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2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第四章第四讲 平面向量的综合应用
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第四讲 平面向量的综合应用
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点一 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔__a＝λb__⇔__x1y2－x2y1＝0__，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔__a·b＝0__⇔__x1x2＋y1y2＝0__，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝____(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝____＝____，其中a＝(x，y)，a为非零向量
用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
知识点二 向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
知识点三 向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
题组一 走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是( ACD )
A．若∥，则A，B，C三点共线
B．在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形
C．向量，，中三终点A、B、C共线，则存在实数α，β，使得＝α＋β，且α＋β＝1
D．已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0
题组二 走进教材
2．(必修4P119A组T12改编)设向量a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，若a⊥b，则sin 2θ＝____.
[解析] ∵a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，且a⊥b.
∴a·b＝－cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝.
∴sin 2θ＝＝＝.
3．(必修4P119B组T13改编)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( C )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
[解析] 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(必修4P108B组T5改编)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为( A )
A．4 B．
C．2 D．
[解析] 设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4，故选A．
题组三 考题再现
5．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为__6__.
[解析] 方法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
方法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
6．(2019·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝__－1__.
[解析] 方法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·(－)＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.
方法二：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 向量与平面几何——师生共研
例1 (2018·天津，8)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( A )
A． B．
C． D．3
[解析] 本题主要考查数量积的综合应用．
解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(，)，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，
∴·＝(－1，t)·(－，t－)＝t2－t＋，
∵t∈[0，]，
∴当t＝－＝时，·取得最小值，
(·)min＝－×＋＝.故选A．
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，
∵＝＋λ，
∴＝＋＝＋＋λ，又·＝0，
∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)
＝·＋||2＋λ·＋λ2||2
＝3λ2－λ＋.
当λ＝－＝时，·取得最小值.故选A．
[方法总结] 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解，建立函数关系时，可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐标运算．
名师点拨 ☞
平面几何问题的向量解法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
〔变式训练1〕
(2020·安徽皖南八校联考)在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为( B )
A．－ B．－
C．－ D．－
[解析] 由题意可知＝－＝(1－x)－，
＝－＝(1－y)－，又x＋y＝1，
∴＝－＋x，又||＝||＝1，·＝，
∴·＝[(1－x)－]·(－＋x)
＝＝≤－(当且仅当x＝时取等号)故选B．
考点二 向量在解析几何中的应用——师生共研
例2 已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( A )
A．±1 B．±
C．± D．±2
[解析] 因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos ∠AOB＝2，故∠AOB＝120°.
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos 60°＝＝，则|a|＝1，即a＝±1.故选A．
名师点拨 ☞
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
〔变式训练2〕
(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.
[解析] 设P(x，y)，由·≤20，易得2x－y＋5≤0.
由
解得或
令M(－5，－5)，N(1,7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧上，结合限制条件－5≤x≤5，可得点P横坐标的取值范围为[－5，1]．
考点三 向量与其他知识的交汇——师生共研
例3 (2020·吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量a＝(sin x，－1)，b＝(cos x，－)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
[解析] (1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin (2A－)＝1，
∵A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，
∴2A－＝，∴A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＝2，
从而S＝bcsin A＝.
名师点拨 ☞
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．
〔变式训练3〕
(2020·广东华南师范大学附属中学高三月考)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B，若·＝4，则ac的值为( A )
A．12 B．11
C．10 D．9
[解析] 在△ABC中，∵bcos C＝(3a－c)cos B，由正弦定理可得sin B·cos C＝(3sin A－sin C)cos B，∴3sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin (B＋C)．又sin (B＋C)＝sin A，∴3sin Acos B＝sin A．在△ABC中，sin A≠0，故cos B＝.∵·＝4，∴accos B＝4，即ac＝12.故选A．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
三角形的四“心”及三角形形状的判定
例4 (1)点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
(3)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
(4)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( A )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
[解析] (1)由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D．
(2)因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，则由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，选B．
(3)由条件，得＝λ(＋)
从而·＝λ(＋)
＝λ[＋]
＝λ(－||＋||)＝0，得⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选B．
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝＋＝＋＝(＋).
