　因为⊥，所以·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，

因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos 120°＝0，

所以λ＝.故选A．

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平面向量垂直问题的解题思路

解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2020·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－2b|＝(　B　)

A．　　 B．　　

C．13　　 D．21

(2)(角度2)(2020·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为____.

(3)(角度3)(2019·北京卷)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝__8__.

(4)(角度2)(2019·全国卷Ⅲ，5分)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____.

[解析]　(1)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，

∴|a－2b|＝＝＝.故选B．

(2)由题意可知＝－3，

∴＝－3.

∴m＝－3，∴|b|＝＝6，记a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，

又0≤θ≤π，∴θ＝.

(3)因为a⊥b，所以a·b＝－4×6＋3m＝0，解得m＝8.

(4)设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，

所以cos 〈a，c〉＝＝.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

有关数量积的最值(范围)问题

　　例6　(1)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　B　)

A．－2　　 B．－　　

C．－　　 D．－1

[思维导引]　思路一：

思路二：

[解析]　解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．

而2＝()2＝，

当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.

解法二：如下图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平行分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.

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平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

〔变式训练3〕

如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M，N分别是边AB，CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则·的取值范围为__[－，]__.

[解析]　结合图及数量积的几何意义，易知当动点P与点A重合时，·取得最小值；当动点P与点D重合时，·取得最大值．

解法一：连接AD，易知MN为梯形ABCD的中位线，所以MN＝＝3.

又AM＝1，∠AMN＝120°，所以·＝3×1×cos 120°＝－，故·的最小值为－.

连接DM.因为DN＝1，MN＝3，∠MND＝120°，所以在△DMN中，先由余弦定理求得DM＝，再由余弦定理求得cos ∠DMN＝，所以·＝3××＝，故·的最大值为.

综上可知，·的取值范围为[－，]．

解法二：如图所示，建立平面直角坐标系xMy，则易知向量＝(－1,0)，＝(1,2)，＝(，)．

所以·＝－，故·的最小值为－.·＝，故·的最大值为.

所以·的取值范围为[－，]．

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本题以熟悉的正六边形为载体考查数量积的取值范围，亮点体现在题目涉及动点，不便于直接利用向量的坐标运算加以求解，而需要依据数量积的几何意义作为解题切入点加以分析．本题对解题能力的考查较强．求解的难点有：一是准确分析·取得最值时的具体情形是什么；二是结合图形计算·的最值．通过比较本题的解法一和解法二可知，解法二更为简单明了．