∴与共线，故点P必过△ABC的垂心．
(4)由正弦定理得＝，
即||·sin B＝||sin C，
∴－＝λ(＋)，
即＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
∴P∈AM，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A．
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
即与共线，∴动点P的轨迹一定过△ABC的重心，选A．
名师点拨 ☞
三角形各心的概念介绍
(1)重心：三角形的三条中线的交点；O是△ABC的重心⇔＋＋＝0；
(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·；
(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
O是△ABC的外心⇔||＝||＝||(或2＝2＝2)；
(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是△ABC的内心⇔·(－)＝·(－)＝·(－)＝0.
注意：向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)．
例5 (2020·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( C )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[分析] 通过向量运算从算式中消掉O.
[解析] 由题意知·(＋)＝0.所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C．
[引申] (1)若条件改为“|－|＝|＋－2|”结果如何？
(2)若条件改为“2＝·＋·＋·”结果如何？
[解析] (1)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|⇒|＋|2＝|－|2⇒·＝0，∴三角形为直角三角形，故选B．
(2)∵2＝·＋·＋·，
∴(－)＝(－)，
∴·＝2，
∴(＋)＝0，即·＝0
∴⊥，即C＝.
∴△ABC为直角三角形，故选B．
名师点拨 ☞
三角形形状的判断
在△ABC中，①若||＝||，则△ABC为等腰三角形；②若·＝0，则△ABC为直角三角形；③若·<0，则△ABC为钝角三角形；④若·>0，·>0，且·>0，则△ABC为锐角三角形；⑤若|＋|＝|－|，则△ABC为直角三角形；⑥若(＋)·＝0，则△ABC为等腰三角形．
〔变式训练4〕
(1)若P为△ABC所在平面内一点．
①若(－)·(－)＝0，则动点P的轨迹必过△ABC的__垂心__.
②若＝＋λ(＋)(λ≥0)，则动点P的轨迹必过△ABC的__重心__.
③若2＝2－2·，则动点P的轨迹必过△ABC的__外心__.
(2)已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为( D )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
[解析] (1)①由题意知·＝0，∴AP⊥BC，∴动点P必过△ABC的垂心；
②由题意知＝λ(＋)＝2λ(M为BC中点)∴P、A、M共线，∴P必过△ABC的重心；
③2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，即2·＝·(＋)，∴·(2－－)＝·(＋)＝0.∴以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P在线段AB的中垂线上，∴P必过△ABC的外心．
(2)因为非零向量与满足(＋)·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos ∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．故选D．
第四讲 平面向量的综合应用
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点一 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔__a＝λb__⇔__x1y2－x2y1＝0__，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔__a·b＝0__⇔__x1x2＋y1y2＝0__，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝____(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝____＝____，其中a＝(x，y)，a为非零向量
用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
知识点二 向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
知识点三 向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
题组一 走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是( ACD )
A．若∥，则A，B，C三点共线
B．在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形
C．向量，，中三终点A、B、C共线，则存在实数α，β，使得＝α＋β，且α＋β＝1
D．已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0
题组二 走进教材
2．(必修4P119A组T12改编)设向量a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，若a⊥b，则sin 2θ＝____.
[解析] ∵a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，且a⊥b.
∴a·b＝－cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝.
∴sin 2θ＝＝＝.
3．(必修4P119B组T13改编)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( C )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
[解析] 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(必修4P108B组T5改编)已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为( A )
A．4 B．
C．2 D．
[解析] 设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4，故选A．
题组三 考题再现
5．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为__6__.
[解析] 方法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
方法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
6．(2019·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝__－1__.
[解析] 方法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·(－)＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.
方法二：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 向量与平面几何——师生共研
例1 (2018·天津，8)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( A )
A． B．
C． D．3
[解析] 本题主要考查数量积的综合应用．
解法一：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(，)，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，
∴·＝(－1，t)·(－，t－)＝t2－t＋，
∵t∈[0，]，
∴当t＝－＝时，·取得最小值，
(·)min＝－×＋＝.故选A．
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，
∵＝＋λ，
∴＝＋＝＋＋λ，又·＝0，
∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)
＝·＋||2＋λ·＋λ2||2
＝3λ2－λ＋.
当λ＝－＝时，·取得最小值.故选A．
[方法总结] 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解，建立函数关系时，可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐标运算．
名师点拨 ☞
平面几何问题的向量解法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
〔变式训练1〕
(2020·安徽皖南八校联考)在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为( B )
A．－ B．－
C．－ D．－
[解析] 由题意可知＝－＝(1－x)－，
＝－＝(1－y)－，又x＋y＝1，
∴＝－＋x，又||＝||＝1，·＝，
∴·＝[(1－x)－]·(－＋x)
＝＝≤－(当且仅当x＝时取等号)故选B．
考点二 向量在解析几何中的应用——师生共研
例2 已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( A )
A．±1 B．±
C．± D．±2
[解析] 因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos ∠AOB＝2，故∠AOB＝120°.
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos 60°＝＝，则|a|＝1，即a＝±1.故选A．
名师点拨 ☞
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
〔变式训练2〕
(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.
[解析] 设P(x，y)，由·≤20，易得2x－y＋5≤0.
由
解得或
令M(－5，－5)，N(1,7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧上，结合限制条件－5≤x≤5，可得点P横坐标的取值范围为[－5，1]．
考点三 向量与其他知识的交汇——师生共研
例3 (2020·吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量a＝(sin x，－1)，b＝(cos x，－)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面积S.
[解析] (1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)f(A)＝sin (2A－)＝1，
∵A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，
∴2A－＝，∴A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＝2，
从而S＝bcsin A＝.
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平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．
〔变式训练3〕
(2020·广东华南师范大学附属中学高三月考)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B，若·＝4，则ac的值为( A )
A．12 B．11
C．10 D．9
[解析] 在△ABC中，∵bcos C＝(3a－c)cos B，由正弦定理可得sin B·cos C＝(3sin A－sin C)cos B，∴3sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin (B＋C)．又sin (B＋C)＝sin A，∴3sin Acos B＝sin A．在△ABC中，sin A≠0，故cos B＝.∵·＝4，∴accos B＝4，即ac＝12.故选A．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
三角形的四“心”及三角形形状的判定
例4 (1)点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
(3)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
(4)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( A )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
[解析] (1)由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D．
(2)因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，则由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，选B．
(3)由条件，得＝λ(＋)
从而·＝λ(＋)
＝λ[＋]
＝λ(－||＋||)＝0，得⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选B．
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝＋＝＋＝(＋).
∴与共线，故点P必过△ABC的垂心．
(4)由正弦定理得＝，
即||·sin B＝||sin C，
∴－＝λ(＋)，
即＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
∴P∈AM，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A．
另解：作AD⊥BC于D，则＋
＝(＋)＝(其中M为BC的中点)，
即与共线，∴动点P的轨迹一定过△ABC的重心，选A．
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三角形各心的概念介绍
(1)重心：三角形的三条中线的交点；O是△ABC的重心⇔＋＋＝0；
(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·；
(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
O是△ABC的外心⇔||＝||＝||(或2＝2＝2)；
(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是△ABC的内心⇔·(－)＝·(－)＝·(－)＝0.
注意：向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)．
例5 (2020·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( C )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[分析] 通过向量运算从算式中消掉O.
[解析] 由题意知·(＋)＝0.所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C．
[引申] (1)若条件改为“|－|＝|＋－2|”结果如何？
(2)若条件改为“2＝·＋·＋·”结果如何？
[解析] (1)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|⇒|＋|2＝|－|2⇒·＝0，∴三角形为直角三角形，故选B．
(2)∵2＝·＋·＋·，
∴(－)＝(－)，
∴·＝2，
∴(＋)＝0，即·＝0
∴⊥，即C＝.
∴△ABC为直角三角形，故选B．
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三角形形状的判断
在△ABC中，①若||＝||，则△ABC为等腰三角形；②若·＝0，则△ABC为直角三角形；③若·<0，则△ABC为钝角三角形；④若·>0，·>0，且·>0，则△ABC为锐角三角形；⑤若|＋|＝|－|，则△ABC为直角三角形；⑥若(＋)·＝0，则△ABC为等腰三角形．
〔变式训练4〕
(1)若P为△ABC所在平面内一点．
①若(－)·(－)＝0，则动点P的轨迹必过△ABC的__垂心__.
②若＝＋λ(＋)(λ≥0)，则动点P的轨迹必过△ABC的__重心__.
③若2＝2－2·，则动点P的轨迹必过△ABC的__外心__.
(2)已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为( D )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
[解析] (1)①由题意知·＝0，∴AP⊥BC，∴动点P必过△ABC的垂心；
②由题意知＝λ(＋)＝2λ(M为BC中点)∴P、A、M共线，∴P必过△ABC的重心；
③2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，即2·＝·(＋)，∴·(2－－)＝·(＋)＝0.∴以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P在线段AB的中垂线上，∴P必过△ABC的外心．
(2)因为非零向量与满足(＋)·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos ∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．故选D．
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